方阵的特征值与特征向量.ppt

1,第5.1节 矩阵的特征值 与特征向量,线性代数,2,主要内容:,一、方阵的特征值与特征向量,二、特征向量的性质,三、小结 思考与练习,3,问题的引入: 从前面的学习我们了解到,一个矩阵乘以一个非零向量,相当于将此向量做一些平移、旋转、伸缩、推移之后的结果。因此，我们想知道是否能找到一个向量，经过相同的平移、旋转、伸缩、推移之后，仍保持原来的方向？在本章中我们将寻找此种向量，并探讨其所具有的性质。 由一个矩阵A乘以一个向量 后，所得到的向量仍保持原来的方向，表示存在一个数 使得 。对于此特殊的向量和这个数，我们给出如下之定义。,4,一. 方阵的特征值与特征向量,1. 特征值与特征向量的定义,定义1:,注：,设 是 阶方阵，,若数 和 维非零列向量 ，使得,成立，则称,是方阵 的一个特征值，,为方阵 的对应于特征值 的一个特征向量。,是方阵,(2) 特征向量 是非零列向量,(Eigenvectors and Eigenvalues),5,2. 特征向量的几何意义： 特征向量的方向经过线性变换后，保持在同一条直线 上 ,这时或者方向不变 或者方向相反 , 至于 时，特征向量就被线性变换变成 0.,6,注: (1)特征值与特征向量在物理、力学、工程技术中有着广泛的应用。如：机械、结构或电磁振动中的固有值问题；物理学中的各种临界值问题;方阵的对角化及解微分方程组的问题等。这些问题中特征值的计算往往意义重大。,(2)如果 是一个不可逆的方阵,则线性方程组 有非零解, 即 故不可逆方阵必有零特征值 .,(3)一些实际问题中,常常会涉及到一系列的运算,由特征值和特征向量的关系,可以化简这些运算.,7,3. 特征值与特征向量的求法,或,或,是关于 的一个多项式，称为矩阵 的特征多项式。,8,9,称为矩阵A的迹。（主对角元素之和）,定理1：,10,另一方面,由多项式相等,系数相等,即(1)得证.,11,求A的特征值与特征向量的步骤:,12,解：,第一步：写出矩阵A的特征方程，求出特征值.,特征值为,13,系数矩阵,自由未知量:,令 得基础解系:,14,得基础解系,15,证明:,因为n阶矩阵的特征值由它的特征多项式 唯一决定.,而,16,若 可逆，则 的特征值是,的特征值是,且 仍然是矩阵,分别对应于 的特征向量。,例3：,17,18,练习题1: 已知三阶矩阵A的三个特征值为1，2，3,则A的 行列式等于_, A-1的三个特征值为_,A2+2 A+3E 的三个特征值_，| +2 A+3E |=_.,练习题2: 已知 =2 是非奇异矩阵A的特征值，则矩阵 有一个特征值为_ .,19,练习题3: P143 判断下列命题是否正确,(1) 如果,向量构成的集合,是方阵,的特征值，则,对应的特征,(2) 方阵,(错),的任何一个特征值一定对应无穷多个特征向量;,(对),(3) 由于方阵,和,有一样的特征值, 故他们也有一样的,特征向量.,(错),(4) 如果,阶方阵,的,个特征值全为0, 则,一定是,零矩阵.,(错),20,二、特征向量的性质,结论:,定理2:,21,定理3:,定理4:,结论:,22,三、小结 思考与练习,(2) 求矩阵特征值与特征向量的步骤：,(1) 矩阵特征值与特征向量的概念,(3) 矩阵特征值与特征向量一些结论：,23,(4) 特征向量的性质,24