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8.3 域的基本概念与性质,定义 8.3.1 设(F, +, x)为一个交换环，若(F*, x)是群则称(F, +, x)为一个域。其中F*= F 0。 域也可以定义为：每个非零元都有逆元的整环。,例8.3.1 全体实数集合R、有理数集合Q以及复数集合C，在通常的加法和乘法运算下都构成域。 例8.3.2 试证(R2,)是一个域，其中运算和的定义如下： (a, b)(c, d) = (a+c, b+d) (a, b)(c, d) = (ac-bd, ad+bc) 由(R2, ) (C,+,x)，和(C,+,x)是域即可知。,设 f 为从环(R, +, x )到(R, +, x )的同态，但 f 不是同构，则R是整环并不能确保R也是整环。 例如， f : Z Zn，mmn是整数环从(Z, +, x )到同余类环(Zn, +n, xn )的同态。Z是整环，而当n不是素数时， Zn不是整环。,例8.3.3 证明(Zp,+p,xp)是域当且仅当p是素数。 证. 若(Zp,+p,xp)是域，则(Zp,+p,xp)是整环，于是其特征 p是素数。 若 p是素数，mp Zp，由 p与m互素，故存在s, t Z，使得 sp + tm = 1 于是 spp +p tmp =1p 即 tp xp mp =1p 因此 mp 的逆元是tp 。,定理 8.3.1 有限整环(R, +, x )一定是域。 证. 只需证明非零元都有逆元即可。设 r0 R，r0 0 考虑映射 f : RR, r r0r 若r0r1 = r0r2，则由整环无零因子知 r1 = r2 故 f 是单射。 又 R为有限环，不妨设|R|=n，则单射 f 将R中 n个不同 元素映到R中n个不同元素，故 f 是满射。 于是存在 r1 R，使 f (r1) =1，即r0r1=1，故 r0有逆元 r1,定理 8.3.2 整环是域的充要条件是它不含真理想。 证. 充分性 设整环(R, +, x )不含真理想，只需证明非零元 r0都有逆元。设由r0 生成的R的主理想为(r0 )，因于r0 (r0 )，因此(r0 )0，于是(r0 ) = R，而整环R的(r0 )= r0r | r R 故存在 r1 R，使 r0r1=1，故 r0有逆元 r1 。 必要性 设I为域(R, +, x )的理想，I0，则存在非零元
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