数学教学论课件-命题及论证的教学.ppt

二、推理、证明与学习心理,为准确地运用概念和判断进行推理或 证明，就必须掌握形式逻辑的基本规 律同一律、矛盾律、排中律和充足 理由律．,（一）形式逻辑的基本规律,1、同一律 同一律的内容是在同一时间，同一地点，同一思维的过程中，所使用的概念和判断必须确定，且前后保持一致． 同一律的公式是A→A，即A是A． 根据同一律的内容，它具体有两点要求 一是思维的对象应保持同一（在思维的过程中所考察的对象必须确定，要始终如一，不能中途变更．）； 二是表示同一事物的概念应保持同一（在思维的过程中，要以同一概念表示同一思维对象，不能用不同的概念来表示同一事物，也不能把不同的事物混淆起来用同一个概念来表示）． 违反同一律的错误，在概念中主要表现为偷换概念或所使用的概念不明确等；在推理中主要是论题不明确或偷换论题等．,2、矛盾律,矛盾律的内容是在同一时间，同一地点，同一思维的过程 中，不能既肯定它是什么，又否定它是什么．即在同一思维 过程中的两个互相矛盾的判断，不能同真，必有一假． 矛盾律的公式是 即A 不是 矛盾律实为“不矛盾律”，它是同一律的引申，是用否定形 式表达同一律内容的．矛盾律是否定判断的逻辑基础，其作 用是排除思维中的自相矛盾，保持思维的不矛盾性．这里所 说的思维矛盾，是人们思想陷入混乱状态或故意玩弄诡辩时 所产生的逻辑矛盾．它与客观事物本身所存在的矛盾是不同 的． 两个矛盾判断不能同真，但可能同假．例如，△ABC是锐角 三角形与△ABC是钝角三角形是两个矛盾的判断，其中一个 正确，另一个必错误；但其中一个错误，另一个未必正确， 这是因为还存在△ABC为直角三角形的第三种情况．,,,3、排中律,排中律的内容是在同一时间，同一地点，同一思维的过程中，对同一对象，必须作出明确的肯定或否定的判断．即在同一思维过程中，两个互相矛盾的概念或判断不能同假，必有一真，而排除第三种可能。 排中律的公式是 ，即 或 。 排中律要求人们的思维有明确性，它是反证法的逻辑基础。 例如， 是无理数与 是有理数，这是两个互相矛盾的判断，但不能同时存在，其中必有且只能有一个是正确的。,排中律和矛盾律的关系,排中律和矛盾律既有联系，又有区别．其联系在于它们都是关于两个互相矛盾的判断，都指出两个矛盾判断不能同时并存，其中必有一个是假．但如何进一步确定谁真谁假，它们本身都无能为力，只有借助其他知识，进行具体分析，才能正确地予以回答．其区别在于矛盾律指出两个互相矛盾的判断，不能同真，必有一假；排中律则指出两个互相矛盾的判断，不能同假，必有一真．矛盾律只能由真推假，不能由假推真；而排中律既能由真推假，也能由假推真，所以，矛盾律是否定判断的逻辑基础，而排中律是反证法的逻辑基础．,4、充足理由律,充足理由律的内容是任何一个真判断，必须有充足理由，即对于任何事物的肯定或否定，都要有充分的理由和根据． 充足理由律可表示为若有B，则必有A，使得由A可以推出B．充足理由律是进行推理和证明的逻辑基础，它与判断有着密切的联系． 例如，在数学命题中，充分条件、充要条件都可以作为结论的充足理由，原定理可作为它的逆否命题的充足理由等等。,充足理由律和前面三个规律有着密切的联系,同一律、矛盾律和排中律是为了保持同一判断或概念本身的确定性和无矛盾性；充足理由律则是为了保持之间的联系有充分根据和说服力．因此，在思维过程中，如果违反了同一律、和排中律，那么就必然导致违反充足理由律． 总之，数学推理、证明必须要求对象确定同一律，判断不自相矛盾矛盾律），不模棱两可排中律，有充分根据充足理由律．在数学教学中，我们应注意培养学生严格遵守这些逻辑规律进行思考的习惯，以培养学生的逻辑思维能力。,（二）推理、证明与学习心理,推理是数学的基本思维方法，是数学的灵魂，没有推理就没有数学。 推理与证明，是数学的基本思维过程，推理一般包括合情推理和演绎推理。 证明通常包括逻辑证明和实验、实践证明，数学结论的正确性必须通过逻辑证明来保证，即在前提正确的基础上，通过正确使用推理规则得出结论。,,中学阶段对推理、证明的学习要求是了解合情推理与演绎推理，体会二者之间的关系与差异；体会证明的特点。了解证明的基本方法，包括直接证明和间接证明的方法；感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，通过学习使学生表达清楚、养成言之有理、论证有据的习惯；学会用数学的思维方法解决数学和日常生活中的问题。,1.数学推理,推理根据判断间的关系，从一个或几个已有的判断作出一个新的判断的思维过程叫做推理． 推理结构包括前提和结论两部分；所根据的已有判断叫做推理的前提，作出的新判断叫做推理的结论．正确的推理要求合乎逻辑形式，遵守推理规则． 推理作用在实践中有两方面的作用，一是帮助人们从已知的知识推出新的知识;二是证明的工具；,,推理的形式由于划分的标准不同,推理可以分成许多种类。直接推理与间接推理．直接推理的前提只有一个，比较简单；间接推理则是由两个或两个以上前提组成的推理，它又可分为归纳推理、类比推理和演绎推理三类． 数学推理是指从数学的已知事实或假设事实出发，依据数学逻辑引出结论的过程。 数学推理包括合情推理与演绎推理。 例1 角平分线上任一点到这个角两边的距离相等,因此,到角两边的距离不等的点不在这个角的平分线上。 例2 矩形的对角线平分且相等,正方形是矩形,所以正方形的对角线平分且相等。,合情推理是根据已有的事实和正确的结论包括实验和实践的结果以及个人的经验和直觉等推测某些结果和推理过程，归纳、类比是合情推理常用的思维方法．在解决问题的过程中，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养． 例如 工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的牙齿,发明了锯子；人们仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理,发明了潜水艇. 演绎推理是根据已有的事实和正确的结论包括定义、公理、定理等，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程． 合情推理和演绎推理之间联系紧密，相辅相成．,1合情推理,①归纳推理 归纳推理是一种由特殊到一般的推理，即从个别或特殊的事物所作判断扩大为同类一般事物的判断的思维过程，且根据前提与结论所作判断的范围是否相同，又分为完全归纳法与不完全归纳法． 如果归纳推理的前提中一个或几个判断范围的总和等于结论中判断的范围，这种归纳推理叫做完全归纳法．就是根据对某类事物的全部对象的考察而进行的归纳推理。,,,,完全归纳法,S1、S2、、Sn是A类事物中所有的对象 S1 具有或不具有P S2 具有或不具有P Sn 具有或不具有P ---------------------- A类事物具有或不具有P 例如，分别考察某班每一个同学，确认全班五十位同学 在期终考试中每门功课都及格，从而推出结论，该班全 体同学在期终考试中全部过关。,,,,其表示形式是,,完全归纳推理的特点 1、前提完备前提应包括某类事物的全部对象。 2、结论可靠结论的断定范围没有超出前提的断定 范围，所以它确实可靠。 由于完全归纳法在前提判断中已对结论的判断范围作 出了判断，如果皆是真实的，则所得结论是完全可靠 的，所以完全归纳法可作为数学上的一种严格推理方 法．但在应用时，须注意前提的判断范围既不能重复， 也不能遗漏，即前提判断范围的总和不能小于结论判断 的范围．,,,,,如果归纳推理的前提判断范围的总和小于结论判断的范 围，这种归纳推理叫做不完全归纳法．是从一个或几个 （但不是全部）特殊情况作出一般性结论的归纳推理。 其表示形式是 、 、、 是A类事物中部分的对象 具有或不具有P 具有或不具有P 具有或不具有P A类事物具有或不具有P,,,,,,,,,,不完全归纳法,,例如，中学数学中从具体实数的运算概括出实数的运算律以及指数运算性质等的推理都是不完全归纳法，一些气象谚语、农业谚语、人们的养生之道等也是根据不完全归纳法得到的． 归纳推理的作用 数学学习中归纳的作用主要表现在启发解题思路，预测解题答案．利用归纳法考察原问题的特殊情形，为我们提供信息，帮助从特殊性到普遍性的认识，指明探索方向，发现解题途径．,,,②类比推理 类比推理是一种由特殊到特殊的推理，即根据两个 或两类事物的某些相同或相似的性质，判断它们 在别的性质上也可能相同或相似．称为类比推 理.简称类比。 其表示形式是 A类事物具有性质 a b c d B类事物具有性质 a b c ------------------------- B类事物可能具有性质d,,例如，代数中根据分式与分数都具有分子、分母这 个相同的形式，从而推测分式可以如同分数一样进 行化简与计算；由平面上直线与直线之间的关系可 以推测空间中平面与平面之间的关系等，这都是类 比推理． 类比推理的作用 在数学发展中类比的作用是提出新问题作出新发 现．类比能提供线索、帮助分析猜想、发现解决问 题的途径．类比是扩大知识范围、获得新知识、发 现真理的重要手段，类比在获得科学成果和数学命 题中有重要作用．,,类比推理的几个特点 1.类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正在研究的事物的属性,是以旧有的认识为基础,类比出新的结果. 2.类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性. 3.类比的结果是猜测性的不一定可靠, 有些结论，还有待于实践和理论的证明．但它却有发现的功能.,（2）演绎推理,演绎推理是一种由一般到特殊的推理，即以某类 事物的一般判断为前提，作出这类事物的个别、 特殊事物判断的思维形式． 简单的演绎推理往往是通过三段论的形式来实现 的． 三段论推理由两个前提大前提、小前提推出 一个结论的思维形式称为三段论推理, 又称三段 论法。三段论推理是演绎推理的最主要形式，是 中学阶段学习的重点．,,其表现形式是 集合M中的元素具有或不具有P z∈M --------------------------- 也具有或不具有P 三段论的结构包括大前提-----是指一般性事物, 如已知的公理、定理、定义、性质等,反映一般原理的判断，小前提----反映个别对象与大前提有关系的判断，以及结论三个判断．如果大前提、小前提都正确，则结论一定正确。,,,,,,例1，因为负数无对数大前提； -1是负数小前提； 所以，-1无对数结论． 例2，因为平行四边形的对角线互相平分大前提； ABCD是平行四边形小前提； 所以，ABcD的对角线AC与BD互相平分结论．,（3）合情推理与演绎推理的关系,合情推理与演绎推理在实际问题推论中相辅相成．合情推理用于探索，猜测一些数学结论演绎推理用于确认结论的正确性，或者用反例推翻错误的猜想． 在探索自然规律时，首先要确定一个目标，或者提出一个要解决的问题；然后通过日常的实践、分析和合情推理，总结出一个预期的解决方案或猜想；最后还需对此猜想作出严格的证明．证明的过程中则需要按演绎推理的规则进行，证明完前一步，下一步又该如何演绎，仍需依靠合情推理提供思路，直至完成全部证明．可见，合情推理与演绎推理在实际问题推论中相辅相成的。,,,,2、中学数学证明的学习,数学证明是应用已经确定其真实性的公理、定理、定义、公式、性质等数学命题来论证某一数学命题的推理过程． 逻辑证明是由论题、论据、论证三个部分组成的． 论题是需要证明其真实性的判断，论据是用来证明论题真实性所引用的那些判断，论证就是由论据出发进行一系列推理来证明论题的真实性的过程． 数学证明习惯上分成已知、求证、证明三个部分来写．其中论据是包括论题给定的条件和证明论题时所引用的那些论据，以及已知的公理、定理、公式、定 义、法则、性质等命题；求证就是论题的结论，即有待于证明具有真实性的命题；证明就是论证，即证明论题真实性的推理过程．,,证明格式常用的有联用式与推进式两种． 联用式是联用“因为、所以”表示推理关系的书写格式 .联用式给人以“乱”的感觉。 推进式是借助符号“ ”表示蕴含关系或推理关系的书写格式，且都可分为横、竖两种基本形式．推进式给人以“繁”的感觉。 中学常用的几种证明方法．直接证明和间接证明,（1）直接证法 在数学证明中，从正面证明论题真实性的证明方法，叫做直接证法． 凡是用演绎法证明命题真实性的都是直接证法．它是中学数学中常用的证明方法。在数学证明中，分析法与综合法是直接证明的两种基本的方法。一种是由已知走向求证，即从数学问题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求的问题，这一方法称为综合法；另一种则是反过来，由求证走向已知，即从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件，这种方法称为分析法．,（2）间接证法 不是直接证明论题的真实性，而是通过证明论题的否定论题不真实，或者证明它的等效命题成立，从而肯定论题真实性的证明方法，叫做间接证法．间接证法主要有反证法与同一法． ①反证法 反证法的一般步骤如下 1假设命题的结论不成立即结论的否定成立； 2从否定结论出发，逐层进行推理，得出与公理，或 前述的定理、定义或题设条件，或与临时假设等自相矛 盾即说明结论不能否定； 3根据排中律，最后肯定原命题成立．,②同一法 如前所述，两个互逆或互否的命题不一定是等效的，只有当一个命题的条件和结论都唯一存在，且它们所指的概念是同一概念时，该命题与其逆命题或否命题才等效，这个原理叫做同一原理．对于符合同一原理的命题，当直接证明有困难时，可以，改证与它等效的逆命题，这种证明方法叫做同一法． 同一法的一般步骤如下 1当命题的条件与结论所含事项都唯一存在时，先作出设 定符合命题结论的图形或算式； 2证明所作图形或设定的算式符合已知条件； 3根据唯一性，确定所作图形或设定的算式与已知图形 重合或与已知关系式相同； 4最后肯定原命题成立．,反证法与同一法都是间接证法．它们的主要区别是 ①方法不同．反证法先否定结论，然后再予以反驳；同一法先作出设定符合命题结论的图形或算式，然后推证所作图形或算式与已知图形或关系式相同． ②根据不同．反证法的逻辑依据是排中律，利用原命题与其逆否命题的等价性来证明的；同一法的逻辑依据是同一律，利用原命题与其逆命题的等价性来证明的． ③适用范围不同．反证法是从否定命题的结论出发，只要能推出矛盾就行，而这个矛盾不一定由于图形或关系式的“唯一存在性”引起的．因此，反证法可适用于各种命题，而同一法只适用于符合同一法则的命题．,内容归纳起来就是,,,,,,推理的方法,思维的理路,证明的方法,,归纳法,类比法,演绎法,,分析法,综合法,,直接证明法,简接证明法,,完全归纳法,不完全归纳法,,反证法,同一法,,归谬法,穷举法,推证同法,以数学方法研究逻辑的分科，叫做数理逻辑或符号逻辑。,3、推理论证的学习心理,推理论证素质的形成主要依赖于批判性思维和逻辑修养．批 判性思维是指善于严格地估计思维材料和精细地检查思维过 程的思维方式．批判性思维具体呈现在以下几个特点上 分析性在思维过程中不断地分析解决问题所依据的条件 和反复验证业已拟定的假设、计划和方案； 策略性在思维课题面前，根据自己原有的思维水平和知 识经验在头脑中构成相应的策略或解决问题的手段，然后使 这些策略在解决思维任务中生效； 整体性在思维活动中，善于客观地考虑正反两方面的论 据，认真把握问题的进展情况，随时坚持正确计划，修改错 误方案； 独立性坚持规则，不为情境性的暗示所左右，不人云亦 云，盲从附和。 严谨性思维过程严谨，组织有条理，坚持实事求是．,推理论证的学习心理,①以似真为必真27 初学推理者习惯于接纳合情推理，认为推理就是证明，合情推理的结果必真． ②轻视数学归纳法的双重条件 29 例 忽视“奠基”条件，认为命题对于由和推导出来的都成立，于是时便理所当然地成立。 ③使用反证法时，作反设困难30 ④犯扩大或缩小前提的错误31 ⑤证伪的意识薄弱32,,数学概念的教学 数学是由概念与命题组成的知识体系．概念可视为思维的细胞，理解与掌握数学概念是学好数学基础知识，提高数学能力的关键．加强概念的教学，历来是中学数学教学的一项重要任务． “中学数学课程标准”中指出“在进行概念教学时，应当从实际事例或学生已有的知识中，逐步引导学生加以抽象，弄懂概念的含义．对于容易混淆的概念，要引导学生用对比的方法，弄清它们的区别和联系．” 数学概念教学的基本要求是教师应能准确地揭示概念的内涵和外延，以及概念之间的关系，使学生深刻理解概念，并能在解决各类问题时灵活运用概念，即达到理解、巩固、系统、会用概念的目的．,概念教学的基本要求 1重视概念的引入现实性原则 2揭示概念的外延和内涵科学性原则 3讲清概念的来龙去脉系统性原则 4注意概念之间的对比比较性原则 5加强概念的运用应用性原则 在教学方法上，还应注意以下几点 ①认识概念的重要性，切实加强概念教学 ②重视问题的情境设计，提供概念的现实原型 ③通过变式变形、正反实例，揭示概念的科学内涵 ④抓住主要概念，选择讲解重点 ⑤针对不同定义，采用不同教法 ⑥激发学习兴趣，重在培养数学能力,,数学命题的教学 中学数学命题教学的基本要求是使学生深刻理解数学命题的意义，明确其推导过程与适用范围，并具有灵活运用数学命题解决问题的能力． ①关于数学公理的教学 ②关于数学定理的教学,