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1,2.6 固有值与固有函数,在本章的前三节我们应用分离变量法求解弦振,动方程、一维热传导方程和二维拉普拉斯方程的,有关定解问题时，都需要解决一个含参变量,的,也属于施图姆-刘维尔问题,常微分方程的边值问题，,这样的问题称为固有值问题。,2,施图姆-刘维尔方程的一般形式,(95),其中,1.,2.,或者,而在,区间端点处至多有一阶极点，且,3.,方程(95)加上边界条件就称为施图姆-刘维尔问题,那些使施-刘问题存在非0解的,值，,称为该问题,的固有值，而相应于给定的固有值的非0解，称为,固有函数。,例如:,关于固有值和固有函数的几点结论：,(1),存在无穷多个实的固有值：,当,时，,对应于这些固有值,有无穷多个固有函数：,(2),如果把对应于固有值,的固有函数记为,那么所有,组成一个带权函数,的正交函数,系，即,(96),4,(3),类似于傅里叶级数，,若函数,在,内有一阶连续导数及分段,连续的二阶导数，并且满足所给的边界条件，,则,在,内可以按固有函数展开为绝对且,一致收敛的级数：,其中系数满足,(97),5,15. 试证问题,固有函数系,在,上带权函数,正交。,解,作变换,则有,代入原方程有,(1)首先求出固有函数系,的具体表达式,齐次欧拉方程,练习,6,将,代入即得,固有函数系,在,上带权函数,正交。,齐次欧拉方程,解,则原问题的固有函数系为,15. 试证问题,练习,7,固有函数系,在,上带权函数,正交。,解,(2)现在验证固有函数系,的函数正交性,齐次欧拉方程,作变换,15. 试证问题,练习,8,思考 试证问题,固有函数系,在,上带权函数,正交。,解,作变换,则有,代入原方程有,(1)首先求出固有函数系,的具体表达式,9,思考 试证问题,固有函数系,在,上带权函数,正交。,将,代入即得,解,则原问题的固有函数系为,10,思考 试证问题,固有函数系,在,上带权函数,正交。,解,(2)现在验证固有函数系,的函数正交性,作变换,练习14.(2),求下列问题的特征值与特征函数,解,(1)当,时，方程通解为,从而有,由边界条件得,即此时原问题没有非平凡解。,解,(2)当,时，方程通解为,从而有,由边界条件得,即此时原问题有一个非平凡解，,12,12,其中,为任意常数。,练习14.(2),求下列问题的特征值与特征函数,解,(3)当,时，方程通解为,由条件,由条件,若,为求非0解，,则,于是得,代入通解有,练习14.(2),求下列问题的特征值与特征函数,解,(3)当,时，方程通解为,由条件,由条件,若,为求非0解，,则,于是得,代入通解有,练习14.(2),求下列问题的特征值与特征函数,解,(3)当,时，方程通解为,由条件,由条件,若,代入通解有,练习14.(2),求下列问题的特征值与
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