离散数学第七章关系-集合的笛卡尔积集.ppt

目录（集合论）,第六章 集合（4学时） 第七章 关系（8学时） 第八章 函数与集合的势（5学时）,第七章 关系,7.1 集合的笛卡尔积集 7.2 二元关系的基本概念 7.3 二元关系的性质 7.4 二元关系的闭包运算 7.5 等价关系和集合的划分 7.6 偏序关系和格 7.7 链与反链,7.1 集合的笛卡尔积集,定义1 a和b是两个元素，把a作为第一个元素，把b作为第二个元素，按这个顺序排列的一个二元组叫有序二元组, 简称有序对， 记为: （a，b）,特点： (1) 当ab时，（a，b）（b，a）； (2) 两个有序二元组相等，即（a，b）（x，y）的充分必要条件是 ax 且b=y。,笛卡尔积集,定义：设A和B是两个集合，存在一个集合，它的元素是用A中元素为第一元素，B中元素为第二元素构成的有序二元组。称它为集合A和B的笛卡尔积集，记为 AB 。即 AB(a,b)aA,bB。,例 A=1,2， B=a,b,c, AB(1,a), (1,b), (1,c), (2,a), (2,b), (2,c),笛卡尔 Ren Descartes（15961650）,著名的法国哲学家、数学家、物理学家，解析几何学奠基人之一。在今天，巴黎安葬民族先贤的圣日耳曼圣心堂中，庄重的大理石墓碑上镌刻着“笛卡尔，欧洲文艺复兴以来，第一个为人类争取并保证理性权利的人”。,笛卡儿的著作，无论是数学、自然科学，还是哲学，都开创了这些学科的崭新时代。几何学是他公开发表的唯一数学著作，虽则只有117页，但它标志着代数与几何的第一次完美结合，使形形色色的代数方程表现为不同的几何图形，许多相当难解的几何题转化为代数题后能轻而易举地找到答案.,笛卡尔积集的性质,性质1若A和B有一个是空集，则它们的笛卡尔积集是空集，即 B=A= 性质2当AB，且A和B均不是空集时，有 ABBA 性质3当A，B，C均不是空集时，有 (AB) CA(BC),(a,b),c)(a,(b,c),尚未定义(a,b,c),例 求证： A(BC)=(AB) (AC),思路: 要分别证明 A(BC)(AB)(AC) (AB)(AC) A(BC),例 求证： A(BC)=(AB) (AC),证明：对于任意的x，y， 若(x,y) A(BC)，即有xA且 yB或C. 若yB, 则 (x,y) AB； 若yC, 则 (x,y) AC ， 所以(x,y) (AB) (AC)，故 A(BC)(AB)(AC). 对于任意的x，y，若(x,y) (AB) (AC)， 即(x,y)AB, 或 (x,y) AC. 若(x,y)AB，则xA且 yB； 若(x,y)AC，则xA且 yC。 所以xA且 yBC, 得(x,y)A(BC)，故 (AB)(AC) A(BC). 综上可知， A(BC)=(AB) (AC) 。,例2 A，B，C，D为任意集合，判断等式 (AB)(CD)=(AC) (BD) 是否成立。,答：不成立。 若A=D=，B=C=a，则 (AB)(CD)=BC=(a,a) (AC) (BD)=,有序 n元组,定义3 一个有序n(n3) 元组是一个有序二元组，其中第一个元素是一个有序 (n-1)元组，记为 （a1,a2,an-1,an ）,笛卡尔积集,定义4 设A1，A2，An 是 n(2)个集合，这n个集合的笛卡尔积集记作 A1A2An， 即 A1An(a1,a2,an) a1A1,anAn 当 A1A2An时, 记之为An, 即 An= AAA,第七章 关系,7.1 集合的笛卡尔积