分类计数原理与分步计数原理(2课时).ppt

10.1 分类计数原理与分步计数原理,分类计数原理 分步计数原理,问题 1. 从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船. 一天中，火车有4 班, 汽车有2班，轮船有3班. 那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法?,分析: 从甲地到乙地有3类办法：,第一类方法, 乘火车，有4种方法;,第二类办法, 乘汽车，有2种方法;,第三类办法, 乘轮船, 有3种方法;,所以，从甲地到乙地共有 4 + 2 + 3 = 9 种方法.,引入,问题 2.如图,该电路从A到B共有多少条不同的线路可通电？,A,B,引入,路径类1-1,问题 2.如图,该电路从A到B共有多少条不同的线路可通电？,A,B,引入,路径类1-2,问题 2.如图,该电路从A到B共有多少条不同的线路可通电？,A,B,引入,路径类1-3,问题 2.如图,该电路从A到B共有多少条不同的线路可通电？,A,B,引入,路径类2-1,问题 2.如图,该电路从A到B共有多少条不同的线路可通电？,A,B,引入,解: 从总体上看由A到B的通电线路可分二类, 第一类, m1 = 3 条 ； 第二类, m2 = 1 条.,问题 2.如图,该电路从A到B共有多少条不同的线路可通电？,所以, 从A到B共有 N = 3 + 1 = 4 条不同的线路可通电.,引入,做一件事情，完成它可以有 n类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法，在第n类办法中有mn种不同的方法. 那么完成这件事共有 N=m1+m2+mn 种不同的方法.,分类计数原理：,新授知识,问题3. 如图,由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条. 从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法?,A村,B村,C村,北,南,中,北,南,分析: 从A村经 B村去C村有2步：,第一步, 由A村去B村有3种方法；,第二步, 由B村去C村有2种方法.,所以，从A村经 B村去C村共有 3 2 = 6 种不同的方法.,引入,问题4.如图,该电路从A到B共有多少条不同的线路可通电？,A,B,引入,问题4.如图,该电路从A到B共有多少条不同的线路可通电？,A,B,路径-,引入,问题4.如图,该电路从A到B共有多少条不同的线路可通电？,A,B,路径-,引入,问题4.如图,该电路从A到B共有多少条不同的线路可通电？,A,B,路径-,引入,问题4.如图,该电路从A到B共有多少条不同的线路可通电？,A,B,路径-,引入,问题4.如图,该电路从A到B共有多少条不同的线路可通电？,A,B,路径-,引入,问题4.如图,该电路从A到B共有多少条不同的线路可通电？,A,B,路径-,引入,问题4.如图,该电路从A到B共有多少条不同的线路可通电？,解: 从总体上看由A到B的通电线路可分两步：,第一步, m1 = 3 段；,第二步, m2 = 2 段.,所以, 从A到B共有 N = 3 2 = 6条不同的线路可通电.,引入,做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事有 N=m1m2mn 种不同的方法.,分步计数原理：,新授知识,第二类办法, 从女三好学生中任选一人, 共有 m2 = 4 种不同的方法;,例1 某班级有男三好学生5人,女三好学生4人. (1)从中任选一人去领奖, 有多少种不同的选法？ (2) 从中任选男、女三好学生各一人去参加座谈会,有多少种不同的选法？,讲解例题,解： (1) 完成从三好学生中任选一人去领奖这件事,共有2类办法：,第一类办法, 从男三好学生中任选一人, 共有 m1 = 5 种不同的方法;,所以, 根据分类计数原理, 得到不同选法种数共有 N = 5 + 4 = 9 种.,例1 某班级有男三好学生5人,女三好学生4人. (1)从中任选一人去领奖, 有多少种不同的选法？ (2) 从中任选男、女三好学生各一人去参加座谈会,有多少种不同的选法？,讲解例题,解： (2) 完成从三好学生中任选男、女各一人去参加座谈会这件事, 需分2步完成：,点评: 解题的关键是从总体上看做这件事情是“分类完成”,还是“分步完成”. “分类完成”用“分类计数原理”;“分步完成”用“分步计数原理”.,第一步, 选一名男三好学生,有m1 = 5 种方法;,第二步, 选一名女三好学生,有m2 = 4种方法;,所以, 根据分步计数原理, 得到不同选法种数共有 N = 5 4 = 20 种.,例2书架的第一层放有4本不同的计算机书，第二层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书 （1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？ （2）从书架的第1、2、3层各取一本书，有几种不同的取法？,第1类办法是从第1层取1本计算机书，有4种方法； 第2类办法是从第2层取1本文艺书，有3种方法； 第3类办法是从第3层取1本体育书，有2种方法,例题讲解,解：从书架上任取一本书，有3类办法：,根据分类计数原理，不同取法的种数是 N=m1+m2+m3=4+3+2=9 答：从书架上任取1本书，有9种不同的取法.,例2 书架的第一层放有4本不同的计算机书，第二层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书 （1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？ （2）从书架的第1、2、3层各取一本书，有几种不同的取法？,解： （2）从书架的第1、2、3层各取1本书，可以分成3个步骤完成：,据分步计数原理，从书架的第1、2、3层各取1本书，不同取法的种数是 Nm1m2m343224 答：从书架的第1、2、3层各取1本，有24种不同的取法.,例题讲解,第1步从第1层取1本科技书，有4种方法； 第2步从第2层取1本漫画书，有3种方法； 第3步从第3层取1本文学书，有2种方法.,.,A,B,A,B,m1,m1,m2,m2,mn,mn,我们可以把分类计数原理看成“并联电路”;分步计数原理看成“串联电路”.如图:,理解1:,分类计数原理中的“分类”要全面, 不能遗漏; 但也不能重复、交叉;“类”与“类之间是并列的、互斥的、独立的,也就是说,完成一件事情,每次只能选择其中的一类办法中的某一种方法. 若完成某件事情有n类办法, 即它们两两的交为空集,n类的并为全集.,分步计数原理中的“分步”程序要正确. “步”与“步”之间是连续的,不间断的,有顺序的，缺一不可;但也不能重复、交叉;若完成某件事情需n步, 则必须且只需依次完成这n个步骤后,这件事情才算完成.,在运用“分类计数原理、分步计数原理”处理具体应用题时,除要弄清是“分类”还是“分步”外,还要搞清楚“分类”或“分步”的具体标准. 在“分类”或“分步”过程中,标准必须一致,才能保证不重复、不遗漏.,理解2:,如图,从甲地到乙地有2条路可通,从乙地到丙地有3条路可通;从甲地到丁地有4条路可通, 从丁地到丙地有2条路可通. 从甲地到丙地共有多少种不同的走法？,甲地,乙地,丙地,丁地,解:从总体上看,由甲到丙有两类不同的走法, 第一类, 由甲经乙去丙,又需分两步, 所以 m1 = 23 = 6 种不同的走法;,第二类, 由甲经丁去丙,也需分两步, 所以 m2 = 42 = 8种不同的走法;,所以从甲地到丙地共有 N = 6 + 8 = 14 种不同的走法.,课堂练习,做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事有 N=m1m2mn 种不同的方法.,分步计数原理：,做一件事情，完成它可以有 n类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法，在第n类办法中有mn种不同的方法. 那么完成这件事共有 N=m1+m2+mn 种不同的方法.,分类计数原理：,小结,作业：习题 10.1 1，2，3，4,思考1.分类计数原理和分步计数原理的共同点是什么？不同点什么？,思考2. 何时用分类计数原理、分步计数原理呢?,下一节回答：,分类计数原理与分步计数原理(2),学习目标:,、能掌握分类计数原理与分步计数原理，会用两个原理分析和解决一些简单的应用题。 、培养分析问题和解决问题的能力， 培养逻辑思维能力。 、培养比较、类比、归纳等数学思想方法和灵活应用的能力。,分类计数原理（加法原理） 完成一件事，有n类办法,在第1类办法中有m1种不同的方法,在第2类办法中有m2种不同的方法，在第n类办法中有mn种不同的方法。那么完成这件事共有 N=m1+m2+mn 种不同的方法.,分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，做第n步有mn种不同的方法。那么完成这件事共有 N=m1m2mn 种不同的方法.,一、知识回顾：,分类计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事； 分步计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事。,注意点：,二、例题讲解：,例1：要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上日班和晚班，有多少种不同的选法？,解：要排好一个日班和晚班须分两个步骤来完成:第1步是从甲、乙、丙3人中选1人上日班，有3种选法；第2步是选1人上晚班，但这时只能从剩下的2人中选1人，有2种方法，根据分步计数原理，不同的选法种数是：32=6.,具体排法,日班 晚班,日班 晚班,甲 乙,甲 丙,乙 甲,丙 乙,丙 甲,乙 丙,例2：在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？,分析1：按个位数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别是： 1个,2个,3个,4个,5个,6个,7 个,8 个.则根据加法原理共有 1+2+3+4+5+6+7+ 8 =36 (个).,分析2：按十位数字是1,2,3,4,5,6,7,8分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别是： 8个,7个,6个,5个,4个,3个,2个,1个.则根据加法原理共有 8+7+6+5+4+3+2+1 = 36 (个).,例3:一个三位密码锁,各位上数字由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9十个数字组成,可以设置多 少种三位数的密码(各位上的数字允许重复)？ 首位数字不为0的密码数是多少？ 首位数字是0的密码数又是多少？,分析: 按密码位数,从左到右依次设置第一位、第二位、第三位, 需分为三步完成; 第一步, m1 = 10; 第二步, m2 = 10; 第三步, m2 = 10. 根据乘法原理, 共可以设置 N = 101010 = 103 种,答:首位数字不为0的密码数是 N =91010 = 9102种, 首位数字是0的密码数是 N = 11010 = 102 种。 由此可以看出, 首位数字不为0的密码数与首位数字是0的密码数之和等于密码总数。,问: 若设置四位、五位、六位、十位等密码,密码数分别有多少种？,答:它们的密码种数依次是 104 , 105, 106, 种。,例4:某艺术组有9人，每人至少会钢琴和小号中的一种乐器，其中有7人会钢琴，3人会小号，从中选出会钢琴与会小号的各1人，有多少种不同的选法？,解：由题意可知，艺术组9人中，只会钢琴的有6人，只会小号的有2人，既会钢琴又会小号的有1人(可把该人称为多面手)因此，选出会钢琴与会小号的各1人可分两类：,第一类：不选多面手，分2步：第一步从只会钢琴的6人中选1人，有6种选法；第二步从只会小号的2人中选1人，有2种选法，因此，共有62=12(种).,第二类：选多面手，分2步：第一步从多面手中选，有1种选法；第二步从非多面手中选，有8种选法，因此，共有18=8(种).,故共有12+8=20(种).,点评：此题不是简单的分类或分步就可完成既要分类又要分步，一般是先分类然后再在每一类中分步，综合运用分类计数原理和分步计数原理，体会“特殊元素优先”法。,例5:如图，要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同的颜色，不同的涂色方案有多少种？,（染色问题）,解: 按地图A、B、C、D四个区域依次分四步完成, 第一步, m1 = 3 种, 第二步, m2 = 2 种, 第三步, m3 = 1 种, 第四步, m4 = 1 种, 所以根据乘法原理, 得到不同的涂色方案种数共有 N = 3 2 11 = 6 种。,三、课堂练习：,1、将5封信投入3个邮筒，则有 种不同投法(用数字作答) 2、已知集合 从A、B中各取一个元素作为点的坐标，在第一、二象限中的不同点的个数是( ),A . 8 B . 12 C . 14 D . 16,243,C,3、书架上原来并排放着5本不同的书，现要插入三本不同的书，那么不同插法的种数是( ),A . 336 B . 120 C . 24 D . 16,4、数字允许重复的三位偶数有多少个？,A,N=9105=450（个）,。,。,。,。,。,。,M,N,5,4,。,F,6,