量子力学第1章-波函数.ppt

第一章 波函数,微观粒子具有波粒二象性，与经典理论不同，现在我们需要需要用一个波函数(r,t)来描述微观粒子的运动状态。我们需要首先解决下面两个问题： 1：给定势能（相当于经典中给定作用在粒子上的力），如何得到这个波函数？ 2. 这个波函数是怎样描写的粒子的状态的？,（一）引进方程的基本考虑,从牛顿方程，人们可以确定以后任何时刻 t 粒子的状态 r 和 p 。因为初条件知道的是坐标及其对时间的一阶导数，所以方程是时间的二阶常微分方程。,先回顾一下经典粒子运动方程，看是否能给我们以启发。,（1）经典情况,1.1 薛定谔（Schrodinger）方程,（2）量子情况,3方程不能包含状态参量，如 p, E 等，否则方程只能 被粒子特定的状态所满足，而不能为各种可能的状态所满足。,1因为 t = t0 时刻，已知的初态是(r,t0) 且只知道这样一个初条件，所以，描写粒子状态的波函数所满足的方程只能含对时间的一阶导数。,2要满足态叠加原理，即，若1( r, t ) 和2( r, t )是方程的解，那末 ( r, t)= C11( r, t ) + C22( r, t ) 也应是该方程的解。这就要求方程应是线性的，也就是说方程中只能包含、对时间的一阶导数和对坐标各阶导数的一次项，不能含它们的平方或开方项。,（二）平面波的启发,这不是所要寻找的方程，因为它包含状态参量 E 。将对坐标二次微商，得：,将上式对 t 微商，得：,满足上述构造方程的三个条件,讨论：通过引出自由粒子波动方程的过程可以看出，如果能动量关系式 E = p2/2m 写成如下方程形式：,即得自由粒子运动方程（3）。,(1)(2)式，得,然后，做算符替换：,（三）势场 V(r)中运动粒子的 Schrdinger 方程,若粒子处于势场 V(r) 中运动，则能动量关系变为：,将其作用于波函数,做算符替换,量子力学基本假定 I： 微观粒子体系的状态波函数满足Schrdinger 方程,在直角坐标系中，拉普拉斯算符为,在球坐标系中，拉普拉斯算符为,一维直角系中的薛定谔方程为,多粒子体系的 Schrdinger 方程,设体系由 N 个粒子组成， 质量分别为 mi (i = 1, 2,., N) 体系波函数记为 ( r1, r2, ., rN ; t) 第i个粒子所受到的外场 Ui(ri) 粒子间的相互作用 V(r1, r2, ., rN) 则多粒子体系的 Schrdinger 方程可表示为：,多粒子体系 Hamilton 量,对有 Z 个电子的原子，电子间相互作用为 Coulomb 排斥作用：,而原子核对第 i 个电子的 Coulomb 吸引能为：,例如：,波是由它所描写的粒子组成? 为什么不是?,实验事实:入射电子流强度大，很快显示衍射图样. 入射电子流强度小，电子一个一个发射，开始显示电子的微粒性，长时间亦显示同样的衍射图样.我们知道，衍射现象是由波的干涉而产生的，如果波真是由它所描写的粒子所组成，则粒子流的衍射现象应当是由于组成波的这些粒子相互作用而形成的。但事实证明，在粒子流衍射实验中衍射图样和入射粒子流强度无关。如果减小粒子流强度，同时延长实验的时间，是入射的粒子总数保持不变，则得到的衍射图样将完全相同。即使把粒子流强度减小到使粒子一个一个地被衍射，只要时间足够长，所得到的衍射图样也还是一样。这说明每一个粒子被衍射的现象与其他粒子无关，因此衍射图样不是由粒子之间的相互作用而产生的。,O,波函数(x,t)是在空间的一个分布,这样一个波函数如何描述一个微观粒子的运动状态呢?,1.2 波函数的统计解释,波函数的波恩统计解释,波恩说，波函数代表的是一种随机，一种概率，更准确地说，2代表了电子在某个地点出现的“概率”。电子本身不会像波那样扩展开去，但是它的出现概率则像一个波，严格地按照的分布所展开。 现在让我们来做一个思维实验，想象我们有一台仪器，它每次只发射出一个电子。这个电子穿过双缝，打到感光屏上，激发出一个小亮点。那么，对于这一个电子，我们可以说些什么呢？很明显，我们不能预言它组成类波的干涉条纹，因为一个电子只会留下一个点而已。事实上，对于这个电子将会出现在屏幕上的什么地方，我们是一点头绪都没有的，多次重复我们的实验它有时出现在这里，有时出现在那里，完全不是一个确定的过程。,不过，我们经过大量的观察，却可以发现，这个电子不是完全没有规律的：它在某些地方出现的可能性要大一些，在另一些地方则小一些。它出现频率高的地方，恰恰是波动所预言的干涉条纹的亮处，它出现频率低的地方则对应于暗处。现在我们可以理解为什么大量电子能组成干涉条纹了，因为虽然每一个电子的行为都是随机的，但这个随机分布的总的模式却是确定的，它就是一个干涉条纹的图案。这就像我们掷骰子，虽然每一个骰子掷下去，它的结果都是完全随机的，从1到6都有可能，但如果你投掷大量的骰子到地下，然后数一数每个点的数量，你会发现1到6的结果差不多是平均的。关键是，单个电子总是以一个点的面貌出现，它从来不会在屏幕上打出一滩图案来。只有大量电子接二连三地跟进，总的干涉图案才会逐渐出现。其中亮的地方也就是比较多的电子打中的地方，换句话说，就是单个电子比较容易出现的地方，暗的地带则正好相反。如果我们发现，有9成的粒子聚集在亮带，只有1成的粒子在暗带，那么我们就可以预言，对于单个粒子来说，它有90的可能出现在亮带的区域，10的可能出现在暗带。但是，究竟出现在哪里，我们是无法确定的，我们只能预言概率而已。,亮的地方粒子出现的几率大，暗的地方几率小。这说明了什么？我们知道亮的地方波的强度大，也就是2大，暗的地方波强度小，也就是2 小。这就说明波函数在空间中某一点的强度(2) 和在该点找到粒子的几率成正比。也就是说描写粒子的波是几率波。 知道了描写微观体系的波函数后，由就可以得出粒子在空间任意一点出现的几率。以后我们将看到，由波函数还可以得出体系的各种性质，因此我们说波函数描写体系的量子状态。,量子力学与经典力学的区别,量子力学用波函数来描写微观粒子的运动状态的方式和经典力学中描写质点运动状态的方式完全不一样，在经典力学中，通常是用质点的坐标和动量的值来描写质点的状态，一个质点的坐标和动量是随时间连续变化的我们有一条质点运动的轨迹。质点的其它力学量，如能量等，是坐标和动量的函数，当坐标和动量确定后，其它力学量也就随之确定了。但是在量子力学中，微观体系是由波函数来描写的，我们只知道粒子在某一时刻在空间某一点出现的几率，这样一来我们就不能说粒子的运动在空间形成一条轨迹了，同时，由于不确定性原理（测不准原理）在量子力学中粒子的坐标和动量不可能同时具有确定值，你把粒子的坐标测量的十分精确，那么你就完全不知道它的动量是多少了，也就是说，不可能同时用粒子的坐标和动量的确定值来描写粒子的量子状态。以后我们将看到，当粒子处于某一量子状态时，它的力学量一般有许多可能值，这些可能值各自以一定的几率出现，这些几率都可以由波函数得出。,没有轨迹的概念了，经典力学决定论的概念失效了。难道从电视机屏幕后电子枪发射的电子束也没有轨迹了？它怎么到达的荧光屏我们也不知道了？这里我们需要注意尺度问题，换句话说，必须满足什么样的条件我们才能把电子看作经典粒子？这里粒子的德布鲁意波长起着非常重要的作用。当考虑问题的尺度远大于德布鲁意波长时，我们就可以回到经典极限。电子束中的电子是由一个非常局域化的波包来描述，这波包在空间随时间运动，电子束的宽度远大于电子的德布鲁意波长，在这条件下，我们回到了经典极限，我们有了轨迹的概念，但是要注意，这里的轨迹并不是质点力学中一条没有宽度的线。我们也可以由电子的坐标和速度来描述电子的运动，但是他们都不是十分精确的确定值。假定我们的电视机屏幕是20乘20厘米， 象素是1千万，那么电子束的线度是106米，也就是说，电子束坐标不确定是106米，根据测不准关系那么动量的不确定大约是1028焦耳.秒(千克.米/秒), 假设用100伏电压加速电子, 电子速度大约为107米/秒, 动量大约为10-24千克.米/秒, 动量的不确定影响很小.说明在这种情况下量子效应很小. 但是对于原子中的电子,坐标的不确定性很小, 10-11米, 动量的不确定大约是10-23千克.米/秒,量子效应就必须考虑了.,波函数的性质,1. 与经典波的不同: 由于粒子必定要在空间的某一点出现,所以粒子在空间各点出现的几率总和等于一,因而粒子在空间各点出现的几率只决定于波函数在空间各点的相对强度,而不决定于强度的绝对大小.如果把波函数在空间各点的振幅同时加大一倍,并不影响粒子在空间各点的几率,换句话说,将波函数乘上一个常数后,所描写的粒子状态并不改变.量子力学中波函数的这种性质是其它波动过程所没有的.对于声波,光波等,体系的状态随振幅的大小而改变,如果把各处的振幅同时加大为二倍,那么声或光的强度到处都加大为四倍,这就完全是另一个状态了,几率与几率密度 设波函数(x,y,z,t)描写粒子的状态, 在空间一点(x,y,z)和时刻t,波的强度是(x,y,z,t)2=* 以dW(x,y,z,t)表示在时刻t, 在坐标x到x+dx、y到y+dy、z到zdz的无限小区域内找到粒子的几率，则dW除了和这个区域的体积ddxdydz成比例外，也和在这个区域内每一点找到粒子的几率成比例。按照波函数的统计解释，在这个区域内一点找到粒子的几率与(x,y,z,t)2成比例，即 dW(x,y,z,t)C (x,y,z,t)2 d,几率密度 在时刻t,在(x,y,z)点附近单位体积内找到粒子的几率,称为几率密度,2.1-2,把几率密度对整个空间积分,得到粒子在整个空间出现的几率, 由于粒子存在于空间中,这个几率等于1,2.1-3,我们已经知道,波函数乘以一个常数后,并不改变在空间各点 找到粒子的几率所以,我们可以用,来表示和对应同一状态的波函数. 可以看出,2.1-7,称为归一化的波函数, 上述步骤称为归一化,称为归一化常数,2.1-4,用归一化的波函数, 几率密度可以写作,2.1-5,在时刻t, 在坐标x到x+dx、y到y+dy、z到zdz的无限小区域d内找到粒子的几率为,2.1-5,在一个有限体积V内找到粒子的几率为,由波函数的统计解释, 一个物理的波函数都必须是归一化的.我们以后都用归一化的波函数表示微观粒子的状态.没有归一化的首先要把它归一化. 否则波函数的统计解释将没有意义。,相因子: 波函数即使在归一化以后也还不是完全确定的,因为对一个已经 归一化的波函数,我们还可以用一个常数,(是实常数)去乘波函数,这样既不影响空间各点找到粒子的几率,也不影响 波函数的归一化,因为,称为相因子,归一化波函数可以含有一任意相因子.,在归一化时,还必须注意,并不是所有的波函数都可以按归一化, 这种归一化要求,为有限值, 如果这个条件不满足,即,发散,这种归一化就没有意义.比如,平面波,就是不满足这个条件的一个例子.这种波能否代表真实的自由粒子，我们以后再说。 由于波函数的几率解释，所以，所有描述真实物理状态的波函数都必须是归一化的。,这个几率是的图形中a到b之间所包含的面积。 对图所给的波函数,你将非常可能在点A附近区域发现粒子,因为这里的,比较大,而在点B附近可能发现不了粒子。,由波恩的统计解释和归一化的波函数，我们知道,波函数的统计诠释在量子力学中引入了一种不确定性，即便你根据这个理论知道了一个粒子的所有信息（它的波函数），你仍然不能在一个简单的测量它位置的实验中确切地预言实验结果量子力学所能提供的仅是一些可能结果的统计信息。这个不确定性曾严重困惑了物理学家和哲学家，很自然人们要问，这种不确定性是事物的本质，还是理论的缺陷？ 假定我们确实测量了这个粒子的位置并且发现它在点C。问题：在我们恰好进行测量之前这个粒子在那里？有三种可能的回答，它们代表三种主要学派对不确定性的不同看法。 1. 现实主义学派：粒子还是在C。听起来像一个很合理的回答，这也是爱因斯坦（Einstein）所持的观点。可是注意，如果这是真实的，这就意味着量子力学是一个不完备的理论，如果粒子在测量前就在，而量子力学没有能力告诉我们这一点。对现实主义而言，不确定性不是自然的本性，而是反映了我们对自然的无知。dEspagnat强调说“粒子的位置从来就不是不可确定的，而仅是试验者不知道而已。显然波函数不是全部的故事需要提供某些附加的信息（称为隐变量）才能提供对粒子的完全描述。 2. 正统学派：粒子哪也不在。是测量强迫粒子“在某处露面”（尽管我们无法知道为什么及如何它决定在C露面）。Jordan更加明确指出：“观测者不仅扰动了被观测量，而且产生了它 我们强迫(粒子)出现在特定的位置.这种观点(称为哥本哈根（Copenhagen）学派解释),源于波尔（Bohr）和其追随者。在物理学家中是被最广泛接受的观点。可是注意，如果这种观点是正确的，测量的作用将非常独特对其争论了半个世纪但少有进展。 3不可知论学派：拒绝回答。这个回答并不是像它听起来那样糊涂愚蠢首先，知道你的回答是否正确的唯一途径是进行一个精确的测量，那么什么情况可以叫做 “测量前”？在这种情况下，对测量前粒子的状态进行论断有什么意义？为某些由其本质是不可能被检测的事而担忧是故弄玄虚。Pauli（泡利）曾说过：“和讨论一个针尖上能坐多少天使的远古问题一样，我们无需为某些我们根本无法知道的事情浪费脑力”。数十年来,大多数物理学家采取这种回避的姿态。他们向你兜售正统学派的观点，但是如果你坚持，他们停止对话，又会回到不可知论的观点。 直到最近，所有三种观点还都有自己的支持者。但是在1964年John Bell震惊了物理学界，他宣布粒子在测量前有没有一个确定的位置在观测上会导致不同的测量结果。Bell的发现排除了不可知论作为一种可能的观点，并且把判断正统观点和现实主义观点谁是正确的变成一个实验的问题。至于现在，只需指出实验已经决定性的证实了正统观点：一个粒子在测量前没有一个确定的位置，就像水面的波纹，是测量的过程给出了一个具体数量，在这个意义上，给出了受波函数统计权重限定的特定的结果。,如果紧接着第一次测量进行第二次测量，能测量到什么结果？粒子还是在C？还是每次都测量到一个完全的不同的新结果？在这个问题上所有人都是完全一致的：一个重复实验（对同一粒子）将产生同样的结果。 的确，如果紧接的第二次测量不能证实粒子在C，它将是很困难证明粒子在第一次测量确实出现在C。正统观点如何解释第二测量结果限制粒子在C？事实是第一次测量完全改变了波函数，所以它现在是尖锐的在C点耸起（图1.3）。我们称之为由于测量产生的波函数的坍塌,在C点生成针状波形(由于波函数遵从薛定鄂方程,这个波将很快弥散开来,所以第二次测量要立即进行)。所以存在两类完全不同的物理过程:“正常”类，波函数按薛定鄂方程“从容不迫”的演化，“测量”类，由于测量，波函数突然和不连续的坍塌。,1.3 几个有关几率的基本概念,1.3.2 连续变量分布情况,设几率密度为(x), (波函数的模方2就是几率密度. )则有,归一化,X在a、b区间的几率,平均值,X函数的平均值,标准方差,1.4期待值,知道了波函数，我们就知道了测量粒子的坐标得到它处于某处的几率，也知道了对一个系综大量相同体系测量的平均值。那么其他物理量呢？我们先来考虑粒子的动量。,我们计算坐标期待值随时间的变化率,利用分部积分公式,上式可以写为,(我们利用了,并丢掉了边界项,因为在,无限大处,趋于零。)对第二项再进行一次分部积分,有,我们拿这个结果做什么？注意我们讨论的是坐标期待值的“速度”，它同粒子的速度不是一回事。在量子力学中速度意味着什么都不是很清楚的：如果粒子没有一个确定的位置(在测量之前)，那么它也不会有一个明确定义的速度。我们只能问的是得到一个特定值的几率是多少。对我们目前的而言，我们假设速度的期待值等于位置期待值对时间的导数就足够了：,这个式子告诉我们如何从坐标的期待值计算速度的期待值，由动量与速度的关系 动量的期待值可以写作,让我们把坐标和动量的期待值写作更有启发性的形式,我们说在量子力学中算符x表示位置，算符,“表示”动量；计算期待值时我们把适当的算符放在,和,之间，然后积分。,事实上，所有经典力学量都可以表示为坐标和动量的函数（当然还有非经典量，比如自旋，方法一样）。例如，动能是,角动量是,(当然,角动量对一维运动不存在)。要计算任何物理量,的期待值,我们简单地可以用,取代每一个p,再把得到的算符放在,和,之间，然后积分。,当粒子处于态,时，对于一个力学量，如果我们还想知道测量这个力学量,可以得到那些特定值，得到某个特定值的几率是多少，那么该如何做？这个问题留在以后再说。,态叠加原理,在经典物理中,声波和光波都遵从迭加原理:两个可能的波动过程1和2线性迭加的结果1+2也是一个可能的波动过程.光学中的惠更斯原理就是这样一个原理,它告诉我们:在空间任意一点P的光波振幅可以由前一时刻波前上所有各点传播出来的光波在P点线性叠加起来而得出.在声学和光学中,利用这个原理可以解释声和光的干涉,衍射现象. 微观粒子具有波动性, 微观粒子的状态可以由一个波函数来完全描写,那么波函数满足不满足迭加原理呢? 或者说微观粒子的状态满足不满足迭加原理呢?,量子力学中的态叠加原理,现在我们来看量子力学中的态叠加原理.以粒子的双狭缝衍射实验为例.用1表示 粒子穿过上面狭缝到达屏幕B的状态, 用2表示粒子穿过下面狭缝到达屏幕B的状 态, 再用表示粒子穿过两个狭缝到达屏幕B的状态.那么可以写为1和2的线性 叠加,即=c11+2,式中c1和c2是复数.,1,2,态叠加原理: 如果1和2是量子体系的可能状态,那么它们的线性叠加 =c11+c22 (c1和c2是复数) (2.2-1) 也是这个体系的一个可能状态. 态叠加原理还有这样的含义:当粒子处于态1和2的线性叠加态时,粒子是既处在1态,又处在2态,或说部分地处于态1和2.,按照态叠加原理我们可以解释微观粒子的衍射现象.粒子在屏幕上一点P出现的几率密度是,可以看出粒子穿过双狭缝后在P点的几率密度2 一般不等于粒子穿过上面狭缝到达P点的几率密度c112与粒子穿过下面狭缝到达P点的几率密度c222之和,而是等于c112 + c222再加上干涉项. 衍射图样的产生证实了干涉项的存在.,2.2-2,推广到更一般的情况:当1, 2, .n,是体系的可能状态时,它们的线性叠加,2.2-3,也是体系的一个可能状态; 也可以说,当体系处于态时,体系部分地处于态 1, 2, .n,中.,态迭加原理: 电子的晶体表面衍射之例,粒子在晶体表面发射后,可能以各种不同的动量p运动.按照态叠加原理,在晶体表面上反射后,粒子的状态可以表示为p取各种可能值的平面波的线性叠加;,2.2-5,其中,2.2-4,是动量为P的平面波函数粒子经过晶体表面反射后所产生的衍射现象,就是这许多 平面波相互干涉的结果.由于动量是连续变化的,上公式中的求和应该以对动量的 积分所代替.,实际上任何一个波函数都可以看作是各种不同的平面波的叠加,也就是说任何一个波函数都可以用平面波来展开,2.2-6,式中,2.2-7,平面波的含时部分我们已把它写入,(以后说明为什么),为动量为p的平面波,其中归一化常数A已取作,我们仍然称,可以求出,2.2-8,可以看出,和,互为傅立叶变换,当,给定后,也由(2.2-8)完全确定,反之,当,给定后,也由(2.2-9)完全确定.由此可见,和,是同一个状态的两种不同描述方式.,是以坐标为自变量的波函数,则是以动量为自变量的波函数, 它们描述同一个状态.,在一维情况下,（一） 定域几率守恒,在波函数是随时间变化的情况下,几率也将随时间变化,几率密度在空间的分布将随之变化,那么几率将怎样随时间变化呢? 几率密度随时间的变化率是;,波函数随时间变化的规律满足薛定谔方程，波函数的变化将引起在空间发现粒子几率的而变化.我们现在讨论粒子在一定空间区域内出现的几率将怎样随时间变化。粒子在 t 时刻 r 点周围单位体积内粒子出现的几率即几率密度是：,2.4-1,2.4-2,粒子流密度和粒子数守恒定律,考虑 Schrdinger 方程及其共轭式：,令,2.4-4,则(2.4-3)可以写作,2.4-5,这方程具有连续性方程的形式.为了说明矢量J的意义,对空间任意一个体积V积分,24-7,与流体力学中连续性方程的形式相同,上公式左边表示单位时间内V中几率的增加, 右边是矢量J在V的边界S上法向分量的面积 分,因此可以把J解释为几率流密度矢量, 它在S面上的法向分量表示单位时间内流过 S面上单位面积的几率.(2.4-7)表示单位时间 内体积V中增加的几率,等于从体积V外部穿 过V的边界面S而流进V内的几率.这里的几率 守恒具有定域性质，当空间某处几率减少了， 必然另外一些地方几率增加，使总几率不变， 并伴随着某种流来实现这种变化。,V,如果波函数在无限远处为零(并非总是如此),我们可以把积分区域扩展到整个 空间,在时(2.4-7)右边的面积分显然为零,所以有,即在整个空间内找到粒子的几率与时间无关.如果波函数是归一的,它将保持归一的性质,而不随时间改变.,2.4-8,(几率)质量密度,(几率)质量流密度,质量守恒定律,电荷密度,电流密度,电荷守恒定律,（二）再论波函数的性质,（1）由 Born 的统计解释可知，描写粒子的波函数已知 后，就知道了粒子在空间的几率分布，即 d w(r, t) = |(r, t)|2 d （2）已知 (r, t)， 则任意力学量的平均值、可能值及相 应的几率就都知道了，也就是说，描写粒子状态的一切力学量就 都知道了。所以波函数又称为状态波函数或态函数。 （3）知道体系所受力场和相互作用及初始时刻体系的状态 后，由Schrdinger方程即可确定以后时刻的状态。,1、波函数完全描述粒子的状态,2、波函数标准条件,（1）根据Born统计解释 w(r,t) = *(r,t)(r,t)是粒子在t时刻出现在 r点处单位体积内的几率，这是一个确定的数，所以要求(r, t)应是 r, t的单值函数且有限。,含有及其对坐标一阶导数的积分，由于积分区域是任意 选取的，所以S是任意闭合面。要使积分有意义，必须在变数的 全部范围，即空间任何一点都应是有限、连续且其一阶导数亦连 续。 波函数在全空间每一点通常应满足单值、有限、连续三个条 件，该条件称为波函数的标准条件。,（2）根据几率数守恒定律 :,量子力学基本假定 I、 II,量子力学基本假定 II： 微观体系的状态由波函数完全描述,从这个波函数可以得出体系的所有性质.波函数一般应满足连续性,有限性和单值性三个条件粒子的状态,量子力学基本假定 I： 体系的状态波函数满足Schrdinger 方程,1.6 不确定原理,假设你握着一根长绳的一端，有节奏地上下摆动产生一个波。如果有人问：“精确来讲波在那里？