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第二章 推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理A级基础巩固一、选择题1下列推理是归纳推理的是()AF1,F2为定点,动点P满足|PF1|PF2|2a|F1F2|,得P的轨迹为椭圆B由a11,an3n1,求出S1,S2,S3,猜想出数列的前n项和Sn的表达式C由圆x2y2r2的面积r2,猜想出椭圆1的面积SabD科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇解析:由归纳推理的定义知,B项为归纳推理答案:B2根据给出的数塔猜测123 45697等于()192111293111123941 1111 2349511 11112 34596111 111A111 1110B1 111 111C1 111 112 D1 111 113解析:由19211;1293111;123941 111;1 23495111 111;归纳可得,等式右边各数位上的数字均为1,位数跟等式左边的第二个加数相同,所以123 456971 111 111.答案:B3观察图形规律,在其右下角的空格内画上合适的图形为()解析:观察可发现规律:每行、每列中,方、圆、三角三种形状均各出现一次,每行、每列有两个阴影一个空白,应为黑色矩形答案:A4设n是自然数,则(n21)1(1)n的值()A一定是零 B不一定是偶数C一定是偶数 D是整数但不一定是偶数解析:当n为偶数时,(n21)1(1)n0为偶数;当n为奇数时(n2k1,kN),(n21)1(1)n(4k24k)2k(k1)为偶数所以(n21)1(1)n的值一定为偶数答案:C5在平面直角坐标系内,方程1表示在x轴,y轴上的截距分别为a和b的直线,拓展到空间,在x轴,y轴,z轴上的截距分别为a,b,c(abc0)的平面方程为()A.1 B.1C.1 Daxbycz1解析:从方程1的结构形式来看,空间直角坐标系中,平面方程的形式应该是1.答案:A二、填空题6已知a11,an1an,且(an1an)22(an1an)10,计算a2,a3,猜想an_解析:计算得a24,a39,所以猜想ann2.答案:n27在平面上,若两个正三角形的边长比为12.则它们的面积比为14.类似地,在空间中,若两个正四面体的棱长比为12,则它们的体积比为_解析:.答案:188观察下列各式:(x3)3x2;(sin x)cos x;(exex)exex;(xcos x)cos xxsin x.根据其中函数f(x)及其导数f(x)的奇偶性,运用归纳推理可得到的一个命题是_解析:对于,f(x)x3为奇函数,f(x)3x2为偶函数;对于,g(x)sin x为奇函数,f(x)cos x为偶函数;对于,p(x)exex为奇函数,p(x)exex为偶函数;对于,q(x)xcos x为奇函数,q(x)cos xxsin x为偶函数归纳推理得结论:奇函数的导函数是偶函数答案:奇函数的导函数是偶函数三、解答题9有以下三个不等式:(1242)(9252)(1945)2;(6282)(22122)(62812)2;(13252)(10272)(131057)2.请你观察这三个不等式,猜想出一个一般性结论,并证明你的结论解:一般性结论为(a2b2)(c2d2)(acbd)2.证明:因为(a2b2)(c2d2)(acbd)2a2c2b2c2a2d2b2d2(a2c22abcdb2d2)b2c2a2d22abcd(bcad)20,所以(a2b2)(c2d2)(acbd)2.10如图所示,在ABC中,射影定理可表示为abcos Cccos B,其中a,b,c分别为角A,B,C的对边,类比上述定理,写出对空间四面体性质的猜想解:如右图所示,在四面体PABC中,设S1,S2,S3,S分别表示PAB,PBC,PCA,ABC的面积,依次表示平面PAB,平面PBC,平面PCA与底面ABC所成二面角的大小猜想射影定理类比推理到三维空间,其表现形式应为SS1cos S2cos S3cos .B级能力提升1用火柴棒摆“金鱼”,如图所示:按照上面的规律,第n个“金鱼”图需要火柴的根数为()A6n2 B8n2C6n2 D8n2解析:从可以看出,从图开始每个图中的火柴棒都比前一个图中的火柴棒多6根,故火柴棒数成等差数列,第一个图中火柴棒为8根,故可归纳出第n个“金鱼”图需火柴棒的根数为6n2.答案:C2等差数列an中,an0,公差d0,则有a4a6a3a7,类比上述性质,在等比数列bn中,若bn0,q1,写出b5,b7,b4,b8的一个不等关系_解析:将乘积与和对应,再注意下标的对应,有b4b8b5b7.答案:b4b8b5b73观察下列等式:sin210cos240sin 10cos 40;sin26cos236sin6cos36.由上面两题的结构规律,你能否提出一个猜想?并证明你的猜想解:由知,两角相差
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