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文档简介

5 从力做的功到向量的数量积,如果物体在力F下产生位移S,则可得力F 所做的功,a,b,两个非零向量的夹角的定义：,我们规定零向量可与任一向量垂直.,如图，OA=a,OB=b,过点B作BB1OA于B1,B1,则OB1=|b|cos,|b|cos叫作向量b在a方向上的射影,射影的定义,当为锐角时,|b|cos0,当为钝角时,|b|cos0,当为直角时,|b|cos=0,已知两个非零向量a和b,它们的夹角为,我们把|a|b|cos 叫作向量a和b的数量积(或内积).记作ab,a b= |a| |b| cos ,向量的数量积的几何意义：,向量a与b的数量积等于a的长度|a|与b在a方向上射影|b|cos的乘积,或b的长度|b|与a在b方向上射影|a|cos的乘积.,当两个向量相等时,两个向量的数量积等于向量长度的平方:,当两个向量都是单位向量时,它们的数量积等于它们夹角的余弦值:,向量的数量积的物理意义：,如果力对物体做功,就是力F与其作用下物体的位移s的数量积Fs.,解 ab= |a| |b|cos,=34cos150,例1 已知|a|=3,|b|=4,且a与b的夹角=150 ,求ab,例2 在三角形ABC,设边BC,CA,AB的长度分别为a,b,c,证明:,a2=b2+c2-2bccosA b2=c2+a2-2cacosB c2=a2+b2-2abcosC,A,B,C,a,b,c,同理可证其他二式.我们把这个结果称为余弦定理.,证明 如图,设 ,则,例3 证明菱形的两条对角线互相垂直.,A,B,C,D,O,证明 菱形ABCD中,AB=AD,即菱形的两条对角线互相垂直.,例4 已知单位向量e1,e2的夹角为60 ,求向量a= e1+e2, b=e2-2e1夹角.,解 由单位向量e1,e2的夹角为60 ,得,e1e2 =,由 可得,又 |a|2=|e1+e2|2=|e1|2+2 e1 e2 +|e2|2=3,|b|2=|e2-2e1|2=4|e1|2-4 e1 e2 +|e2|2=3,所以 |a|=|b|=,又0,所以=120,（1）,（5）若 ，则对于任一非零 有,（2）,（3）,（7）对于任意向量 都有,（6）若 ，则 至少有一个为,判断下列命题是否正确：,公式变形,对功W=|F|s|cos结构分析,抽象,平面向量数量积的定义a b=| a | | b | cos ,特殊化,五条重要性质,数形,结合,几何意义,小结,（1）向量的数量积的
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