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第四节 矢量场的环量及旋度,1、环量,先从变力作功问题引入矢量场线积分的概念。,若将F(r)看成是任意的矢量场，上述积分则代表矢量场F(r)沿路径l 的标量线积分。矢量场的环量是上述矢量场线积分概念推广应用于闭合路径的结果，因此，矢量场对于闭合曲线L的环量定义为该矢量对闭合曲线L的线积分，记为：,（1） 如果矢量场的任意闭合回路的环量恒为零，该矢量场为无旋场，又称为保守场。 （2）如果矢量场对于任何闭合曲线的环量不为零，称该矢量场为有旋场，能够激发有旋矢量场的源称为旋涡源。电流是磁场的旋涡源。,水流沿平行于水管轴线方向流动 C=0，无涡旋运动,流体做涡旋运动C0，有产生涡旋的源,例1：流速场,在直角坐标系中，设 F( x,y,z ) = Fx ( x,y,z )ex+ Fy ( x,y,z )ey+ Fz ( x,y,z )ez dl = dx ex+ dy ey+ dz ez 则环量可写成,例2：磁场沿任意闭合曲线的积分与通过闭合曲线所围曲面的电流成正比，即：,上式建立了磁场与电流的关系。,过点P 作一微小有向曲面s,它的边界曲线记为l,曲面的法线方向与曲线绕向成右手螺旋关系。当s点P 时,存在极限,上式称为环量密度,过点P 的有向曲面s 取不同的方向，其环量密度将会不同。,2、矢量场的旋度,（1）环量密度,矢量场的环量给出了矢量场与积分回路所围曲面内旋涡源的宏观联系。为了给出空间任意点矢量场与旋涡源的关系，我们将引入旋度。,（2）旋度,P 点的旋度定义为该点的最大的环量密度，并令其方向为en ,即,旋度与环量密度的关系,P 点的旋度定义：矢量场在P点处的旋度为一矢量，其数值为包含P点在内的 小面元边界的环量与小面元比值极限的最大值（或该点的最大的环量密度），其方向为极限取得最大值时小面积元的法线方向en ，即：,旋度直角坐标式的推导,于是得,同理可求得curlF 的y，z分量,所以,考察旋度的 x 分量,或用 算符将其写成,(3）旋度的物理意义,矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。,点P 的旋度的大小是该点环量密度的最大值。,在矢量场中，若F=J0,称之为旋度场(或涡旋场)，J 称为旋度源(或涡旋源)；,点P 的旋度的方向是该点最大环量密度的方向。,若矢量场处处A=0，称之为无旋场。,(5）有关旋度的几个关系式,位置矢量的旋度为零，即,(4）旋度的有关公式,f(R)与R之积的旋度，有,例 4 已知F=(2xyz)ex(x+yz2)ey+(3x2y+4z)ez试就图所示xoy平面上 以原点为心、3为半径的圆形路径，求F 沿其逆时针方向的环量。,解 在xoy平面上，有 F = (2xy)
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