《降次解一元二次方程》.ppt

人教版九年级数学 多媒体课件,配方法,复习回顾,等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2 （二次）的方程，叫做一元二次方程。,ax2+bx+c=0 (a0).,一元二次方程的一般形式：,复习回顾,1、一元二次方程3y(y1)=7(y2)5化为一般形式为 ；其中二次项系数为 ；一次项系数为 ；常数项为 。,3y2-4y-9=0,3,-4,-9,2、已知关于x的方程(k2-1)x2+kx-1=0为一元二次方程，则k .,1,有一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆刚好刷完了10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗?,分析：设正方体的棱长为xdm，则一个正方体的表面积为（6x2）dm2。根据题意，可得：,106x2=1500,整理得：,x2=25,(5)2=25,x=5,因为x为棱长，故为正数，则x=5。,要解方程106x2=1500，关键在于把一元二次方程化为一元一次方程，即降次。,通过对方程106x2=1500的解答，可以发现，方程两边同时开平方即可达到降次的目的。,你能求出方程(2x-1)2=5的解吗？ 方程x2+6x+9=2又如何解呢？,分析：方程(2x-1)2=5左边是平方的形式，故可以方程左右两边同时开方，从而把方程转化为一元一次方程。,探究,解：方程两边同时开方得,方程的根为：,分析：方程x2+6x+9=2左边是完全平方式，则可以写成平方的形式。方程两边也就可以同时开平方降次，从而解出方程。,探究,解：原方程整理为,(x+3)2=2,方程两边同时开方（降次），得,则方程的根为：,探究,由上可知，要方程两边同时开方求出方程的根，需要把方程转化为完全平方式等于常数的形式。,完全平方式有什么特点？,1、有三项；,2、其中两项是平方项，且符号一致；,3、第三项是两数积的2倍。,练习,解下列方程：,注意：方程两边需同时开平方。,方程x2+6x=2如何解？,此方程不能直接写成完全平方式等于常数的形式，故需要把方程左边凑成完全平方式的形式。x2+6x还差一个平方项，把6x分解为两数积的2倍，则知添上32即可凑成完全平方式。,x2+6x+32=2+32,解：方程两边都加上32，得,即 (x+3)2=11,则方程的根为：,方程两边同时开方（降次），得,像上题，通过配成完全平方式的形式解出一元二次方程的根的方法，叫做配方法。,可以发现，配方是为了降次，把一个一元二次方程化为两个一元一次方程来解。,例题讲解,解下列方程：,(1)解：移项得,x2- 8x= -1,配方，得,x2- 8x+42= -1+42,(x-4)2 = 15,x- 4 =,则方程的根为：,(2)解：移项得,3x2- 6x= -4,配方，得,二次项系数化为1，得,因为实数的平方不会为负数，不论x取何值，(x-1)2都不会为负数，则上式不成立，即原方程无实根。,解方程3x2- 6x= -4 时，为什么要先把二次项的系数化为1？,求方程的根，需要配成完全平方式的形式，而完全平方公式中的两个平方项的系数都是1，先把二次项的系数化为1，更便于配成完全平方式的形式.,用配方法解一元二次方程的步骤：,1、通过移项，把含未知量的项移到等号的左边，常数项移到等号的右边。,2、通过配方，把等号左边凑成完全平方式的形式。,3、等号两边同时开方，求方程的根.,练习,1、填空：,52,5,102,10,12,2x,1,2、解下列方程：,公式法,用配方法解一元二次方程的步骤：,1、通过移项，把含未知量的项移到等号的左边，常数项移到等号的右边。,2、通过配方，把等号左边凑成完全平方式的形式。,3、等号两边同时开方，求方程的根.,复习回顾,任何一元二次方程都可以写成一般形式：,能否用配方法求出此方程的根？,把二次项系数化为1，得,解：移项，得,配方，得,因为a0，所以4a2 0. 当b2-4ac0时，则有：,所以方程的根为：,对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)，当b2-4ac0时，方程的根为：,为什么？,一元二次方程的求根公式。,求一元二次方程的根时，把方程化为一般形式：ax2+bx+c=0(a0)，当b2-4ac0时，把a、b、c的值代入 即可求出方程的根.,利用求根公式求出方程的根的方法叫做公式法。,例题讲解,解下列方程：,解： (1)把方程化为一般形式：,a=1，b=3，c=1.5,b2-4ac=32- 411.5=30,b2-4ac=(-4)2- 414=0,b2-4ac=(-3)2- 414= -70,因为在实数范围内负数没有平方根，所以方程无实数根。,对于一元二次方程ax2+bx+c=0 (a0)，b2-4ac的范围与方程的根的情况有怎样的联系？,1、当b2-4ac0时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)有两个不等实数根：,2、当b2-4ac=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)有两个相等实数根：,3、当b2-4ac0时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)没有实数根：,把一元二次方程ax2+bx+c=0 (a0)化为一般形式后，不用解方程，根据b2-4ac的范围则可以判断方程的根的情况.,b2-4ac就为一元二次方程根的判别式，记为：= b2-4ac.,当k取什么值时，关于x的方程： （1）方程有两个不相等的实根；（2）方程有两个相等的实根； （3）方程无实根.,探究,解：=,(1)当=8k+90，即 k 时，方程有两个不相等的实数根；,(2)当=8k+9=0，即 k= 时，方程有一个的实数根；,(3)当=8k+90，即 k 时，方程没有实数根。,已知m为非负整数，且关于x的方程 ： 有两个实数根，求m的值。,解：方程有两个实数根，,解得：,m为非负整数，,m=0或m=1,0,m,为什么？,练习,2、解下列方程：,谢谢！,因式分解法,复习回顾,一元二次方程的解法有：,1、配方法；,2、公式法；,1、当b2-4ac0时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)有两个不等实数根：,复习回顾,2、当b2-4ac=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)有两个相等实数根：,3、当b2-4ac0时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)没有实数根：,解：设这个数为x，则有：,一个数的平方与它本身互为相反数，问：这个数是多少？,x2+x=0,你可以有哪些方法解这个方程？,除了配方法、公式法外，还有没有更简便的方法解这个方程呢？,x2+x=0,方程右边为0。左边因式分解，得：,x(x+1)=0,x(x+1)=0,x=0 或 (x+1)=0,则x1=0 ，x2=-1,x2+x=0,解：原方程整理得,可以发现，利用因式分解可以很快捷地解出方程。,上述解法中，通过因式分解使一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，求出方程的根，这种解法叫做因式分解法。,1、 什么样的一元二次方程可以用因式分解法来解？,3、用因式分解法解一元二次方程，其关键是什么？,2、用因式分解法解一元二方程，必须要先化成一般形式吗？,例题讲解,解下列方程：,x+2=0或3x5=0, x1=-2 , x2=,解：移项，得,(x+2)(3x5)=0,提公因式.,(2)(3x+1)25= 0,解：原方程可变形为,平方差公式.,4、两个 就是原方程的解。,1、方程右边化为 。,2、将方程左边分解成两个 的乘积。,3、至少 因式为零，得到两个一元一次方程。,用因式分解法解一元二次方程的步骤：,零,一次因式,有一个,一元一次方程的解,1.不计算，请你说出下列方程的根.,练习,2.下面的解法正确吗？如果不正确，错误在哪？,(1)解方程：,解：,这个方程需要先转化为一般形式再求解.,(2)解方程：,解：,根据等式性质，等式两边都除以一个不为0的数时，等式仍然成立。上式中，方程两边同除以y，而y有可能为0.那么，这个方程应该怎样解呢？,解：移项，得,因式分解，得,例题讲解,解方程：,分析：等号右边不为0，需要先移项整理。使方程右边为0，再对方程左边因式分解。,解：移项，合并得：,因式分解，得：,练习,(1)(2a3)2=(a2)(3a4),(2)(4x3)2=(x+3)2,解下列方程：,（1）将方程变形，使方程的右边为零；,（2）将方程的左边因式分解；,（3）根据若AB=0，则A=0或B=0，将解一元二次方程转化为解两个一元一次方程.,因式分解法的基本步骤：,小结,小结,一元二次方程的解法：,1、配方法；,2、公式法；,3、因式分解法.,适用任何一元二次方程,适用部分一元二次方程,谢谢！,选择合适的方法解一元二次方程,只含有 的 ，并且都可以化为 的形式 这样的方程叫做一元二次方程,驶向胜利的彼岸,一元二次方程的概念,把axbxc(a，b，c为常数,a)称为一元 二次方程的一般形式，其中ax ， bx ， c分别称为二次项、一次项和常数项，a， b分别称为二次项系数和一次项系数,一个未知数x,整式方程,axbxc(a，b，c为常数, a),方程4x(x+2)= -5 化成一般形式为 _。 方程8x= x2 + 4 的二次项系数为 ，一次项为 ，常数项为 。 x2+4x+ =(x+ _)2 4. 若 x2=9，则x=_. 5. 方程 3x2 = x的解是_. 6. 方程 4x(x+2)=0 的解是 。 7. 方程 x22x=0 的解是 。 8.已知两个数的和等于2，积等于-1，设其中一个数为x，可列方程_.,4x2 +8x +5=0,1,-8,4,4,2,3或-3,0或 1/3,0或-2,0或2,X2-2x-1=o,你学过一元二次方程的哪些解法?,说一说,因式分解法,开平方法,配方法,公式法,你能说出每一种解法的特点吗?,方程的左边是完全平方式,右边是非负数; 即形如x2=a(a0),直接开平方法,1.用因式分解法的条件是:方程左边能够 分解,而右边等于零;,因式分解法,2.理论依据是:如果两个因式的积等于零 那么至少有一个因式等于零.,因式分解法解一元二次方程的一般步骤:,一移-方程的右边=0;,二分-方程的左边因式分解;,三化-方程化为两个一元一次方程;,四解-写出方程两个解;,1.化1:把二次项系数化为1;,2.移项:把常数项移到方程的右边;,3.配方:方程两边同加一次项系数 一半的平方;,4.变形:化成,5.开平方，求解,“配方法”解方程的基本步骤：,一除、二移、三配、四化、五解.,用公式法解一元二次方程的前提是:,公式法,1.必需是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a0).,2.b2-4ac0.,用适当的方法解一元二次方程，完成后与你的同伴交流你的解法 3x2=27 (2) 4x26x=0 (3) x2+2x=5 (4) 2x23x1=0,例1.用四种方法解方程9(x24x+4)=4(4x212x+9),方法一：直接开平方法 9(x2)2=4(2x3)2,3(x2)=2(2x3),3(x2)=2(2x3)或3(x2)= 2(2x3),9(x24x+4)=4(4x212x+9),方法二：因式分解法 9(x2)2=4(2x3)2,3(x2)22(2x3)2=0,3(x2)2(2x3)3(x2)+2(2x3)=0,(x)(7x12) =0,方法三：配方法。化成一般形式，得： 7x212x=0,方法四：公式法。,化成一般形式，得：7x212x=0,解：a=7，b= 12，c= 0,b2 4ac=,(12)2 470,=144,一元二次方程,一元二次方程的定义,一元二次方程的解法,一元二次方程的应用,把握住：一个未知数，最高次数是2， 整式方程,一般形式：ax+bx+c=0（a0）,直接开平方法： 适应于形如（x-k） =h（h0）型 配方法： 适应于任何一个一元二次方程 公式法： 适应于任何一个一元二次方程 因式分解法： 适应于左边能分解为两个一次式的积，右边是0的方程,例2.解方程(3x+2)28(3x+2)+15=0,分析：可将3x+2看成一个整体，用换元法解题,解：设y=3x+2，得： y28y+15=0,(y3)(y5)=0,y1=3，y2=5,3x+2=3或3x+2=5,x1= ，x2=1,例3.解方程,注意观察方程的左右两边的两项的次数和系数,解：,1、填空： x2-3x+1=0 3x2-1=0 -3t2+t=0 x2-4x=2 2x2x=0 5(m+2)2=8 3y2-y-1=0 2x2+4x-1=0 (x-2)2=2(x-2) 适合运用直接开平方法 适合运用因式分解法 适合运用公式法 适合运用配方法, 3x2-1=0, 5(m+2)2=8, -3t2+t=0, 2x2x=0, (x-2)2=2(x-2), x2-3x+1=0, 3y2-y-1=0, 2x2+4x-1=0, x2-4x=2,规律： 一般地，当一元二次方程一次项系数为0时（ax2+c=0），应选用直接开平方法；若常数项为0（ ax2+bx=0），应选用因式分解法；若一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0），先化为一般式，看一边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，不然选用公式法；不过当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较简单。, 公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用，但不一定是最简