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文档简介

1,球函数方程与球函数,本节将介绍由球形区域上三维热传导方程或波动方程分离变量法导出的Helmholtz 方程求解过程中得到的球函数的性质,2,球函数方程与球函数,以热传导方程为例，导出Helmholtz方程,分离出时间变量与空间变量：设,代入以上方程并化简得：,Helmholtz 方程加上齐次边界条件可构成固有值问题。,3,球函数方程与球函数,一维Helmholtz方程:,二维Helmholtz方程：,现在来研究球域上的三维Helmholtz方程。在球坐标系下Helmholtz方程可表达为,4,球函数方程与球函数,用分离变量法求解(1)，先分离出r:设,程。若 令 ，则 可化为关于 的Bessel方程：,方程 称为球函数方程；若 则 为欧拉方,5,球函数方程与球函数,从而有：,其中,6,球函数方程与球函数,对于 ，由实际意义得：,用分离变量法求解(3) :设,7,球函数方程与球函数,对于(6)，记,(6)化为,则,8,球函数方程与球函数,令,则,9,球函数方程与球函数,若记,则以上球函数方程在自然边界条件和周期性条件下可构成固有值问题，其固有值和固有函数为,称函数 为n阶球函数。,10,球函数方程与球函数,球函数系具有如下正交性：,证明 其证明其实很简单：若记,则,11,球函数方程与球函数,12,球函数方程与球函数,展开定理 若 在区域 上满足狄利克
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