高中数学第三章函数的应用习题课函数的应用学案新人教版必修1.docx

习题课函数的应用学习目标1.体会函数与方程之间的联系，能够解决与函数零点相关的问题(重点).2.了解指数函数、幂函数、对数函数的增长差异(易错点).3.巩固建立函数模型的过程和方法，了解函数模型的广泛应用(重点).1.函数f(x)ex3x的零点个数是()A.0 B.1 C.2 D.3解析令f(x)ex3x0，即ex3x，在同一坐标系中作出函数yex和y3x的图象，如图所示，由图知二者有一个交点，即f(x)有1个零点.答案B2.已知函数f(x)则函数f(x)的零点为()A.，0 B.2，0C. D.0解析当x1时，由f(x)0，得2x10，所以x0.当x1时，由f(x)0，得1log2x0，所以x，不成立，所以函数的零点为0，选D.答案D3.函数f(x)ax2x1至少存在一个零点，则a的取值范围是_.解析当a0时，f(x)x1有一个零点x1；当a0时，则14a0，解得a且a0，综上a的取值范围是a.答案4.生产某机器的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是yx275x，若每台机器售价为25万元，则该厂获得最大利润时生产的机器为_台.解析设生产x台，获得利润f(x)万元，则f(x)25xyx2100x(x50)22 500，故当x50时，获得利润最大.答案50考查方向类型一函数的零点方向1判断函数零点所在的区间【例11】函数f(x)2x3x的零点所在的一个区间是()A.(2，1) B.(1，0)C.(0，1) D.(1，2)解析由f(1)30及零点存在性定理，知f(x)的零点在区间(1，0)上.答案B方向2判断函数零点(方程的根)的个数【例12】方程|x|0(a0)的根有()A.1个 B.2个 C.3个 D.至少1个解析令f(x)|x|，g(x)(a0)，作出两个函数的图象，如图，从图象可以看出，交点只有1个.故方程|x|0(a0)只有一个实根.答案A方向3根据函数零点求参数的取值范围【例13】已知函数f(x)|x23x|，xR.若方程f(x)a|x1|0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为_.解析设y1f(x)|x23x|，y2a|x1|.在同一平面直角坐标系中作出y1|x23x|，y2a|x1|的图象，如图.由图可知f(x)a|x1|0有4个互异的实数根等价于y1|x23x|与y2a|x1|的图象有4个不同的交点，且4个交点的横坐标都小于1，所以有两组不同的解.消去y得x2(3a)xa0，该方程有两个不等实根.所以(3a)24a0，即a210a90，解得a9.又由图象得a0，0a9.答案(0，1)(9，)规律方法函数零点问题的解法(1)确定函数零点所在的区间，可利用零点存在性定理或数形结合法.(2)判断零点个数的方法：解方程法；零点存在性定理，结合函数的性质；数形结合法：转化为两个函数图象的交点个数.(3)根据函数的零点求参数的取值范围：直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组)，再通过解不等式(组)确定参数范围；分离参数法，将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.【训练1】(1)函数f(x)xlg x3的零点所在的区间为()A.(0，1) B.(1，2)C.(2，3) D.(3，)(2)若方程4x2x13a0有零点，则实数a的取值范围是_.解析(1)易知函数f(x)xlg x3在定义域上是增函数，f(1)1030，f(2)2lg 230.故函数f(x)xlg x3的零点所在的区间为(2，3)，选C.(2)由4x2x13a0得a4x2x13，又4x2x13(2x)222x3(2x1)22，因为2x0，所以(2x1)223.故要使原方程有零点，则a3.答案(1)C(2)(3，)类型二函数模型及其应用【例2】某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元.(1)分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系；(2)若该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益？其最大收益是多少万元？解(1)设两类产品的收益与投资额的函数分别为f(x)k1x，g(x)k2.由已知得f(1)k1，g(1)k2，所以f(x)x(x0)，g(x)(x0).(2)设投资稳健型产品为x万元，则投资风险型产品为(20x)万元.依题意得yf(x)g(20x)(0x20).令t(0t2)，则yt(t2)23，所以当t2，即x16时，收益最大，ymax3万元.故投资稳健型产品16万元，投资风险型产品4万元时，能使投资获得最大收益，为3万元.规律方法建立函数模型的方法(1)关系分析法：通过寻找实际问题中的关键词和关键量之间的数量关系来建立函数模型.(2)图表分析法：通过列表的方法探求建立函数模型.(3)图象分析法：通过对图象中的数量关系进行分析来建立函数模型.【训练2】今年冬季，我国大部分地区遭遇雾霾天气，给人们的健康、交通安全等带来了严重影响.经研究，发现工业废气等污染物排放是雾霾形成和持续的重要因素，污染治理刻不容缓.为此，某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过过滤后排放，以降低对空气的污染.已知过滤过程中废气的污染物数量P(单位：mg/L)与过滤时间t(单位：小时)间的关系为PP0ekt(P0，k均为非零常数，e为自然对数的底数)，其中P0为t0时的污染物数量.若经过5小时过滤后还剩余90%的污染物.(1)求常数k的值；(2)试计算污染物减少到40%至少需要多少时间(精确到1小时，参考数据：ln 0.21.61，ln 0.31.20，ln 0.40.92，ln 0.50.69，ln 0.90.11.)解(1)由已知，当t0时，PP0；当t5时，P90%P0.于是有90%P0P0e5k.解得kln 0.9(或0.022).(2)由(1)得，PP0e(ln 0.9)t.当P40%P0时，有0.4P0P0e(ln 0.9)t.解得t41.82.故污染物减少到40%至少需要42小时.1.对于零点性质要注意函数与方程的结合，借助零点的性质可研究函数的图象、确定方程的根；对于连续函数，利用零点存在性定理，可用来求参数的取值范围.2.函数模型的应用实例的基本题型(1)给定函数模型解决实际问题；(2)建立确定的函数模型解决问题；(3)建立拟合函数模型解决实际问题.3.函数建模的基本过程如图基础过关1.函数f(x)的零点所在区间为()A. B.C. D.(1，2)解析f(x)在(0，)上单调递减，又f0，ff0时，f(x)exx3，则f(x)的零点个数为_.解析函数f(x)是定义域为R的奇函数，f(0)0，所以0是函数f(x)的一个零点.当x0时，令f(x)exx30，则exx3，分别画出函数yex和yx3的图象，如图所示，有一个交点，所以函数f(x)有一个零点，又根据对称性知，当x0时，函数f(x)也有一个零点.综上所述，f(x)的零点个数为3.答案36.某商品在近30天内，每件的销售价格P(元)与时间t(天)的函数关系是：P该商品的日销售量Q(件)与时间t(天)的函数关系是Qt40(0t30，tN)，求这种商品日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的哪一天？解设日销售额为y元，则yPQ(1)若0900，所以当t25时，ymax1 125.答：第25天日销售金额最大，为1 125元.7.已知函数f(x)x3x2，证明：存在x0，使f(x0)x0.证明令g(x)f(x)x.g(0)，gf，g(0)g0.又函数g(x)在上的图象连续不断，存在x0，使g(x0)0，即f(x0)x0.能力提升8.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x23x，则函数g(x)f(x)x3的零点的集合为()A.1，3 B.3，1，1，3C.2，1，3 D.2，1，3解析设x0，所以f(x)f(x)(x)23(x)x23x.求函数g(x)f(x)x3的零点等价于求方程f(x)3x的解.当x0时，x23x3x，解得x13，x21；当x0时，x23x3x，解得x32.故选D.答案D9.已知函数f(x)函数g(x)3f(2x)，则函数yf(x)g(x)的零点的个数为()A.2 B.3 C.4 D.5解析当x2，所以f(x)2|x|2x，f(2x)x2，此时函数f(x)g(x)f(x)f(2x)3x2x1的小于零的零点为x；当0x2时，f(x)2|x|2x，f(2x)2|2x|x，此时函数f(x)g(x)2xx31无零点；当x2时，f(x)(x2)2，f(2x)2|2x|4x，此时函数f(x)g(x)(x2)24x3x25x5大于2的零点为x.综上可得函数yf(x)g(x)的零点的个数为2，故选A.答案A10.已知函数f(x)且函数F(x)f(x)xa有且仅有两个零点，则实数a的取值范围是_.解析由F(x)f(x)xa0得f(x)xa.设yf(x)，yxa，作出函数f(x)的图象，当yx1时，直线yx1与yf(x)有两个交点，所以要使F(x)f(x)xa有且仅有两个零点，则有a1，即实数a的取值范围是(，1.答案(，111.某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表所示：销售单价/元6789101112日均销售量/桶480440400360320280240请根据以上数据作出分析，这个经营部为获得最大利润，定价应为_元.解析设在进价基础上增加x元后，日均销售利润为y元，日均销售量为48040(x1)52040x(桶)，则y(52040x)x20040x2520x200，0x13.当x6.5时，y有最大值.所以只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润.答案11.512.若函数f(x)4x2x1b(bR).(1)若函数f(x)有零点，求实数b的取值范围；(2)若函数f(x)有零点，试讨论零点的个数，并求出函数的零点.解(1)令f(x)0，得b4x2x1.4x2x1(2x)222x(2x1)211.当函数f(x)存在零点时，b1.(2)由(1)知当b1时，2x1，此时方程f(x)0的根为x0，因此函数f(x)的零点为0；当b1时，(2x1)21b，2x1.2x1.2x0，10.2x1的解为xlog2(1).令10，得1，故1b0.当1b0时，2x1的解为xlog2(1).综上知，当1b0时，函数f(x)的零点有两个，分别为xlog2(1)或xlog2(1)；当b0时，函数f(x)的零点只有一个，为xlog2(1)；当b1时，函数f(x)的零点只有一个，为x0.13.(选做题)某上市股票在30天内每股的交易价格P(元)与时间t(天)组成有序数对(t，P)，点(t，P)落在图中的两条线段上；该股票在30天内的日交易量Q(万股)与时间t(天)的部分数据如下表所示：第t天4101622Q(万股)36302418(1)根据提供的图象，写出该种股票每股交易价格P(元)与时间t(天)所满足的函数关系式；(2)根据表中数据确定日交易量Q(万股)与时间t(天)的一次函数关系式；(3)用y表示该股票日交易额(万元)，写出y关于t的函数关系式，并求在这30天中第几天日交易额最大，最大值是多少？解(1)由