学案5用样本的数字特征估计总体的数字特征.pptVIP

开始,学点一,学点二,学点三,1.如果有n个数x1,x2,xn,那么 = 叫做这n个数的平均数. 总体中所有个体的平均数叫做 . 样本中所有个体的平均数叫做 . 2.s= ， 标准差的平方s2叫做方差, s2= .,总体平均数,样本平均数,其中xn是 ,n是 ,x是 . 3. 是反映总体波动大小的特征数,通常用样本方差估计总体方差,当样本容量很大时,样本方差 总体方差.,第n个样本数据,样本容量,样本平均数,方差,很接近,学点一 用样本平均数估计总体平均数,【分析】考查平均数公式.,一个球队所有队员的身高如下(单位:cm): 178,179,181,182,176,183,176,180,183,175,181,185, 180,184,问这个球队的队员平均身高是多少?(精确到1 cm),【解析】方法一:利用平均数的公式计算: (178+179+181+180+184) = 2 523180.,方法二:建立新数据,再利用平均数简化公式计算: 取a=180,将上面各数据同时减去180,得到一组新数据: -2,-1,1,2,-4,3,-4,0,3,-5,1,5,0,4. (-2-1+1+2-4+3-4+0+3-5+1+5+0+4) = 3= 0.2, +a=0.2+180180. 方法三:利用加权平均数公式计算: = (1851+1841+1832+1821+1812+ 1802+1791+1781+1762+1751) = 2 523180.,【评析】(1)平均数公式是一个计算平均数的基本公式,在一般情况下,要计算一组数据的平均数可使用这个公式. (2)当数据较大,且大部分数据在某一常数左右波动时,方法二可以减轻运算量,故此法比较简便.,方法四:建立新数据,再利用加权平均数公式计算: 51+41+32+21+12+02+ (-1)1+(-2)1+(-4)2+(-5)1 = 30.2, =0.2+180180. 答:这个球队队员的平均身高是180cm.,某工人在30天中加工一种零件的日产量,有2天是51件,3天是52件,6天是53件,8天是54件,7天是55件,3天是56件,1天是57件.试计算这个工人30天中的平均日产量.,解：方法一:利用加权平均数公式. 平均日产量= (251+352+653+854+755+ 356+57) 54(件).,方法二:利用“新数据”法. 各个数据减去50后,得到:2个1,3个2,6个3,8个4,7个5,3个6,1个7, 新数据的平均数= (21+32+63+84+75+3 6+7)= 4. 故30天中平均日产量为50+4=54(件).,学点二 用样本标准差估计总体标准差,【分析】(1)由标准差定义知,要计算方差或标准差首先应求平均数;(2)此题看起来不好求,如果注意整体代换,是否能求出来呢?,B,12,(1)数据501,502,503,504,505,506,507,508,509的标准差 是 ( ) A. B. C. D.1 (2)已知样本数据x1,x2,xn的方差是3,则样本数据 2x1+2,2x2+2,2xn+2的方差是 .,【解析】(1)可知 =505,则标准差s = = . 故应选B. (2)设样本数据x1,x2,xn的平均数为 ,方差为s2,数据2x1+2,2x2+2,2xn+2的平均数为 ,方差为s2.则 = (2x1+2)+(2x2+2)+(2xn+2) = 2( x1+x2+xn )+2n =2 ( x1+x2+xn )+2,=2 +2,于是 s2= (2x1+2-2 -2)2+(2x2+2-2 -2)2+ (2xn+2-2 -2)2 = 22(x1- )2+22(x2- )2+22(xn- )2 =22 (x1- )2+(x2- )2+(xn- )2 =22 s2. 即s2=4s2,s2=3,故s2=12.,【评析】方差与平均数有如下性质: 设x1,x2,xn的平均数为 ,方差为s2,则 (1)数组x1+b,x2+b, xn+b的平均数为 +b,方差为s2; (2)数组ax1,ax2,axn的平均数为a ,方差为a2s2; (3)数组ax1+b,ax2+b,axn+b的平均数为a + b,方差为 a2s2.,某农科所有芒果树200棵,2004年全部挂果,成熟期一到,随意摘下其中10棵树上的芒果,分别称得质量如下(单位:kg): 10,13,8,12,11,8,9,12,8,9. (1)求样本平均数; (2)估计该农科所2004年芒果的总产量.,解:应用样本平均数的公式计算样本平均数,再估计总体平均数,从而求出该农科所2004年芒果的总产量. (1)样本平均数 (10+13+8+12+11+8+9+12+8+9)=10(kg). (2)由样本平均数为10 kg,估计总体平均数也是10 kg,所以总产量为20010=2 000(kg).,学点三 用样本的数字特征估计总体情况的实际应用,【分析】根据各个角度对测试结果进行数据统计、计算,再发表看法.,(1)从平均数和方差相结合看; (2)从平均数和中位数相结合看(分析谁的成绩好些); (3)从平均数和命中9环以上的次数相结合看(分析谁的成绩 好些); (4)从折线图上两人射击命中环数的走势看(分析谁更有潜 力).,【解析】根据各问情况作如下统计表:,则(1)平均数相同,且s 2甲 s 2乙, 甲比乙优, 甲稳定些. (2)平均数相同,甲的中位数乙的中位数, 乙的成绩比甲好. (3)平均数相同,且乙命中9环以上次数比甲多, 乙的成绩比甲好. (4)甲的成绩在平均线上波动;而乙处于上升趋势,从第4次以后就没有比甲少的情况发生,所以说乙有较大潜力.,【评析】平均数、众数、中位数是描述一组数据集中趋势的,方差、极差和标准差则反映各个数据与其平均数的离散程度,正确领悟数据的数字特征的含义,并与具体问题相结合,方可发表看法,作为一个学生应逐步养成这种从实际出发,实事求是的思维习惯.,甲、乙两台机床在相同的条件下同时生产一种零件,现在从中各抽测10个,它们的尺寸分别为(单位:mm):,分别计算上面两个样本的平均数与标准差.如果图纸上的设计尺寸为10 mm,从计算结果看,用哪台机床加工这种零件较合适.,1.如何用样本平均数估计总体平均数? (1)平均数 平均数描述了数据的平均水平,定量地反映了数据的集中趋势所处的水平. (2)用样本平均数估计总体平均数 两次从总体中抽取容量相同的样本,分别求出样本的平均数,两个样本的平均数一般是不同的,所以用样本平均数去估计总体平均数时,样本平均数只是总体平均数的近似值.,2.如何用样本标准差估计总体标准差?,(1)方差、标准差、极差与数据的离散程度 数据的离散程度可以通过极差、方差或标准差来描述,其中极差(全距)是数据组的最大值与最小值的差.它反映了一组数据变化的最大幅度,它对一组数据中的极端值非常敏感.方差则反映一组数据围绕平均数波动的大小.为了得到以样本数据的单位表示的波动幅度通常用标准差. (2)计算标准差的算法 算出样本数据的平均数; 算出每个样本数据与样本平均数的差xi- (i =1,2, n);,算出(xi - )2(i =1,2,n); 算出(xi - )2(i =1,2,n)这n个数的平均数,即为样本方差s2; 算出方差的算术平方根,即为样本标准差s. 统计在对数据处理时的计算量较大,要借助科学计算器或计算机,一般科学计算器上都设有计算平均数、方差、标准差的按键,使用时要看说明书(不同的计算器的参数可能不同)进入统计状态就可以求值了.,1.方差的计算方法 (1)定义法:s2= (x1- )2+(x2- )2+(xn- )2; (2)简化公式:s2= (x12+x22+xn)- 2; (3)“新数据”法:s2= ( + + )- ,其 中 = xi+ b .这表明将一组数据全部加或减同一个常数后,所得新数据组的方差不变.这为方差的简化计算带来方便(请读者自行证明此结论).,2.统计与数据打交道,整理数据的工作量较大,计算比较麻烦,学习时务必耐心、仔细,否则极易出错,即使用计算器计算也要细心,因为只要错误输入一个数据,就会影响到所得结果.,3.关于统计的有关性质及规律 (1)若x1,x2,xn的平均数为 ,那么mx1+a,mx2+a, m xn+a 的平均数是m +a. (2)数据x1,x2,xn与数据x1+a,x2+a,xn+a 的方差相等. (3)若x1,x2,xn的方差为s2,那么ax1,ax2,axn的方差为a2s2.,要从总体上去认识各部分内容之间的联系.例如,样