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文档简介

1 聚点、内点、边界点,3 x进位表数法,4 一维开集、闭集、完备集的构造,2 开集、闭集、完备集,5 点集间的距离,本教程在Rn空间的框架下展开测度与积分的理论, 因此讨论Rn 空间中的一些常见的点集是极端重要的.,用Rn表示n 维欧式空间, 即,对任意 x = (x1, x2, , xn)Rn , 令,称x为x的模、范数或长度。,设,是Rn中任意两点, 定义这两点间的距离为,显然，对于Rn中任意的点,恒有,给定,若,则称点列xk依距离收敛于x0，记为,命题,即点列收敛的充要条件是按坐标收敛。,1. 内点、外点、边界点,1 聚点、内点、边界点,设有点集 ERn 及一点 x0Rn :, 若存在点 x0的某邻域 N(x0) E , 若存在点 x0 的某邻域 N(x0 ) E = , 若对点 x0的任一邻域 N(x0) 既含 E中的内点也含 E,则称 x0为 E 的内点；,则称 x0为 E 的外点 ;,则称 x0为 E 的边界点 .,的外点 ,显然, E 的内点必属于 E ,E 的外点必不属于 E ,E 的,边界点可能属于 E, 也可能不属于 E .,2. 聚点,若对任意给定的 0,点x0 的去心,邻域,内总有E 中的点 ,则,称 x0 是 E 的聚点.,E 的聚点可以属于 E , 也可以不属于 E,(因为聚点可,以为E 的边界点 ),E 的所有聚点所成的点集成为 E 的导集, 记为 。,称为E 的闭包 , 记为 ,即,E内的点若不是聚点则称其为孤立点。,E的孤立点就是集合 中的点。,(2) x0是E的聚点，就是说x0 的邻近聚集了E中的无数个点，用数学语言刻画，即是x0 的任一个邻域内含有E中无穷多点。定义中没讨论x0 与E的关系，E的聚点x0 可属于E也可不属于E。,(3) x0是E的孤立点，直观形象说在x0 的邻近只有 x0 “孤单一点属于E，没别的E中点”，故称x0 是E的孤立点。,注: (1) x0是E的内点，就是说x0 在E内部，因而它一定不在边界上。,例1. 点集,3. Bolzano-Weierstrass定理,证明：,显然。,因为对,开球,都含,有E的无穷多个点。所以对,取,定理1.,的充要条件是x0为E的一个极限点,即有一串互异的点列xkE使(xk,x0)0(k)。,这样已取到互异点列x1, x2, , xk-1，再取,由归纳法知点列x1, x2, , xk , 互不相同，且,即,Q. E. D.,定理4. (波查诺-魏尔斯特拉斯聚点原理) Rn中的任意有界无限点集必有聚点。即若E是Rn中一有界无限点集，则,Q. E. D.,E中的点如果不是聚点就是孤立点。,如果E的所有点都是孤立点，则称E为孤立集合。,结论1. 凡孤立集合或是有限集合或是可数集合。,结论2. E是孤立集合的充要
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