理论力学非惯性参考系.ppt

第五章 非惯性参考系,5.1 不同参考系之间速度和加速度的变换 固定坐标 惯性系 动坐标系 非惯性系 动坐标系： A = Ax i + Ay j + Az k 固定坐标： dA/dt = dAx/dt i + dAy /dt j + dAz/dt k 动坐标 + Axdi/dt +Aydj /dt +Azdk /dt 动相对固定,动坐标系：A = Ax i + Ay j + Az k 固定坐标：dA/dt = dAx/dt i + dAy /dt j + dAz/dt k + Axdi/dt +Aydj /dt +Azdk /dt 讨论 (1) 仅有转动(角速度相对固定坐标系） dr/dt = r di /dt = i , dj /dt = j , dk /dt = k . 记 A/dt = dAx/dt i + dAy /dt j + dAz/dt k 则有: dA/dt = A /t +A 转动参考系算符变换：d/dt = /t +,例: 质点的位置矢量 r ，求 v ， a 。 解： v = dr /dt = r /t +r = v 相+ v 牵 a = d2r /dt2 = d(r /t +r ) /dt = (r/t +r) /t +(r /t +r) =2r /t2 +(r) /t +(r /t) + (r ) =2r /t2 +(/t )r + (r ) + 2(r /t) = a 相 + a 牵 + a 科 a 相 = 2r /t2 a 牵 = (/t )r + (r ) a 科 = 2(r /t),dA /dt = A /t +A 运算公式：A B C = B (A C ) (A B) C (r ) = (r ) - 2 r = 2 (OB - OP) = -2 R 对于角速度，角加速度为 = d/dt = /t + = /t 说明角加速度与坐标系无关。,例： 一等腰直角三角形OAB 在其自身平面内以匀角速绕 O 转动。P 点以匀相对速度沿AB边运动，当三角形转一周时， P 点走过AB，如AB=b，试求P点在A 时的绝对速度与绝对加速度。,(2) 平动 + 转动 固定坐标系中位矢 rI 与动坐标系 r 之间关系: rI = R + r d2rI /dt2= d2R /dt2 + d2r /dt2 = d2R /dt2 + 2r /t2 + (/t ) r +(r ) +2(r /t) 或 a = a平 + a相 +r -2 R + 2v相 若等角加速度转动= 0，无平动加速度 a平 = 0，则：a = a -2 R + 2v,5.2 非惯性系中的动力学方程 惯性力,惯性系中： m d2rI /dt2 = F 非惯性系： m2r/t2 =F -md2R /dt2+r +(r) +2v = Feff 1、平移力 - md2R /dt2 动系平动加速 2、方位力 - m r 动系转动加速 3、惯性离心力 - m ( r ) 动系相对固定系转动 4、科里奥利力 - 2m v 质点相对动系运动,例：在光滑水平直管中有一质量为 m 的小球。此管以匀角速绕通过其一端的竖直轴转动。开始时，球距转动轴的距离为 a , 球相对管的速率为零，而的总长为 2a 。,求：(1) 球刚离开管口时的相对速度与绝对速度； (2) 球从开始运动到离开管口时所需时间。,(1) 球刚离开管口时的相对速度与绝对速度；,(2) 球从开始运动到离开管口时所需时间,可证明，引入非惯性力 ，质点动量定理、角动量定理和动能定理的形式都保持不变。,例：角动量定理 ： L / t = (r mv) / t = (r)/t mv + r mv/ t = r ( F + F惯性) 动能定理: m v/ t = F + F惯性 m v r / t = (F + F惯性 ) r m v v = (F + F惯性 ) r (mv2/2) = (F + F惯性 ) r 即: T = (F + F惯性 ) r,拉格朗日方程导出惯性力,5.3 拉格朗日函数的不确定性 非惯性系中的拉格朗日函数,1、若两个拉格朗日函数 L1 和 L2 只相差一函数f(q,t)的全微商df/dt，则L1 和 L2 是等价的。 证明：设 L2 = L1 + df(q,t) /dt，只要证明由L1 和 L2 所得出的运动方程相同即可。考虑体系只有一个广义坐标。,2、非惯性系中的拉格朗日函数,设有三个参考系：S为惯性系， S1为相对S以vo(t)作平动， S 与S1有共同原点，但相