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2.1.2等差数列的性质,知识回顾,等差数列,【说明】 AAA数列 an 为等差数列的判断方法:,公差是 唯一 的常数。,an=a1+(n-1)d,等差数列各项对应的点都在同一条直线上.,或an=a1+(n-1)d,或an= kn + b,导,思考2:(1)在等差数列an中,a3a8与 a5a6有什么关系? (2)一般地,在等差数列an中,什么条件下 有 ?,(2)mn=pq,(1)a3a8=a5a6,思考1:若数列an是公差为d的等差数列,则数列2an是等 差数列吗?数列2an呢?如是,公差分别是多少?,am+an=ap+aq,1、都是等差数列,公差分别是d和2d,思,(1)构造性: 若an是公差为d的等差数列,则下列数列: can(c为任一常数)是公差为_的等差数列; can(c为任一常数)是公差为_的等差数列; anank(k为常数,kN)是公差为_ 的等差数列; 数列anb(,b是常数)是公差为_的等差数列;,cd,d,2d,d,等差数列的性质,下标成等差数列且公差为m的项ak,akm,ak2m,(k,mN)组成公差为_的等差数列 若an、bn分别是公差为d1、d2的等差数列,则数列panqbn(p、q是常数)是公差为_的等差数列; (2)下标和相等性 若an是有穷等差数列,则与首、末两项等距离的两项之和都相等,且等于首末两项之和,即a1ana2an1aian1i;,md,pd1qd2,例1.已知an为等差数列,若a10= 20 , d= -1 ,求a 3 ?,a 3= a 10 +(3-10)d,a 3=27,议,例2. 在等差数列an中 (1) 若a59=70,a80=112,求a101 (2) 若ap= q,aq= p ( pq ),求ap+q,d=2,a101=154,d= -1,ap+q =0,议,例3.在等差数列an中 (1) 已知 a6+a9+a12+a15=20,求a1+a20,例题分析,(2)已知 a3+a11=10,求 a6+a7+a8,分析:由 a1+a20 =a6+ a15 = a9 +a12 及 a6+a9+a12+a15=20,可得a1+a20=10,分析: a3+a11 =a6+a8 =2a7 ,又已知 a3+a11=10 a7 =5 a6+a7+a8=a7+( a6+a8 )=15,议,例4. 三数成等差数列,它们的和为12,首尾二数的积为12,求此三数.,等差数列设项方法,提示: 设这三个数分别为a-d a,a+d,则3a=12,a2-d2=12,6,4,2或2,4,6,议,上面的命题中的等式两边有 相 同 数 目 的项,如a1+a2=a3 成立吗?,【说明】 3.更一般的情形,an= ,d=,总结归纳,1. an为等差数列 ,2. a、b、c成等差数列 ,an+1- an=d,an+1=an+d,an= a1+(n-1) d,an= kn + b,(k、b为常数),am+(n - m) d,b为a、c 的等差中项AA,2b= a+c,4.在等差数列an中,由 m+n=p+q,am+an=ap+aq,注意:上面的命题的逆命题 是不一定成立 的;,5. 在等差数列an中a1+an a2+ an-1 a3+ an-2 ,=,=,=,达标检测 (1)若成等差数列的四个数之和为26,第二个数与第三个数之积为40,求这四个数.,检,(2) 已知 a4+a5+a6+a7=56,a4a7=187,求a14及公差
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