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,复变函数论多媒体教学课件,Department of Mathematics,第四节、解析函数零点的孤立性 及唯一性定理,一 解析函数的零点的孤立性,1定义4.7,3定理4.17,证明:,“必要性”,由假设,只要令,则,“充分性”,故由Taylor定理,从而,例1,解,例2,解,故,由,得,因为,注:,一个实函数的零点不一定是孤立的.,如,但在复变函数中,我们有,4定理4.18,证明:,则,5推论4.19,证明:,注2,如,二 解析函数的唯一性,1 定理4.20,证明:,由推论4.19,考虑一般情形:,由推论4.19有,这样连续下去,可依次证明在,2 推论4.21,例3,证明:,由惟一性定理,例4,解,则,由惟一性定理知:,故不存在.,(2) 由于函数值点列有,显然它在原点解析,故合条件的函数存在且为,3 推论4.22,证明,故由惟一性定理，,例5,解,故由惟一性定理,注1:,数分中常见的一些初等函数的幂级数 展开式都可推广到复函数上来.,如,注2,定理4.20,推论4.21,4.22统称为惟一性定理,它揭示了解析函数一个非常深刻的性质,函数在区域D内的局部值确定了函数在区域D内整体值,即局部与整体之间有着十分密切的关系.,注3,证明:,“反证”,由平均值定理,只要圆,三 最大模原理,1定理4.23,下面证明:,故,矛盾.,于是,因此,我们证明了,注,解析函数在边界上的最大模可以限制其在区域内的最大模.,2推论4.24,注1:有界闭域上解析函数的最大模只能在边界取得.,注2:Cauchy不等式中,例7,证明:,由最大模原理,证明:,则由题设,故,此时,与最大模原理相矛盾.,3 最小模原理,作业,P180习题(一)8(2);9;12 P180习题(一) 13; 14,本节结束 谢谢！,Complex Fu
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