时域离散时间信号与系统.ppt

1,2019/7/28,第2章 时域离散时间信号与系统,2.1 连续时间的信号的采样 2.2 离散时间信号序列 2.3 线性非移变系统 2.4 线性常系数差分方程,2,2019/7/28,2.1 连续时间信号的采样,在绪论中已介绍了数字信号处理技术相对于模拟信号处理技术的许多优点，因此人们往往希望将模拟信号经过采样和量化编码形成数字信号，再采用数字信号处理技术进行处理；处理完毕，如果需要，再转换成模拟信号，这种处理方法称为模拟信号数字处理方法。本节主要介绍采样定理和信号恢复。,3,2019/7/28,2.1.1 信号的采样,对模拟信号进行采样:一个模拟信号通过一个电子开关S。设电子开关每隔周期T合上一次，每次合上的时间为T，在电子开关输出端得到其采样信号 。,4,2019/7/28,2.1.1 信号的采样（续1）,理想采样输出为,2-1,(2.1)式代入(2.2)式，得,2-2,2-3,(t-nT)是单位采样脉冲信号，在tnT时为1，其他时刻为零，故,2-4,采样脉冲序列为,5,2019/7/28,2.1.1 信号的采样（续完）,例：对模拟信号xa(t)=sin(2ft+/8)进行采样，式中f=50Hz，采样频率fs=200Hz，将t=nT代入Xa(t)中，得到采样数据：,当n=0，1，2，3，时，得到序列x(n)如下： x(n)=0.382683,0.923879,-0.382683,-0.923879,6,2019/7/28,2.1.2 采样定理,下面分析理想采样后信号频谱发生的变化。我们知道在傅里叶变换中，两信号在时域相乘的傅里叶变换等于两个信号各自的傅里叶变换的卷积，按照式(2-2)可知，若,其中，FT表示离散时间信号的傅里叶变换。由于P(t)是周期函数，可表示成傅里叶级数，即,7,2019/7/28,2.1.2 采样定理（续1）,上式中，s=2/T，称为采样角频率，单位是弧度/秒,2-5,2-6,8,2019/7/28,式2.6表明： 采样信号的频谱是原模拟信号的频谱沿频率轴，每间隔采样角频率s重复出现一次，或者说采样信号的频谱是原模拟信号的频谱以s为周期，进行周期性延拓而成的（幅值为原来的1/T倍）。,2.1.2 采样定理（续2）,2-6,9,2019/7/28,2.1.2 采样定理（续3）,采样信号的频谱, 在右图中，设xa(t)是带限信号，最高截止频率为c，其频谱Xa(j)如(a)所示。,s2c会造成采样信号中的频谱混叠现象，如（d）所示。,s2c则各延拓的频谱信号不会出现混叠现象，如（c）所示。,10,2019/7/28,2.1.3 信号的恢复,如果采样信号的频谱各次延拓分量彼此不重叠，这时采用一个截止频率为s/2的理想低通滤波器对 滤波，即,从前面的信号采样可得原信号的频谱基带分量和采样信号的频谱关系，有,就可得到不失真的原信号频谱，或者说，可以不失真地还原出原来的模拟信号。,2-7,11,2019/7/28,2.1.3 信号的恢复（续1）,ya(t)=IFTYa(j) ya(t)=xa(t)， cs/2 ya(t)xa(t)， cs/2,2019/7/28,采样恢复,2.1.3 信号的恢复（续2）,13,2019/7/28,2.1.3 信号的恢复（续3）,下面考虑如何从数字信号转换为模拟信号，即如何从采样值恢复原来的模拟信号。,2-7,由式2.7低通滤波器的传输函数G(j)推导其单位冲激响应g(t)：,14,2019/7/28,2.1.3 信号的恢复（续4）,因为s=2fs=2/T，因此g(t)也可以用下式表示：,傅立叶反变换,2-8,15,2019/7/28,2.1.3 信号的恢复（续5）,采样信号 和g(t)的卷积积分之后得到理想低通滤波器的输出为：,2-9,2-10,内插函数,输出=原信号抽样点的值与内插函数乘积和。,16,2019/7/28,2.1.3 信号的恢复（续6）,内插函数 的特性：在抽样点nT上，其值为1；其余抽样点上，其值为0。,(n-2)T,(n-1)T,nT,(n+1)T,(n+2)T,1,17,2019/7/28,2.1.3 信号的恢复（续完）,恢复过程： 1)在抽样点上，信号值不变； 2)抽样点之间的信号则由各抽样值乘以内插函数波形的延伸叠加而成。如采样时满足采样定理可以实现完全不失真的恢复。,T,2T,3T,18,2019/7/28,2.2 离散时间信号序列,对模拟信号xa(t)进行等间隔采样，采样间隔为T，得到,2.2.1 序列及其表示,2-11,这里n取整数。对于不同的n值， xa(nT)是一个有序的数字序列： xa(-T)、 xa(0)、 xa(T)，该数字序列就是离散时间信号。实际信号处理中，这些数字序列值按顺序放在存贮器中，此时nT代表的是前后顺序。,19,2019/7/28,2.2.1 序列及其表示（续）,为了简化，采样间隔T可以不写，形成x(n)信号，x(n)可以称为序列。对于具体信号，x(n)也代表第n个序列值。需要说明的是，这里n取整数，非整数时无定义，另外，在数值上它等于信号的采样值，即 x(n)=xa(nT)， -n,2-12,信号随n的变化规律可以用公式表示，也可以用图形表示。如果x(n)是通过观测得到的一组离散数据，则其可以用集合符号表示，例如： x(n)=1.3,2.5,3.3,1.9,0,4.1,20,2019/7/28,2.2.2 常用的典型序列,1. 单位采样序列(n),2-13,单位采样序列也可以称为单位脉冲序列，特点是仅在n=0时取值为1，其它均为零。它类似于模拟信号和系统中的单位冲激函数(t)，但不同的是(t)在t=0时，取值无穷大，t0时取值为零，对时间t的积分为1。,21,2019/7/28,单位采样序列,2.2.2 常用的典型序列,1. 单位采样序列(n),2-13,2.2.2 常用的典型序列,2.单位阶跃序列u(n),2-14,单位阶跃序列,2019/7/28,23,2.2.2 常用的典型序列,2.单位阶跃序列u(n),2-14,另外，令n-k=m，代入上式得到,(n)与u(n)之间的关系如下式所示： (n)=u(n)-u(n-1),2019/7/28,24,2.2.2 常用的典型序列,3.矩形序列RN(n),2-15,上式中N称为矩形序列的长度。矩形序列可用单位阶跃序列表示，如下式： RN(n)=u(n)-u(n-N),2019/7/28,25,2.2.2 常用的典型序列,3.矩形序列RN(n),2-15,如N4，有,2019/7/28,26,2.2.2 常用的典型序列,4.实指数序列,x(n)=anu(n) a为实数。 如果|a|1，序列是发散的，则称x(n)为发散序列。,2-16,2019/7/28,27,2.2.2 常用的典型序列,5.复指数序列,2-17a,2-17b,式中为数字域频率。还可表示为 x(n)=en (cosn+jsinn),2019/7/28,28,2.2.2 常用的典型序列,6.正弦序列,x(n)=Asin(n+) 式中A为幅度；称为正弦序列的数字域频率，单位是弧度，它表示序列变化的速率，或者说表示相邻两个序列值之间变化的弧度数；为起始相角(初相)，单位是弧度。 如果正弦序列是由模拟信号xa(t)采样得到的，那么 xa(t)=Asin(t) xa (t)|t=nT=Asin(nT) x(n)=Asin(n),2-18,29,2.2.2 常用的典型序列,6.正弦序列,因为在数值上，序列值与采样信号值相等，因此，数字频率与模拟角频率之间的关系为 =T 式2.19具有普遍意义，它表示凡是由模拟信号采样得到的序列，模拟角频率与序列的数字域频率成线性关系。由于采样频率fs与采样周期T互为倒数，也可以表示成下式：,2-19,2-20,该式表示数字域频率是模拟角频率对采样频率的归一化频率。,2019/7/28,30,2.2.3 序列的周期性, 如果对所有n存在一个最小的正整数N，使下面等式成立： x(n)=x(n+N), -n 则称序列x(n)为周期性序列，周期为N，注意N要取整数。 例如： 上式中，数字频率是/4，由于n取整数，可以写成下式：,2-21,),2019/7/28,31,2.2.3 序列的周期性(续1),上式表明 是周期为8的周期序列，如下图所示。,2019/7/28,32,2.2.3 序列的周期性(续2),下面讨论一般正弦序列的周期性。 设 x(n)=Asin(n+) 则 x(n+N) =Asin(n+N)+)=Asin(n+N+) 如果有 x(n) = x(n+N),则要求N=2k，式中k与N均取整数，且k的取值要保证N是最小的正整数，满足这些条件，正弦序列才是以N为周期的周期序列。,2019/7/28,33,2.2.3 序列的周期性(续3),具体正弦序列有以下三种情况： 1）当2/为整数时，k=1，N=2/即为最小正整数，正弦序列的周期2/。前面的例中，=0，=/4，该正弦序列周期为8。,2）2/不是整数，而是一个有理数时，则：设2/ =N/k，式中N、k是互为素数的整数，则正弦序列是以N为周期的周期序列。 例：sin(4/5)n， =(4/5)，2/=5/2，k=2，该正弦序列是以5为周期的周期序列。,要求：N=2k,2019/7/28,34,2.2.3 序列的周期性(续4),要求：N=2k,具体正弦序列有以下三种情况：,3）若2/是无理数，任何整数k都不能使N为正整数，因此，此时的正弦序列肯定不是周期序列。,2019/7/28,35,2.2.4 序列的运算,在数字信号处理中，序列可以做各种运算。这些运算是数字信号处理的基本方法。,1移位运算 若y(n)= x(n-m)，当m为正时，则x(n-m)是指序列x(n)逐项依次延时(右移)m位而给出的一个新序列y(n)，而x(n+m)则指依次超前(左移)m位。m为负时，则相反。,2019/7/28,36,2翻转（反褶）运算 如果序列为x(n)，则x(-n)是以n0的纵轴为对称轴将序列x(n)加以翻转。,2019/7/28,37,3和（相加）运算 两序列的和是指同序号的序列值逐项对应相加而构成一个新的序列，表示为 z(n)x(n)+ y(n),2019/7/28,38,4积（相乘）运算 两序列相乘是指同序号的序列值逐项对应相乘。表示为 z(n)x(n)y(n),5差分运算 差分运算是指同一序列中相邻序号项的幅值差。表示为 前向差分 x(n)x(n+1)- x(n) 后向差分,2019/7/28,39,6累加运算 设序列为x(n)，则序列x(n)的累加序列y(n)定义为 它表示y(n)在某一个n0上的x(n0)值等于以前的所有n值上的x(n)值之和。,2019/7/28,40,7序列的重排(比例)变换 对于序列x(n)，其比例变换序列为x(mn)或x(n/m)，其中m为正整数。 例如，当m=2时，x(2n)不是x(n)序列简单地在时间轴上按比例增一倍，而是以低一倍的采样频率从x(n)中每隔2点取1点，如果x(n)是连续时间信号x(t)的采样，则相当于将x(n)的采样间隔从T增加到2T，这就是说，若 x(n)x(t)|tnT 则 x(2n)x(t)|tn2T 我们把这种运算称为抽取，即x(2n)是x(n)的抽取序列。x(n)及x(2n)的例分别如下图所示。,2019/7/28,41,7序列的重排(比例)变换（续1）,某序列及其抽取序列,2019/7/28,42,7序列的重排(比例)变换（续2）,与上述的抽取运算相反，x(n/2)x(t)|tnT/2表示采样间隔由T变成T/2， x(n/2)在原序列x(n)相邻两点中间增加一个点，相当于插入一个点（取值为0），因此将序列x(n/2)称为x(n)的插值序列。,x(n),1,2,1/2,-1,0,1,n,x(n/2),1,2,1/2,-2,-1,0,1,2,n,。,。,2019/7/28,43,8卷积和,设两序列为x(n)和h(n)，则x(n)和h(n)的卷积和定义为,2-22,其中把卷积和用*来表示。 卷积和的运算在图形表示上可分为四步：翻转、移位、相乘、相加，如下例所示。,2019/7/28,44,8卷积和（续1）,求：,2019/7/28,45,解： 1. 翻转：以m=0为对称轴，折迭h(m) 得到h(-m)，对应序号相乘，相加 得 y(0)； 2. 向右位移一个单元，对应序号相乘， 相加 得 y(1)； 3. 重复步骤2，得y(2)， y(3)， y(4), y(5),8卷积和（续2）,2019/7/28,46,x(m),47,x(m),得y(0),得y(1),x(m),翻转,位移1,对应相乘，逐个相加。,0,m,-2,-1,2019/7/28,48,49,2.2.5 用单位采样序列表示任意序列,以上介绍了几种常用的典型序列，对于任意序列，常用单位采样序列的移位加权和表示，即,2-23,2019/7/28,50,例：用单位采样序列的移位加权和表示图a x(n) = a-3(n+3) + a2(n-2) + a6(n-6) x(n)也可表示成x(n)与(n)的卷积和，如图b。,2019/7/28,51,2.3 线性非移变系统,设时域离散系统的输入为x(n)，经过规定的运算，系统输出序列用y(n)表示。设运算关系用T表示，输出与输入之间关系用下式表示： y(n)=Tx(n) 式2.24表示的系统框图如下图所示。,2-24,时域离散系统,2019/7/28,52,2.3.1 线性系统,满足叠加原理的系统称为线性系统。设x1(n)和x2(n)分别作为系统的输入序列，其输 出分别用y1(n)和y2(n)表示，即 y1(n)=Tx1(n)，y2(n)=Tx2(n) 那么线性系统一定满足下面两个性质： y1(n)+y2(n)Tx1(n)+Tx2(n)= Tx1(n)+x2(n) a1y1(n)a1Tx1(n) Ta1x1(n) a2y2(n)a2Tx2(n) Ta2x2(n),可加性,齐次性,2019/7/28,53,综合上面两点可知，叠加原理可表示为 a1y1(n)+ a2y2(n) a1Tx1(n)+ a2Tx2(n) Ta1x1(n)+ a2x2(n) 对线性系统若写成N个输入的一般表达式，则为 其中ai是比例常数。式2.25就是叠加原理的一般表达式。,2-25,2.3.1 线性系统（续1）,2019/7/28,54,2.3.1 线性系统（续2）,对线性系统满足叠加原理的一个直接结果就是：在全部时间为零输入时，其输出也恒等于零，也就是说，零输入产生零输出。即 若 x(n) y(n) 根据齐次性，则 0x(n)0 0y(n) = 0 应该注意，要证明一个系统是线性系统时，必须证明此系统同时满足可加性和齐次性，而且信号以及任何比例常数都可以是复数。,2019/7/28,55,例：研究以下系统是否为线性系统,y(n)4x(n)+6 解：系统的方程是一个线性方程。先来研究此系统的 可加性： 令x1(n)3，x2(n)4，则 x1(n)3y1(n)4x1(n)+6=18 x2(n)4y2(n)4x2(n)+6=22 所以 y1(n)+y2(n)40 而系统对x3(n)x1(n)+x2(n)的响应是 x3(n)x1(n)+x2(n)7y3(n)4x3(n)+6=34 它不等于y1(n)+y2(n)，所以此系统不满足可加性， 故不是线性系统。,虽然所给系统的方程是一个线性方程，但它一定不是一个线性系统。实际上，这个系统的输出可以表示成一个线性系统的输出与反映该系统初始储能的零输入响应信号之和，如下图所示。,2019/7/28,57,2.3.2 非移变系统,如果系统响应与激励加于系统的时刻无关，则称该系统为非移变系统(或称时不变系统)。即若输入x(n)产生输出为y(n)，则输入x(n-m)产生输出为y(n-m)，也就是说输入移动任意m位，其输出也移动m位，而幅值却保持不变。 对于非移变系统，若 y(n)Tx(n) 则 y(n-m)Tx(n-m) 其中m为任意整数。研究一个系统是否是时不变系统，就是检验系统是否满足式2.26。,2-26,2019/7/28,58,2.3.2 非移变系统（续）,例: 证明y(n)4x(n)+6是非移变系统。 证 Tx(n-m)4x(n-m)+6 y(n-m)4x(n-m)+6 二者相等，故是非移变系统。,同时具有线性和非移变特性的离散时间系统称为线性非移变(1inear shift invariant，LSI)离散时间系统，简称LSI系统，除非特殊说明，本书都是研究LSI系统。,2019/7/28,59,2.3.3 单位采样响应与卷积和,线性时不变系统可用它的单位采样响应来表征。 设系统输入x(n)(n)，系统输出y(n)的初始状态为零，定义这种条件下系统输出为系统的单位取样响应，用h(n)表示，是指输入为单位脉冲序列时系统的输出。一般用h(n)表示单位采样响应，即 h(n)T(n) h(n)和模拟系统中的单位脉冲响应h(t)类似，都代表系统的时域特征。知道h(n)后，就可得到此线性时不变系统对任意输入的输出。,2019/7/28,60,2.3.3 单位采样响应与卷积和（续1）,设系统输入序列为x(n)，输出序列为y(n)。,根据前面的知识知道，任一序列x(n)可写成(n)的移位加权和，则系统的输出为,根据线性系统的叠加性质,根据时不变性性质,2-27,2019/7/28,61,2.3.3 单位采样响应与卷积和（续2）,式2.27就是线性时不变系统的卷积和表达式。,这是一个重要的表达式，表明线性时不变系统的输出等于输入序列和该系统的单位取样响应的卷积。 只要知道系统的单位取样响应，按照式2.27，对于任意输入x(n)都可以求出系统的输出。卷积和的运算方法在前面中已经讨论过了。,2019/7/28,62,2.3.4 线性时不变系统的性质,线性时不变系统满足交换律、结合律和分配律。,1交换律 卷积和与两卷积序列的次序无关，故 y(n)x(n)*h(n)h(n)*x(n) 这说明，如果把单位脉冲响应h(n)改作为输入，而把输入x(n)改作为系统单位脉冲响应，则输出y(n)不变。,卷积和服从交换律,2019/7/28,63,2.3.4 线性时不变系统的性质（续1）,2结合律 x(n)*h1(n)*h2(n)=(x(n)*h1(n)*h2(n),具有相同单位采样响应的三个系统,2019/7/28,64,2.3.4 线性时不变系统的性质（续2）,3分配律 x(n)*h1(n)+h2(n)=x(n)*h1(n)+x(n)*h2(n),线性时不变系统的并联组合,2019/7/28,65,2.3.5 稳定系统,如果系统输入是有界的，系统所产生的输出也是有界的，这样的系统称之为稳定系统，即(BIBO)系统。也就是说系统的输入x(n)和输出y(n)满足下述条件 若 | x(n)| M 则 | y(n)| P 那么该系统是稳定系统。 稳定性定理 线性时不变系统是稳定系统的充分且必要的条件是,即单位采样响应绝对可和。,2019/7/28,66,证 充分条件：若,如果输入信号x(n)有界，即对于所有n皆有 | x(n)| M，则,M,M,MP,即输出信号y(n)有界，故原条件是充分条件。,2.3.5 稳定系统(续1),2019/7/28,67,2.3.5 稳定系统(续2),下面利用反证法证明其必性。已知系统稳定，假设,则可以找到一个有界的输入为,使得,即在n0输出无界，系统不稳定，因此假设不成立。所以 是稳定的必要条件。,2019/7/28,68,2.3.6 因果系统,如果系统某时刻的输出只取决于此时刻和此时刻以前时刻的输入，即n=n0的输出y(n0)只取决于nn0的输入。这样的系统称之为因果系统。 对于因果系统，如果nn0，x1(n)=x2(n)，则nn0时y1(n)y2(n)。如果系统当前的输出还取决于未来的输入，则不符合因果关系，这样的系统称之为非因果系统。 非因果系统是不实际的系统。换句话说，因果系统是指系统的可实现性。,2019/7/28,69,2.3.6 因果系统（续1）,既然系统的因果性是指系统的可实现性，对于设计信号处理系统来说，因果系统是很重要的，但是并不是所有有实际意义的系统都一定是因果系统，在实际数字信号处理系统中，往往可以利用存储设备的存储能力实现近似的非因果系统对信号进行处理。 此外，非实时情况下，或者允许一定延时，待处理数据事先都已记录下来，例如语音处理、气象、地球物理学等，在这种情况下，不会局限于用因果系统来处理这类数据。,2019/7/28,70,2.3.6 因果系统（续2）,因果性定理,线性时不变系统具有因果性的充分必要条件是系统的单位取样响应满足下式 h(n)0， n0 证 充分条件：若n0时h(n)0，则,因而,所以y(n0)只和mn0时的x(m)值有关，因而系统是因果系统。,2019/7/28,71,2.3.6 因果系统（续3）,证续：必要条件,利用反证法来证明。已知系统为因果系统，如果假设n0时，h(n)0，则,在所设条件下，第二个式至少有一项不为零，y(n)将至少和mn时的一个x(m)值有关，这不符合因果性条件，所以假设不成立。因而n0时，h(n)0是必要条件。,72,2.3.6 因果系统（续4）,依照此定义，我们将n0，x(n)0的序列称为因果序列，表示这个因果序列可以作为一个因果系统的单位采样响应。,因果性系统的条件从概念上也容易理解，因为单位取样响应是输入为(n)的零状态响应，在n=0时刻以前即n0时，没有加入信号，输出只能等于零，因此得到因果性条件。 理想低通滤波器以及理想微分器等都是非因果的不可实现的系统。但是如果不是实时处理，或者允许有很大的延时，则可把“将来”的输入值存储起来以备调用。那么可用具有很大延时的因果系统去逼近非因果系统，这一点是数字系统优于模拟系统的地方。,2019/7/28,73,例：设线性时不变系统的单位取样响应h(n)=anu(n)(a是实常数)，试分析该系统的因果稳定性。 解 (1)因果性：由于n0时，h(n)=0，所以系统是因果系统。,只有当|a|1时,(2)讨论稳定性：因为,2019/7/28,74,因此系统稳定的条件是|a|1；否则，|a|1时，系统不稳定。系统稳定时，h(n)的模值随n加大而减小，此时序列h(n)称为收敛序列。如果系统不稳定，h(n)的模值随n加大而增大，则称为发散序列。 当a为实数，0a1时，序列h(n)如下图（a）所示；当a1时，序列h(n)称为收敛序列h(n)如下图（b）所示。,2019/7/28,75,h(n)anu(n)的图形(a为实数，a1）,h(n)anu(n)的图形(a为实数，0a1),2019/7/28,76,例：设某线性时不变系统，其单位采样响应为h(n)-anu(-n-1)，讨论该系统的因果性和稳定性。 解 (1)因为n0时，h(n)0，故此系统是非因果系统。 (2)因为,所以|a|1时，系统是稳定的。当a为实数，a1时，h(n)如下图所示。,2019/7/28,77,h(n)-anu(-n-1)的图形(a1),2019/7/28,78,2.4 线性常系数差分方程,对于模拟系统，系统输入与输出之间的关系用微分方程描述。连续时间线性时不变系统的输入输出关系常用线性常系数微分方程表示。 对于时域离散系统，则用差分方程描述或研究输出与输入之间的关系。对于时域离散的线性时不变系统，常用线性常系数差分方程表示系统的输入输出关系。 以后如无特别声明，差分方程均指线性常系数差分方程。,2019/7/28,79,时域离散线性时不变系统的输入输出关系常用以下形式的线性常系数差分方程表示，即,或者,2.4.1 线性常系数差分方程,2019/7/28,80,式中，x(n)和y(n)分别是系统的输入序列和输出序列 1）ai和bi均为常数； 2）y(n-k)和x(n-k)项只有一次幂，也没有相互交叉项； 3）差分方程的阶数是用方程y(n-k)项中k的取值最大与最小之差确定的。在上述定义式中，y(n-k)项k最大的取值为N，k的最小取值为零，因此称为N阶的差分方程。,2.4.1 线性常系数差分方程（续）,2019/7/28,81, 已知系统的输入序列，通过求解差分方程可以求出输出序列。求解差分方程的基本方法有以下四种： 1）经典解法。 2）递推解法（迭代法）。 3）卷积和法。 4）变换域方法。,2.4.2 线性常系数差分方程的求解,2019/7/28,82,已知输入序列和N个初始条件，则可以求出n时刻的输出； 如果将该公式中的n用n+1代替，可以求出n+1时刻的输出，因此上式表示的差分方程本身就是一个适合递推法求解的方程。,2.4.2 线性常系数差分方程的求解（续),2019/7/28,83,y(n)=ay(n-1)+x(n) n=0时，y(0)=ay(-1)+(0)=1 n=1时，y(1)=ay(0)+