江苏地区高考数学一轮复习第二十三章选修系列23.4不等式选讲课件.pptx

高考数学 (江苏省专用),23.4 不等式选讲,1.(2017江苏,21D,10分)选修45:不等式选讲 已知a,b,c,d为实数,且a2+b2=4,c2+d2=16,证明:ac+bd8.,A组 自主命题江苏卷题组,五年高考,证明 本小题主要考查不等式的证明,考查推理论证能力. 由柯西不等式可得:(ac+bd)2(a2+b2)(c2+d2). 因为a2+b2=4,c2+d2=16, 所以(ac+bd)264, 因此ac+bd8.,2.(2016江苏,21D,10分)选修45:不等式选讲 设a0,|x-1| ,|y-2| ,求证:|2x+y-4|a.,证明 因为|x-1| ,|y-2| , 所以|2x+y-4|=|2(x-1)+(y-2)|2|x-1|+|y-2|2 + =a.,解后反思 利用绝对值的三角不等式求最值时,可借助:|a|-|b|ab|a|+|b|来求解,但一定要 注意等号成立的条件.,3.(2015江苏,21D,10分,0.521)解不等式x+|2x+3|2.,解析 原不等式可化为 或 解得x-5或x- . 综上,原不等式的解集是 .,4.(2014江苏,21D,10分,0.27)选修45:不等式选讲已知x0,y0,证明:(1+x+y2)(1+x2+y)9xy.,证明 因为x0,y0, 所以1+x+y23 0, 1+x2+y3 0, 故(1+x+y2)(1+x2+y)3 3 =9xy.,5.(2013江苏,21D,10分,0.538)已知ab0,求证:2a3-b32ab2-a2b.,证明 2a3-b3-(2ab2-a2b) =2a(a2-b2)+b(a2-b2) =(a2-b2)(2a+b) =(a-b)(a+b)(2a+b). 因为ab0, 所以a-b0,a+b0,2a+b0, 从而(a-b)(a+b)(2a+b)0, 即2a3-b32ab2-a2b.,考点 不等式的解法与证明 1.(2015山东改编,5,5分)不等式|x-1|-|x-5|2的解集是 .,B组 统一命题省(区、市)卷题组,答案 (-,4),解析 当x5时,原不等式等价于x-1-(x-5)2,即42,无解. 综合知x4.,2.(2014重庆,16,5分)若不等式|2x-1|+|x+2|a2+ a+2对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围是 .,答案,解析 令f(x)=|2x-1|+|x+2|,易求得f(x)min= ,依题意得a2+ a+2 -1a .,3.(2014陕西,15A,5分)(不等式选做题) 设a,b,m,nR,且a2+b2=5,ma+nb=5,则 的最小值为 .,答案,解析 根据柯西不等式得 = |ma+nb|= ,当且仅当 = (a2+b2=5,ma+nb=5),即m=a=n=b= 时取等号,故 的最小值为 .,4.(2013湖南理,10,5分)已知a,b,cR,a+2b+3c=6,则a2+4b2+9c2的最小值为 .,答案 12,解析 由柯西不等式(a2+4b2+9c2)(12+12+12)(a+2b+3c)2得3(a2+4b2+9c2)36,所以a2+4b2+9c212.当且仅当a=2b=3c=2时,a2+4b2+9c2取得最小值12.,5.(2017课标全国理,23,10分)选修45:不等式选讲 已知a0,b0,a3+b3=2.证明: (1)(a+b)(a5+b5)4; (2)a+b2.,证明 本题考查不等式的证明. (1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6 =(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4) =4+ab(a2-b2)24. (2)因为(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 =2+3ab(a+b)2+ (a+b) =2+ , 所以(a+b)38,因此a+b2.,失分警示 运用直接法证明不等式时,可以通过分析和应用条件逐步逼近结论,在证明过程中易 因逻辑混乱而失分.,6.(2017课标全国理,23,10分)选修45:不等式选讲 已知函数f(x)=|x+1|-|x-2|. (1)求不等式f(x)1的解集; (2)若不等式f(x)x2-x+m的解集非空,求m的取值范围.,解析 本题考查绝对值不等式的解法. (1)f(x)= 当x2时,由f(x)1解得x2. 所以f(x)1的解集为x|x1. (2)由f(x)x2-x+m得m|x+1|-|x-2|-x2+x. 而|x+1|-|x-2|-x2+x|x|+1+|x|-2-x2+|x| =- + , 且当x= 时,|x+1|-|x-2|-x2+x= . 故m的取值范围为 .,思路分析 (1)分段讨论,求得符合题意的x的取值范围,最后取并集.(2)不等式的解集非空,即不 等式能成立,转化为求函数的最值处理.,7.(2017课标全国理,23,10分)选修45:不等式选讲 已知函数f(x)=-x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|. (1)当a=1时,求不等式f(x)g(x)的解集; (2)若不等式f(x)g(x)的解集包含-1,1,求a的取值范围.,解析 本题考查绝对值不等式的求解. (1)当a=1时,不等式f(x)g(x)等价于x2-x+|x+1|+|x-1|-40. 当x1时,式化为x2+x-40,从而1x . 所以f(x)g(x)的解集为 . (2)当x-1,1时,g(x)=2. 所以f(x)g(x)的解集包含-1,1等价于当x-1,1时f(x)2. 又f(x)在-1,1的最小值必为f(-1)与f(1)之一, 所以f(-1)2且f(1)2,得-1a1. 所以a的取值范围为-1,1.,方法总结 含绝对值不等式问题的常见解法: (1)含绝对值不等式的求解问题,常利用零点分段讨论法或数形结合法求解. (2)与恒成立相关的求参问题,常构造函数转化为求最值问题.,8.(2016课标全国,24,10分)选修45:不等式选讲 已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|. (1)画出y=f(x)的图象; (2)求不等式|f(x)|1的解集.,解析 (1)f(x)= (4分) y=f(x)的图象如图所示. (6分) (2)由f(x)的表达式及图象知,当f(x)=1时,可得x=1或x=3; 当f(x)=-1时,可得x= 或x=5, (8分),故f(x)1的解集为x|11的解集为 . (10分),评析 本题主要考查利用零点分段法解含有绝对值的不等式,利用数形结合的思想方法求解更 为方便、准确.,9.(2016课标全国理,24,10分)选修45:不等式选讲 已知函数f(x)=|2x-a|+a. (1)当a=2时,求不等式f(x)6的解集; (2)设函数g(x)=|2x-1|.当xR时, f(x)+g(x)3,求a的取值范围.,解析 (1)当a=2时, f(x)=|2x-2|+2. 解不等式|2x-2|+26得-1x3. 因此f(x)6的解集为x|-1x3. (5分) (2)当xR时, f(x)+g(x)=|2x-a|+a+|1-2x|2x-a+1-2x|+a=|1-a|+a, 当x= 时等号成立,所以当xR时, f(x)+g(x)3等价于|1-a|+a3. (7分) 当a1时,等价于1-a+a3,无解. 当a1时,等价于a-1+a3,解得a2. 所以a的取值范围是2,+). (10分),10.(2015课标,24,10分,0.48)(选修45:不等式选讲) 设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d,证明: (1)若abcd,则 + + ; (2) + + 是|a-b|c-d|的充要条件.,证明 (1)因为( + )2=a+b+2 ,( + )2=c+d+2 , 由题设a+b=c+d,abcd得( + )2( + )2. 因此 + + . (2)(i)若|a-b|cd. 由(1)得 + + . (ii)若 + + ,则( + )2( + )2, 即a+b+2 c+d+2 . 因为a+b=c+d,所以abcd.于是 (a-b)2=(a+b)2-4ab + 是|a-b|c-d|的充要条件.,11.(2015课标,24,10分)(选修45:不等式选讲) 已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|,a0. (1)当a=1时,求不等式f(x)1的解集; (2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.,解析 (1)当a=1时,f(x)1化为|x+1|-2|x-1|-10. 当x-1时,不等式化为x-40,无解; 当-10,解得 0,解得1x1的解集为 . (5分) (2)由题设可得,f(x)= 所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A ,B(2a+1,0),C(a,a+1),ABC的面积为 (a+1)2. 由题设得 (a+1)26,故a2. 所以a的取值范围为(2,+). (10分),12.(2015陕西,24,10分)(选修45:不等式选讲) 已知关于x的不等式|x+a|b的解集为x|2x4. (1)求实数a,b的值; (2)求 + 的最大值.,解析 (1)由|x+a|b,得-b-axb-a, 则 解得a=-3,b=1. (2) + = + =2 =4, 当且仅当 = ,即t=1时等号成立, 故( + )max=4.,13.(2015湖南,16(3),12分)(选修45:不等式选讲) 设a0,b0,且a+b= + .证明: (1)a+b2; (2)a2+a2与b2+b2不可能同时成立.,证明 由a+b= + = ,a0,b0,得ab=1. (1)由基本不等式及ab=1,有a+b2 =2,即a+b2. (2)假设a2+a0得0a1;同理,0b1,从而ab1,这与ab=1矛 盾.故a2+a2与b2+b2不可能同时成立.,评析 本题考查基本不等式的应用、一元二次不等式的解法、反证法等知识.难度不大.,14.(2014课标,24,10分,0.430)若a0,b0,且 + = . (1)求a3+b3的最小值; (2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.,解析 (1)由 = + ,得ab2,且当a=b= 时等号成立. 故a3+b32 4 ,且当a=b= 时等号成立. 所以a3+b3的最小值为4 . (2)由(1)知,2a+3b2 4 . 由于4 6,从而不存在a,b,使得2a+3b=6.,15.(2013辽宁理,24,10分)已知函数f(x)=|x-a|,其中a1. (1)当a=2时,求不等式f(x)4-|x-4|的解集; (2)已知关于x的不等式|f(2x+a)-2f(x)|2的解集为x|1x2,求a的值.,解析 (1)当a=2时, f(x)+|x-4|= 当x2时,由f(x)4-|x-4|得-2x+64,解得x1; 当2x4时, f(x)4-|x-4|无解; 当x4时,由f(x)4-|x-4|得2x-64,解得x5, 所以f(x)4-|x-4|的解集为x|x1或x5. (4分) (2)记h(x)=f(2x+a)-2f(x), 则h(x)= 由|h(x)|2,解得 x . 又已知|h(x)|2的解集为x|1x2, 所以,于是a=3. (10分),1.2013江西理,15(2),5分在实数范围内,不等式|x-2|-1|1的解集为 .,C组 教师专用题组,答案 0,4,解析 原不等式可转化为-1|x-2|-11,故0|x-2|2,解得0x4,故所求不等式的解集为0, 4.,2.(2013课标全国理,24,10分)设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证明: (1)ab+bc+ca ; (2) + + 1.,证明 (1)由a2+b22ab,b2+c22bc,c2+a22ca得a2+b2+c2ab+bc+ca. 由题设得(a+b+c)2=1, 即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1. 所以3(ab+bc+ca)1, 即ab+bc+ca . (2)因为 +b2a, +c2b, +a2c,故 + + +(a+b+c)2(a+b+c),即 + + a+b+c. 所以 + + 1.,3.(2013课标全国理,24,10分,0.147)已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3. (1)当a=-2时,求不等式f(x)-1,且当x 时, f(x)g(x),求a的取值范围.,解析 (1)当a=-2时,不等式f(x)g(x)化为|2x-1|+|2x-2|-x-30. 设函数y=|2x-1|+|2x-2|-x-3,则 y= 从函数图象可知,当且仅当x(0,2)时,y0.所以原不等式的解集是x|0x2. (2)当x 时, f(x)=1+a. 不等式f(x)g(x)化为1+ax+3. 所以xa-2对x 都成立. 故- a-2,即a . 从而a的取值范围是 .,4.(2016课标全国,24,10分)选修45:不等式选讲 已知函数f(x)= + ,M为不等式f(x)2的解集. (1)求M; (2)证明:当a,bM时,|a+b|1+ab|.,解析 (1)f(x)= (2分) 当x- 时,由f(x)-1; (3分) 当- x 时, f(x)2; (4分) 当x 时,由f(x)2得2x2,解得x1, (5分) 所以f(x)2的解集M=x|-1x1. (6分) (2)证明:由(1)知,当a,bM时,-1a1,-1b1,从而(a+b)2-(1+ab)2=a2+b2-a2b2-1=(a2-1)(1-b2)0, 因此|a+b|1+ab|. (10分),评析 本题考查了绝对值不等式的解法及不等式证明,利用零点分区间法求解是关键.,5.2014福建,21(3),7分(选修45:不等式选讲) 已知定义在R上的函数f(x)=|x+1|+|x-2|的最小值为a. (1)求a的值; (2)若p,q,r是正实数,且满足p+q+r=a,求证:p2+q2+r23.,解析 (1)因为|x+1|+|x-2|(x+1)-(x-2)|=3, 当且仅当-1x2时,等号成立, 所以f(x)的最小值等于3,即a=3. (2)证明:由(1)知p+q+r=3,又因为p,q,r是正实数, 所以(p2+q2+r2)(12+12+12)(p1+q1+r1)2 =(p+q+r)2=9, 即p2+q2+r23.,评析 本题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转 化思想.,6.(2014辽宁,24,10分)设函数f(x)=2|x-1|+x-1,g(x)=16x2-8x+1,记f(x)1的解集为M,g(x)4的解集 为N. (1)求M; (2)当xMN时,证明:x2f(x)+xf(x)2 .,解析 (1)f(x)= 当x1时,由f(x)=3x-31得x ,故1x ; 当x1时,由f(x)=1-x1得x0,故0x1. 所以f(x)1的解集为M= . (2)证明:由g(x)=16x2-8x+14得16 4, 解得- x . 因此N= ,故MN= . 当xMN时, f(x)=1-x,于是x2f(x)+xf(x)2 =xf(x)x+f(x)=xf(x)=x(1-x)= - .,三年模拟,A组 20152017年高考模拟基础题组 (时间：35分钟 分值：50分),解答题(共50分) 1.(2017江苏苏北四市联考,24)已知a,b,c为正实数, + + +27abc的最小值为m,解关于x的不 等式|x+1|-2xm.,解析 因为a,b,c0, 所以 + + +27abc3 +27abc = +27abc2 =18, 当且仅当a=b=c时,取“=”, 所以m=18. 所以不等式|x+1|-2x- , 所以原不等式的解集为 .,2.(2017南京、盐城第一次模拟考试,21)若实数x,y,z满足x+2y+z=1,求x2+y2+z2的最小值.,解析 由柯西不等式,得(x+2y+z)2(12+22+12)(x2+y2+z2), 即x+2y+z , 因为x+2y+z=1,所以x2+y2+z2 , 当且仅当 = = ,即x=z= ,y= 时取等号. 所以(x2+y2+z2)min = .,3.(2016江苏苏北四市一模,21)设x、y均为正数,且xy,求证:2x+ 2y+3.,解析 由题意得x0,y0,x-y0, 因为2x+ -2y=2(x-y)+ =(x-y)+(x-y)+ 3 =3, 所以2x+ 2y+3.,4.(2016南京、盐城第二次模拟,21)解不等式:|x-2|+x|x+2|2.,解析 当x-2时,不等式化为(2-x)+x(-x-2)2, 解得-32, 解得-22, 解得x2. 所以原不等式的解集为x|-30.,5.(2015江苏常州一模)已知a0,b0,证明:(a2+b2+ab)(ab2+a2b+1)9a2b2.,证明 因为a0,b0, 所以a2+b2+ab3 =3ab0, ab2+a2b+13 =3ab0, 所以(a2+b2+ab)(ab2+a2b+1)9a2b2, 当且仅当a=b=1时等号成立.,解答题(共50分) 1.(2017江苏南通、扬州、泰州高三第三次模拟考试)已知a,b,c,d是正实数,且abcd=1,求证:a5+b5+ c5+d5a+b+c+d.,B组 20152017年高考模拟综合题组 (时间：35分钟