2018届高三数学一轮复习平面解析几何第五节椭圆课件理.pptx

理数 课标版,第五节 椭圆,1.椭圆的定义 平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹 叫做 椭圆 .这两个定点叫做椭圆的 焦点 ,两焦点间的距离 叫做椭圆的 焦距 . 集合P=M|MF1|+|MF2|=2a,|F1F2|=2c,其中a0,c0,且a,c为常数.,教材研读,(1)若 ac ,则集合P表示椭圆; (2)若 a=c ,则集合P表示线段; (3)若 ac ,则集合P为空集.,2.椭圆的标准方程和几何性质,3.点P(x0,y0)和椭圆的位置关系 (1)P(x0,y0)在椭圆内 + 1.,判断下面结论是否正确.(请在括号中打“”或“”) (1)平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆. () (2)椭圆既是轴对称图形,又是中心对称图形. (),(3)方程mx2+ny2=1(m0,n0,mn)表示的曲线是椭圆. () (4) + =1(ab0)与 + =1(ab0)的焦距相同. (),1.已知F1,F2是椭圆 + =1的两个焦点,过点F2的直线交椭圆于A,B两 点.在AF1B中,若有两边之和是10,则第三边的长度为 ( ) A.6 B.5 C.4 D.3 答案 A 根据椭圆的定义,知AF1B的周长为4a=16,故所求的第三边 的长度为16-10=6.,2.椭圆x2+my2=1(m0)的焦点在y轴上,长轴长是短轴长的2倍,则m等于 ( ) A. B.2 C.4 D. 答案 D 由x2+ =1(m0)及题意知,2 =221,解得m= ,故选D.,3.(2016课标全国,5,5分)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭 圆中心到l的距离为其短轴长的 ,则该椭圆的离心率为 ( ) A. B. C. D. 答案 B 如图,|OB|为椭圆中心到l的距离,则|OA|OF|=|AF|OB|,即bc= a ,所以e= = .故选B.,4.设e是椭圆 + =1的离心率,且e= ,则实数k的值是 . 答案 或 解析 当k4时,有e= = ,解得k= ;当0k4时,有e= = ,解得 k= .故实数k的值为 或 .,5.已知椭圆的一个焦点为F(1,0),离心率为 ,则椭圆的标准方程为 . 答案 + =1 解析 设椭圆的标准方程为 + =1(ab0), 结合椭圆的一个焦点为F(1,0),离心率e= ,得 解得 故椭圆的标准方程为 + =1.,考点一 椭圆的定义及标准方程,考点突破,典例1 (1)若直线x-2y+2=0经过椭圆的一个焦点和一个顶点,则该椭圆 的标准方程为 ( ) A. +y2=1 B. + =1 C. +y2=1或 + =1 D.以上答案都不对 (2)已知两圆C1:(x-4)2+y2=169,C2:(x+4)2+y2=9,动圆在圆C1内部且和圆C1相 内切,和圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为 ( ) A. - =1 B. + =1 C. - =1 D. + =1,(3)F1,F2是椭圆 + =1的两个焦点,A为椭圆上一点,且AF1F2=45,则 AF1F2的面积为 ( ),A.7 B. C. D. 答案 (1)C (2)D (3)C 解析 (1)直线与坐标轴的交点分别为(0,1),(-2,0),由题意知当焦点在x轴 上时,c=2,b=1,所以a2=5,所求椭圆的标准方程为 +y2=1.当焦点在y轴上 时,b=2,c=1,所以a2=5,所求椭圆的标准方程为 + =1. (2)设圆M的半径为r,则|MC1|+|MC2|=(13-r)+(3+r)=16,又|C1C2|=816,动 圆圆心M的轨迹是以C1、C2为焦点的椭圆,且2a=16,2c=8,则a=8,c=4,b2 =48,故所求的轨迹方程为 + =1.,(3)由题意得a=3,b= ,c= , |F1F2|=2 ,|AF1|+|AF2|=6.,|AF2|2=|AF1|2+|F1F2|2-2|AF1|F1F2|cos 45=|AF1|2-4|AF1|+8,(6-|AF1|)2=|AF1|2-4|AF1|+8. |AF1|= . = 2 = .,方法技巧 (1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法,利用椭圆的定义定形状 时,一定要注意常数2a|F1F2|这一条件. (2)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法.具体过程是先定形,再定 量,即首先确定焦点所在位置,然后根据条件建立关于a,b的方程组.如果 焦点位置不确定,那么要考虑是否有两解.有时为了解题方便,也可把椭 圆方程设成mx2+ny2=1(m0,n0,mn)的形式.,1-1 已知椭圆C: + =1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2,离心率 为 ,过F2的直线l交C于A、B两点.若AF1B的周长为4 ,则C的方程 为 ( ),A. + =1 B. +y2=1 C. + =1 D. + =1 答案 A 由题意及椭圆的定义知4a=4 ,则a= ,又 = = ,c= 1,b2=2,C的方程为 + =1,选A.,1-2 (2014安徽,14,5分)设F1、F2分别是椭圆E:x2+ =1(00). 又|AF1|=3|F1B|,由 =3 得B ,代入x2+ =1得 + =1,又c2=1-b2,b2= .故椭圆E的方程为x2+ y2=1.,1-3 已知F1、F2是椭圆C: + =1(ab0)的两个焦点,P为椭圆C上的 一点,且 .若PF1F2的面积为9,则b= . 答案 3 解析 |PF1|+|PF2|=2a, , |PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2,(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|PF2|=4c2,2|PF1|PF2|=4a2-4c2=4b2,|PF1|PF2|=2b2, = |PF1|PF2|= 2b2=b2=9. b=3.,考点二 椭圆的几何性质 典例2 (1)已知椭圆 + =1(ab0)的一个焦点是圆x2+y2-6x+8=0的圆 心,且短轴长为8,则椭圆的左顶点为 ( ) A.(-3,0) B.(-4,0) C.(-10,0) D.(-5,0) (2)(2016课标全国,11,5分)已知O为坐标原点,F是椭圆C: + =1 (ab0)的左焦点,A,B分别为C的左,右顶点.P为C上一点,且PFx轴.过 点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中 点,则C的离心率为 ( ) A. B. C. D.,答案 (1)D (2)A 解析 (1)圆的标准方程为(x-3)2+y2=1, 圆心坐标为(3,0),c=3.又b=4,a= =5. 椭圆的焦点在x轴上,椭圆的左顶点为(-5,0). (2)由题意知过点A的直线l的斜率存在且不为0,故可设直线l的方程为y= k(x+a),当x=-c时,y=k(a-c),当x=0时,y=ka,所以M(-c,k(a-c),E(0,ka).如图,设 OE的中点为N,则N ,由于B,M,N三点共线,所以kBN=kBM,即 = ,所以 = ,即a=3c,所以e= .故选A.,方法技巧 求椭圆离心率的常用方法: (1)直接求出a,c,利用定义求解; (2)构造a,c的齐次式,解出e.由已知条件得出关于a,c的二元齐次方程,然 后转化为关于离心率e的一元二次方程求解; (3)通过特殊值或特殊位置求出离心率.,2-1 (2016福建泉州质检)已知椭圆 + =1的长轴在x轴上,焦距 为4,则m等于 ( ) A.8 B.7 C.6 D.5 答案 A 椭圆 + =1的长轴在x轴上, 解得6m10.,焦距为4,c2=m-2-10+m=4,解得m=8.,2-2 已知F1,F2分别是椭圆C: + =1(ab0)的左、右焦点,若椭圆C 上存在点P,使得线段PF1的中垂线恰好经过焦点F2,则椭圆C的离心率的 取值范围是 ( ) A. B. C. D. 答案 C 如图所示,线段PF1的中垂线经过F2, |PF2|=|F1F2|=2c,即椭圆上存在一点P, 使得|PF2|=2c. a-c2c, ,又0e1,e= .,考点三 直线与椭圆的位置关系 典例3 (2016天津,19,14分)设椭圆 + =1(a )的右焦点为F,右顶 点为A.已知 + = ,其中O为原点,e为椭圆的离心率. (1)求椭圆的方程; (2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上),垂直于l的直线与l交于 点M,与y轴交于点H.若BFHF,且MOAMAO,求直线l的斜率的取 值范围. 解析 (1)设F(c,0),由 + = ,即 + = ,可得a2-c2=3c2,又 a2-c2=b2=3,所以c2=1,因此a2=4,所以,椭圆的方程为 + =1. (2)设直线l的斜率为k(k0),则直线l的方程为y=k(x-2).,设B(xB,yB),由方程组 消去y,整理得(4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0. 解得x=2或x= , 由题意得xB= ,从而yB= . 由(1)知,F(1,0),设H(0,yH), 有 =(-1,yH), = . 由BFHF,得 =0, 所以 + =0,解得yH= . 因此直线MH的方程为y=- x+ .,设M(xM,yM), 由方程组 消去y,解得xM= . 在MAO中,MOAMAO|MA|MO|,即(xM-2)2+ + ,化简 得xM1,即 1,解得k- 或k . 所以,直线l的斜率的取值范围为 .,方法技巧 (1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题,其常规思路是先把直线方 程与椭圆方程联立,消元,然后应用根与系数的关系建立方程,解决相关 问题,涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决. (2)设直线与椭圆的交点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),则 |AB|= = (k为直线斜率,k0). 提醒:利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行 的,不要忽略判别式.,3-1 (2016贵州贵阳适应性考试)已知椭圆G: + =1(ab0)的两焦点 分别为F1,F2,其离心率为 ,椭圆G上一点M满足 =0,且MF1F2 的面积为1. (1)求椭圆G的方程; (2)过椭圆G长轴上的点P(t,0)的直线l与圆O:x2+y2=1相切于点Q(P与Q不 重合),交椭圆G于A,B两点.若|AQ|=|BP|,求实数t的值. 解析 (1)由 =0得MF1MF2, 所以|MF1|2+|MF2|2=|F1F2|2=4(a2-b2), 由椭圆的定义得|MF1|+|MF2|=2a, 即|MF1|2+|MF2|2+2|MF1|MF2|=4a2, 联立,可得|MF1|MF2|=2b2,所以 = |MF1|MF2|=b2,则b2=1, 由e= 得 = ,解得a2=4. 所以椭圆G的方程为 +y2=1. (2)由题可知线段AB与PQ的中点重合. 显然t0,直线l的斜率存在且不为零,所以设直线