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文档简介

- 1 -,第三节 泰勒公式,一 泰勒公式 二 几个常用函数麦克劳林公式 三 泰勒公式应用举例,- 2 -,一 泰勒公式,1 问题的提出,则有,则有,- 3 -,不足:,问题:,1、精确度不高；,2、误差不能估计。,为多项式函数:,误差,必须,- 4 -,即,所以,称,为,在,处的泰勒(Taylor)多项式。,- 5 -,例如,取,问题：,用,代替,误差是多少？,即,是什么？,- 6 -,定理1 泰勒(Taylor)中值定理,其中,(,在,与,之间).,上式称为,在,处具有拉格朗日余项的,阶泰勒公式，,3 泰勒公式,- 7 -,称为,在,阶拉格朗日余项.,处,证,且,因此,- 8 -,函数,及,在以,及,的区间上满足柯西中值定理的条件,为端点,因此,- 9 -,则由上式得,注意:,因此拉格朗日余项又可写为,- 10 -,(3) 当,时,具有拉格朗日余项的泰勒公式为,其中,或,(4),当,时，,- 11 -,定理2,其中,阶佩亚偌余项.,称为,在,处,- 12 -,例1 求,的三阶麦克劳林展开式,解,（带拉格朗日余项）.,因此,- 13 -,例2 求函数,在,二、四阶泰勒展式(带拉格朗日余项).,处的,解,二阶泰勒展式为,四阶泰勒展式为,- 14 -,例3 求函数,的三阶麦克劳林公式（带,佩亚诺余项）。,解,三阶麦克劳林公式为,- 15 -,二 几个常用函数的麦克劳林公式,- 16 -,- 17 -,- 18 -,- 19 -,- 20 -,特别,- 21 -,三 泰勒公式应用举例,1 近似计算,解,取,- 22 -, 利用泰勒公式求极限,解,麦克劳林展式为,- 23 -,例6 问当,时，,是,的几阶无穷小?,解,例7 求极限,解,原式,- 24 -, 利用泰勒公式求高阶
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