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文档简介

第二节 二次型的规范形,1讨论了任意一个二次型经过满秩线性变换可化为标准形, 且标准形不唯一. 即任意一个对称矩阵可用合同变换化为对角形矩阵, 并且对角元不唯一. 而对角形矩阵的秩等于它的对角线上不为零元素的个数r. 再者合同变换是保秩变换, 因此原对称矩阵的秩也是r.,这样, 在一个二次型的标准形中系数不为零的平方项的个数是唯一确定的, 与所进行的满秩线性变换无关.,本节分别在复数域和实数域中进一步讨论标准形的唯一性问题.,一 复数域,设f (x1, x2, , xn)是复数域上的二次型, 经过满秩变换化为标准形,其中r是二次型 f 的秩, rn.,作满秩变换,二次型化为,称为复二次型的规范形. 显然复二次型的规范形完全由原二次型的秩决定.,定理2.1 任何复系数二次型经过适当的满秩线性变换可化为规范形, 且规范形是唯一的, 由二次型的秩决定.,用矩阵表示,复数域上的对称矩阵合同于形式为,的对角形矩阵, 1的个数为对称矩阵的秩.,两个同阶复对称矩阵合同秩相等.,二 实数域,设f (x1, x2, , xn)是实二次型, 经过线性变换及顺序调整后可化为,其中di0(i=1, 2, , r), 即上式中有p项为正, rp项为负.,令,实二次型可化为,称为实二次型的规范形.,定理2.2 任何实二次型经过满秩线性变换总可化为规范形, 且规范形是唯一的.,证明,只需证明规范形唯一, 即p的个数确定.,反证法,若规范形不唯一.,设存在两个实满秩线性变换x=By, x=Cz将实二次型f (x1, x2, , xn)分别化为两个规范形.,其中pq, 不妨设pq.,由假设得,(*),由x=By, x=Cz得,z=C-1By, 令,C-1B=(gij)nn,得z1, z2, , zn与y1, y2, , yn的关系为,作齐次方程组,此方程组必有非零解, 令,显然有kp+1=kn=0, 而k1, k2, , kp不全为零,因此方程组的解为,代入等式(*)左端得,通过变换z=C-1By代入右端得,产生矛盾.,说明pq不成立.,同理qp不成立, 因此p=q.,因此唯一性成立.,定义 在实二次型标准形或规范形中, 正平方项的个数p称为正惯性指数, 负平方项的个数 rp称为负惯性指数. 它们的差p(rp)=2pr称为符号差.,惯性定理,定理2.2 实二次型经过是满秩线性变换化为标准形时, 其秩r, 正惯性指数p及负惯性指数rp都是唯一的.,矩阵描述,实对称矩阵A合同于对角阵D, D的主对角元素不为零的个数r, 正数个数p, 负数个数rp唯一.,根据惯性定理, 实二次型的正、负惯性指数与其秩一样, 也是满秩线性变换下的不变量.,因此虽然实二次
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