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文档简介

3. 状态空间的分解,定义,引理7 (有关闭集的判定和性质),证明 (1),用数学归纳法,引理8,证明,引理9,设C是闭集,则当且仅当其中任何两个状态 互通时,C为不可约的.,证明,推论,齐次马尔可夫链是不可约的充要条件是 它的任何两个状态互通,特别关于有限状态的马尔可夫链有下面结论,定理7,(1) 有限齐次马尔可夫链所有非常返状态集D不可能 是闭集.,(2) 有限齐次马尔可夫链不可能存在零常返状态.,(3) 不可约的有限齐次马尔可夫链的所有状态都是 正常返状态.,证明,定理 8,证明,由以上的分析,可以得到状态空间的分解定理,定理 9,齐次马尔可夫链的状态空间S可唯一地分解成有限个 或可列无限多个互不相交的状态子集的并.即,其中,D是所有非常返状态构成的状态子集.,所有常返状态构成的不可约闭集.,每个状态子集中的状态有着相同的状态类型:,(即 或者均为零常返,或者均为正常返非周期, 或者均为正常返周期且周期相同.),引理10,证明,定理10 (周期链分解定理),证明思路: 从三个方面证明,(1) 分解式的存在性 (2) 转移规则的合理性(正确性) (3) 分解式的唯一性,证明 (1) 分解式的存在性,(2) 转移规则的正确性,(3) 分解式的唯一性,定理11,证明 (1),例1 设状态空间S=0,1,2的马尔可夫链,它的一步 转移概率矩阵为,研究其状态间的关系以及状态类型,例2 设状态空间S=1,2,3,4的马尔可夫链,它的一步 转移概率矩阵为,试分析状态类型,例3 设Xn,n=0,1,2,是一齐次马尔可夫链, 状态空间 S=1,2,3,4,5,其一步转移概率矩阵为,试分析状态类型,例4 设齐次马尔可夫链的状态空间S=0,1,2,3,其一步 转移概率矩阵为,试分析过程的周期性,例5 设齐次马尔可夫链的状态空间S=1,2,3,4,5,6,7,8, 其一步转移概率矩阵为,例5 设齐次马尔可夫链的状态空间S=1,2,
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