《变量与函数》PPT课件.ppt

第一章 变量与函数,1.1 常用符号 1.2 函 数,一、充分条件、必要条件、充要条件,1、定义：设A为条件，B为结论,若有A就有B，则称A是B的充分条件，记作：A B,若有B必有A，则称A是B的必要条件，记作：A B 若有A就有B，且有B必有A，则称A是B的充要条件, 记作：A B,1.1 常用符号,A B A是B的什么条件 符号 = =1 A是B的充分条件 A B a = 3 a =3 A是B的必要条件 A B 三条边相等 全等 A是B的充要条件 A B,例如：,2、 几点说明,（1）根据命题中的条件与结论是相对的，而不是绝 对的，因此充分与必要条件也是相对的，而不 是绝对的。,如：A B 表示A为条件, B为结论, A是B的充分条件,B A 表示B为条件, A为结论, B是A的必要条件,（2）若A B,则B A，且称A与B等价，常用“当 且仅当，有且仅有”表示,（3）各种条件的作用,充要条件:可以转化矛盾,简化问题,充分条件:可以讨论相关的结论,必要条件:可以缩小讨论范围,二、实数与数轴,1、,2、数轴：有方向，原点，单位长度的直线。,数轴上点A的坐标是实数2，数轴上点B的坐标是实数-1。,二者关系：全体实数与数轴上的全体点之间有一一对 应关系。因此，在今后的学习中，“数a”与“点a” 就有相同的含义。,3.区间:,是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点.,称为开区间,称为闭区间,称为半开区间,称为半开区间,有限区间,无限区间,区间长度的定义:,两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.,4.邻域:,例：求点- 的 邻域。 解：a = - , = a-= - - , a+=- + (- - , - + )是所求的邻域。,5.常量与变量:,在某过程中数值保持不变的量称为常量,注意,常量与变量是相对“过程”而言的.,通常用字母a, b, c等表示常量,而数值变化的量称为变量.,常量与变量的表示方法：,用字母x, y, t等表示变量.,运算性质:,绝对值不等式:,三、 实数的绝对值,四 、 集合 1、定义 所谓集合是指具有某种特定性质的事物的全体。一般用大写字母A，B， ，K， N，表示。 构成集合的事物称为集合的元素，用小写字母 x ,a，表示。 若事物a是集合A的元素，记作：a A。 若事物a不是集合A的元素，记作：a A。,2、类型 有限集：只含有有限个元素的集合。 无限集：含有无限个元素的集合。 空 集：不含有任何元素的集合，记作。,3、表示法 （1）列举法：按某种顺序列出集合中全部元素的方法。 一般形式 A= , ,， 或B= ， ， ， 例 如：A=2，4，6，8，10 B=1,3,5，7，,2n+1,4、数集 如果集合里的元素全是数，则称为数集（是特殊 的集合）。 几个特殊的数集： 实数集R 、有理数集Q、正整数集N、整数集Z,5、集合间的关系：设A与B是两个集合 （1）子集：如果集合A的元素都是集合B的元素，则称 A是B的子集。记作A B或B A。 （2）相等：如果A B且B A，则称A与B相等。 记作：A=B。 （3）并集：集合D=x xA或xB称为A与B的 并集。记作：D=A B。,A B,（4） 交集：集合 E=x xA且xB称为A与B 的交集，记作：E=A B。,A,B,A B,（5） 差集：集合F=x xA且x B称为A 与B的差集。记作: F=A - B。,五、几种常用符号： n！表示不超过n的所有自然数的连乘积， 记作n的阶乘。 n!表示不超过n的并与n有相同奇偶性的 自然数的连乘积，记作n的双阶乘。,如：5！=12345 5!=135 规定： 0!=1,max表示“最大”，是 maximum 的缩写 min表示“最小”，是 minimum 的缩写 表示“任意”或“任意一个” 表示“存在”或“能找到” 例如： 数集A有上界 bR， xA，有xb 数集A有下界 bR， xA，有xb,数集分类:,N-自然数集,Z-整数集,Q-有理数集,R-实数集,数集间的关系:,例如,不含任何元素的集合称为空集.,例如,规定,空集为任何集合的子集.,第一章 函数,例 圆内接正多边形的周长,1.1 函 数,一、函数概念,因变量,自变量,数集D叫做这个函数的定义域,自变量,因变量,对应法则f,函数的两要素:,定义域与对应法则.,约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.,定义:,如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫与多值函数,(1) 符号函数,几个特殊的函数举例,(2) 取整函数 y=x x表示不超过 的最大整数,阶梯曲线,(3) 狄利克雷函数,(4) 取最值函数,例1,脉冲发生器产生一个单三角脉冲,其波形如图所示,写出电压U与时间 的函数关系式.,解,单三角脉冲信号的电压,例2,解,故,二、函数的特性,有界,无界,1函数的有界性:,2函数的单调性:,3函数的奇偶性:,偶函数,奇函数,4函数的周期性:,（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.,定义 设函数 定义在数集 上, 函数 , 定义在数集 上, 是 中使 的 的非空子集,即 ,按照对应关系 ,对应唯一一个 ,再按照对应关系 对应唯一一个 ,于是 都对应唯一一个 .于是在 上定义了一个函数,表为 ,称为函数 与 的复合函数,即 称为中间变量.记为：,三、复合函数,四、反函数,直接函数与反函数的图形关于直线 对称.,定义 设函数 在数集 有定义. 若 ,有 (或 ), 则称函数 在 一一对应. 函数 在 一一对应,就是 把不同的 对应为不同的 , 即 只有唯一一个 ,使 .,例3 设狄利克雷函数,解,单值函数,有界函数,偶函数,周期函数(无最小正周期),不是单调函数,五 、初等函数,定义: 常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数与反三角函数，这六类元素称为基本初等函数. 定义: 由基本初等函数经过有限次的四则运算以及有限次的复合