高等数学-初等函数.ppt

,第一章,二、复合函数,一、基本初等函数,第二节,初等函数,三、初等函数,幂 函 数,幂函数、,指数函数、,对数函数、,三角函数、,反三角函数,一、基本初等函数,画出,(1,1),的图像,奇函数,奇函数,非奇非偶,偶函数,奇函数,增函数,增函数,为增函数, 为减函数,为增函数,为减函数,( 1 , 1 ),幂函数 的性质:,所有幂函数都经过第一象限,并且都通过点(1,1),但不通过第四象限.,当 为奇数时, 幂函数为奇函数;当 为偶数时,幂函数为偶函数.,当 时,幂函数经过原点(0,0),在 为增函数.,当 时, 在 为减函数,图像向上与y轴无限地接近,向右与x轴无限地接近.,当 时,函数为常数函数,定义:函数 叫做指数函数,其中 是一个大于0,且不等于1的常量,函数的定义域是R.,指 数 函 数,定义域:,值域:,当 x = 0 时, y = 1 , 即过点 ( 0 , 1),在 上是减函数,在 上是增函数,当x0时,当x0时,当x0时,当x0时,求 的反函数,解:,反函数为:,的值域为 ,即,对数函数,定义域:,对 数 函 数,换底公式：,( 1, 0),( 1, 0),定义域:,值域:,当 x = 1 时, y = 0 , 即过点 ( 1 , 0 ),在 上是减函数,在 上是增函数,当01时,当01时,三角函数常用公式,三 角 函 数,-,-1,-1,R,R,1,1,1,1,时,ymax=1,时,ymin= 1,时,ymax=1,时,ymin= 1,2,2,奇函数,偶函数,单调增区间:,单调减区间:,单调增区间:,单调减区间:,x,x,0,-1,1,x,y,正切函数的图象,定义域： 值域： 周期性： 奇偶性： 单调性：,全体实数R,正切函数是周期函数，,正切函数在开区间 内都是增函数。,正切函数是奇函数，正切曲线,最小正周期T=,关于原点0对称,正切函数的性质：,余切函数的图形,定义域： 值域： 周期性： 奇偶性： 单调性：,全体实数R,余切函数是周期函数，,余切函数在开区间 内都是减函数。,余切函数是奇函数，正切曲线,最小正周期T=,关于原点0对称,余切函数的性质：,正割函数,余割函数,x,反三角函数,反正弦函数,定义域： -1，1,值 域：,奇偶性： 奇函数,单调性：,在 -1，1 单调递增,有界性：,有界函数,反余弦函数,定义域： -1，1,值域：,奇偶性： 无,单调性：,在 -1，1 单调递减,有界性：,有界函数,反正切函数,定义域：,值域：,奇偶性：,单调性：,在 单调递增,有界性：,有界函数,奇函数,0,y,x,反余切函数,定义域：,值域：,奇偶性：,单调性：,在 单调递减,有界性：,有界函数,无,定义:,注意:,1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;,复合条件,二、复合函数,复合条件在实际应用时常取形式,内层函数的值域落在外层函数的定义域之内,2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.,函数的运算,则我们可以定义这两个函数的,设函数 的定义域依次为,下列运算:,商,和(差),积,三. 初等函数,由常数及基本初等函数,否则称为非初等函数 .,例如 ,并可用一个式子表示的函数 ,经过有限次四则运算和复合步,骤所构成 ,称为初等函数 .,可表为,故为初等函数.,又如 , 双曲函数与反双曲函数也是初等函数 .,( 自学, P12 P13 ),非初等函数举例:,符号函数,当 x 0,当 x = 0,当 x 0,取整函数,当,例1,是由哪些函数复合而成的.,解,例2 分析下列复合函数的结构：,解,设函数,x 换为 f (