江苏省专转本高数全部知识点第一讲：极限、洛比塔法则第五讲利用导数证明不等式及导数的应用.ppt

第五讲 利用导数证明不等式,证明不等式 证明方程根的个数 导数的应用,(1)利用导数证明不等式 利用导数证明不等式是常考的题型.主要的方法有: 1 利用微分中值定理; 2 利用函数的单调性; 3 利用极值(或最值);,10 利用微分中值定理 若函数f(x)有一二阶导数,而要证的不等式的两端含有 f(x) 的函数值,特别是f(x)的表达式不知道时,或不等式中含有 f(x)的导数时,常用拉格朗日中值定理证.,例1 证明不等式,证明：把lna乘以各式,得到,区间1/(n+1),1/n上的增量,可以对f(x)使用拉格朗日中值定理,有 f(b)-f(a)=f ()(b-a),因为,是函数f(x)=ax 在,20 利用函数的单调性 当要证的不等式两端是给定的两个表达式,或不等式一端 或两端含f(x),且知道f(x)0(或f”(x)0)则常需要用单调性证.,解：:为证不等式,只要证,例2 当x0时,证明不等式,其辅助函数为,所以当x0时,f(2)(x)严格单调增加,即f”(x)f”(0) (x0) 从而 f(x)严格单调增加,于是当x0时f(x)f(0)=0,30 利用函数的极值与最值,例3 对任意实数x,证明不等式,(2)证明某些等式 利用导数证明等式常用10罗尔定理(要证明某个函数或 一个式子等于0或其导数等于0时).20拉格朗日定理. 若函数f(x)有一二阶导数,而要证 的等式的两端含有f(x)的函数值,特别是f(x)的表达式不知道时,或等式中含有f(x)的导数时,常用拉格朗日中值定理证.,关键是建立辅助函数: 通常用移项(把等式一端的项全移 到另一端) 或把等式变形,或变形后再移项或变形后用逆推的方法.,(3).证明方程的根的存在性与个数 方程的根可以看成函数的零点,为了利用函数的连续性质 及导数理论,通常把方程的根的讨论转化为函数的零点讨 论.关于方程根的证明,主要有两种情况,(1)证明方程在某区间内至少有一个或几个根 1.利用介值定理证明方程根的存在性,例4,由介值定理可知道f(x)在(0,e)(e,+)内各有一个根.,2.利用罗尔定理证明方程根的存在性 这个方法是作一个在指定区间上满足罗尔定理条件的辅 助函数, 把根的存在性转化为该辅助函数的导函数的零点 的存在性.,例12 设实数a0 , a1 ,a2,a3,an,满足关系式,证明 方程a0+a1x+a2x2+anxn=0 在(0,1)内 至少有一个根.,(2).证明方程在给定的区间内有唯一的根或最多有几个根 证明的步骤和方法如下:,方法有:利用函数的单调增减性;用反证法,通常可利 用罗尔定理,拉格朗日定理导出矛盾.,2.再证唯一性或最多有几个根.,方法有:利用连续性函数的介值定理;利用罗尔定理.,1.先证存在性,【解题回顾】,1.求最大（小）值应用问题的一般方法：,分析、联系、抽象、转化,数学方法,数学结果,实际结果,回答问题,实际问题,建立数学模型 （列数学关系式）,解决应用性问题的关键是读题懂题建立数学关系式。,2.在实际问题中，有时会遇到在区间内只有一个点 使导数为0的情形，如果函数在这点有极大(小)值， 那么不与端点的值比较，也可以知道这就是最大 (小)值。这时所说的也适用于开区间或无穷区间。,1、把长60cm的铁丝围成矩形，长宽各为多少时矩形面积最大？,x,(60-2x)/2,解：设宽为Xcm,则长为（602X）/2=(30-X) cm,所以面积,此时S在x15时S0,x15时，S0,结论：周长为定值的矩形中，正方形的面积最大。,答：长为15cm,宽为15cm时面积最大。,2、把长为100cm的铁丝分为两段，各围成正方形，怎样分法才能使两个正方形面积之和最小？,x,解:设分成一段长为xcm,则第一个正方形面积为 另一个面积为,所以面积之和为,所以4