最大值与最小值极值的应用问题.ppt

7/28/2019 2:57 PM,微积分讲义,设计制作,王新心,7/28/2019 2:57 PM,4.5 最大值与最小值，,（一）最大值与最小值,（二）极值应用问题举例,极值的应用问题,7/28/2019 2:57 PM,（一）最大值与最小值,第四章 中值定理与导数的应用,函数 在闭区间 上连续，,该区间上必取得最大值与最小值。,则函数在,函数的最大,（小）值与函数的极大（小）值是不同的概念。,是区间 上的最大（小）值，,是指,是区间 上所有函数值中最大（小）者,而 是区间 上的极大（小）值，,是指,7/28/2019 2:57 PM,第四章 中值定理与导数的应用,者。,可见最大（小）值是区间 上的全局,中的所有函数值中的最大（小）,概念，,是包含在 内的一个 的 邻域,个邻域的局部概念。,而极大（小）值则是区间 内 的一,7/28/2019 2:57 PM,第四章 中值定理与导数的应用,大值与最小值的步骤：,（1）求出函数的全部驻点和不可导的点；,（2）计算这些点的函数值及区间端点的,（3）比较它们的大小，,函数值 ；,一般而言，,其中最大（小）者,即区间 上的最大（小）值。,求连续函数在区间 上的最,7/28/2019 2:57 PM,第四章 中值定理与导数的应用,内可导，,而无极小值，,则此极大值即最大值。,特别的，,若 在 上连续，,在,若 在 内有且仅有一个极大值,而无极大值，,则此极小值即最小值。,若 在 内有且仅有一个极小值，,7/28/2019 2:57 PM,第四章 中值定理与导数的应用,例1 求 在区间 上的,最大值与最小值。,解 在4.4例2中已求出 在驻点,处取到极小值 ，,在导数不存在的点,处取得极大值 。,计算区间端点处的函数值,7/28/2019 2:57 PM,第四章 中值定理与导数的应用,比较这些值的大小：,得 在 上 处取得最小值,在 及 处取得最大值,7/28/2019 2:57 PM,（二）极值应用问题举例,第四章 中值定理与导数的应用,四角各截去一个大小相同的小正方形，,然后将,四边折起做成一个无盖方盒，,问截掉的小正方,形边长为多大时，,所得方盒的容积最大？,例2 将边长为 的一块正方形铁皮，,方盒的容积为,解 设小正方形的边长为 ，,7/28/2019 2:57 PM,第四章 中值定理与导数的应用,求得,因为只有点 在区间 内，,所以,只需对 进行检验。,当 时，,当 时，,也是最大值,所以函数 在点 处取得极大值，,即当截去的小正方形的边长等于所给正方形铁,皮边长的 时，,所做成的方盒容积最大。,7/28/2019 2:57 PM,第四章 中值定理与导数的应用,例3 要做一个容积为 的圆柱形罐头筒，,怎样设计才能使所用材料最省？,解 显然要材料最省，,就是要,罐头筒的总表面积最小。,设罐头筒的,底面半径为 ，高为 ，,总表面积为,由体积公式有,所以,7/28/2019 2:57 PM,第四章 中值定理与导数的应用,得,此时高为,也是最小值,令,又,因此 在点 处为极小值，,即当罐头筒的高和底直径相等时，用料最省。,7/28/2019 2:57 PM,第四章 中值定理与导数的应用,例4 在1.5的例2中，,曾求得一年中库存,费与生产准备费的和 与每批产量 的函数,关系为,其中 为年产量， 为每批次的生产准备费，,为每台产品的库存费，,问在不考虑生产能力,的条件下，,每批生产多少台时，,最小？,7/28/2019 2:57 PM,第四章 中值定理与导数的应用,解,因为,取得极小值，也是最小值。,（舍去）,即要使库存费与生,令,有,所以,又因,因此当 时,产准备费之和最小的最优批量应为 。,7/28/2019 2:57 PM,内容小结,连续函数的最值,最值点应在极值点和边界点上找,作业 P196 20-31,第四章 中值定理与导数的应用,应用题可根据问题的实际意义判别,7/28/2019 2:57 PM,备用题,第四章 中值定理与导数的应用,1.设函数,试求,在 上的最大值 和,解,令,得 内唯一的驻点,7/28/2019 2:57 PM,第四章 中值定理与导数的应用,最大值为,也是最大值点。,故 是极大值点，,7/28/2019 2:57 PM,第四章 中值定理与导数的应用,2.设,在 内