2018届高三数学复习立体几何第四节直线平面垂直的判定与性质课件理.pptx

理数 课标版,第四节 直线、平面垂直的判定与性质,1.直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义 直线l与平面内的 任意一条 直线都垂直,就说直线l与平面互相 垂直. (2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理,教材研读,2.直线与平面所成的角,(1)定义:平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的 锐角 ,叫 做这条直线和这个平面所成的角.一条直线垂直于平面,就说它们所成的 角是直角;一条直线和平面平行,或在平面内,就说它们所成的角是0的角. 如图所示, PAO 就是斜线AP与平面所成的角.,(2)线面角的范围: .,3.二面角的有关概念 (1)二面角:从一条直线出发的 两个半平面 所组成的图形叫做二 面角. (2)二面角的平面角:以二面角的棱上任一点为端点,在两个半平面内分 别作 垂直于棱 的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的 平面角.,4.平面与平面垂直的判定定理,1.(2016浙江,2,5分)已知互相垂直的平面,交于直线l.若直线m,n满足m ,n,则 ( ) A.ml B.mn C.nl D.mn 答案 C 对于A,m与l可能平行或异面,故A错;对于B、D,m与n可能平 行、相交或异面,故B、D错;对于C,因为n,l,所以nl,故C正确.故 选C.,2.已知直线a,b和平面,且ab,a,则b与的位置关系为( ) A.b B.b C.b或b D.b与相交 答案 C 由ab,a知b或b,但直线b不与平面相交.,3.如图,O为正方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD的中心,则下列直线中与 B1O垂直的是 ( ) A.A1D B.AA1 C.A1D1 D.A1C1 答案 D 易知AC平面BB1D1D. A1C1AC,A1C1平面BB1D1D. 又B1O平面BB1D1D,A1C1B1O,故选D.,4.一平面垂直于另一平面的一条平行线,则这两个平面的位置关系是 . 答案 垂直 解析 由线面平行的性质定理知,若一直线平行于一平面,则该面内必 有一直线与已知直线平行,再根据“两平行线中一条垂直于一平面,另 一条也垂直于该平面”得出结论.,5.如图,已知PA平面ABC,BCAC,则图中直角三角形的个数为 . 答案 4 解析 题图中直角三角形为PAC、PAB、BCP、BCA,故直角 三角形的个数为4.,考点一 直线与平面垂直的判定与性质 典例1 如图,在四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,ABAD,ACCD, ABC=60,PA=AB=BC,E是PC的中点. (1)证明:CDAE; (2)证明:PD平面ABE.,考点突破,证明 (1)在四棱锥P-ABCD中, PA底面ABCD,CD平面ABCD,PACD. ACCD,PAAC=A, CD平面PAC. 而AE平面PAC,CDAE. (2)由PA=AB=BC,ABC=60,可得AC=PA. E是PC的中点,AEPC. 由(1)知,AECD,且PCCD=C,AE平面PCD. 而PD平面PCD,AEPD. PA底面ABCD,PD在底面ABCD内的射影是AD, 又ABAD,ABPD. 又ABAE=A,PD平面ABE.,方法技巧 证明直线与平面垂直的常用方法 (1)利用线面垂直的判定定理. (2)利用“两平行线中的一条与一平面垂直,则另一条也与这个平面垂 直”. (3)利用“一条直线垂直于两个平行平面中的一个,则该直线与另一个 平面也垂直”. (4)利用面面垂直的性质定理. 1-1 S是RtABC所在平面外一点,且SA=SB=SC,D为斜边AC的中点. (1)求证:SD面ABC; (2)若AB=BC,求证:BD面SAC.,证明 (1)如图所示,取AB的中点E,连接SE,DE, 在RtABC中,D、E分别为AC、AB的中点, DEBC,DEAB, SA=SB, SAB为等腰三角形,SEAB. 又SEDE=E,AB面SDE.又SD面SDE,ABSD. 在SAC中,SA=SC,D为AC的中点,SDAC. 又ACAB=A,SD面ABC. (2)由于AB=BC,则BDAC, 由(1)知,SD面ABC,又BD面ABC,SDBD, 又SDAC=D,BD面SAC.,考点二 平面与平面垂直的判定与性质 典例2 (2016天津,17改编)如图,四边形ABCD是平行四边形,平面AED 平面ABCD,EFAB,AB=2,BC=EF=1,BAD=60,G为BC的中点. (1)求证:FG平面BED; (2)求证:平面BED平面AED.,证明 (1)取BD的中点O,连接OE,OG.在BCD中,因为G是BC的中点,所 以OGDC且OG= DC=1,又因为EFAB,ABDC,EF=1,所以EFOG 且EF=OG,即四边形OGFE是平行四边形,所以FGOE. 又FG平面BED,OE平面BED, 所以FG平面BED.,(2)在ABD中,AD=1,AB=2,BAD=60,由余弦定理可得BD= ,进而 ADB=90,即BDAD.又因为平面AED平面ABCD,BD平面ABCD, 平面AED平面ABCD=AD,所以BD平面AED.又因为BD平面BED, 所以平面BED平面AED.,方法技巧 面面垂直的证明方法 (1)定义法:利用面面垂直的定义,即判定两平面所成的二面角为直二面 角,将证明面面垂直问题转化为证明二面角的平面角为直角的问题. (2)定理法:利用面面垂直的判定定理,即证明其中一个平面经过另一个 平面的一条垂线,进而把问题转化成证明线线垂直加以解决.,2-1 如图所示,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD平面ABCD,ABDC, PAD是等边三角形,已知AD=4,BD=4 ,AB=2CD=8. (1)设M是PC上的一点,证明:平面MBD平面PAD; (2)求四棱锥P-ABCD的体积.,解析 (1)证明:在ABD中, AD=4,BD=4 ,AB=8,AD2+BD2=AB2. ADBD. 又平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,BD平面ABCD, BD平面PAD. 又BD平面MBD,平面MBD平面PAD. (2)过点P作POAD于O, 平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD, PO平面ABCD. 即PO为四棱锥P-ABCD的高.,又PAD是边长为4的等边三角形,PO=4 =2 . 在RtADB中,斜边AB上的高为 =2 ,此即为梯形ABCD的高. S梯形ABCD= 2 =12 .,VP-ABCD= 12 2 =24.,考点三 平行与垂直的综合问题 命题角度一 平行与垂直关系的证明 典例3 (2016江苏,16,14分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为 AB,BC的中点,点F在侧棱B1B上,且B1DA1F,A1C1A1B1.求证: (1)直线DE平面A1C1F; (2)平面B1DE平面A1C1F.,证明 (1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C1AC. 在ABC中,因为D,E分别为AB,BC的中点, 所以DEAC,于是DEA1C1. 又因为DE平面A1C1F,A1C1平面A1C1F,所以直线DE平面A1C1F. (2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A平面A1B1C1. 因为A1C1平面A1B1C1,所以A1AA1C1. 又因为A1C1A1B1,A1A平面ABB1A1,A1B1平面ABB1A1,A1AA1B1=A1, 所以A1C1平面ABB1A1. 因为B1D平面ABB1A1,所以A1C1B1D. 又因为B1DA1F,A1C1平面A1C1F,A1F平面A1C1F,A1C1A1F=A1, 所以B1D平面A1C1F. 因为直线B1D平面B1DE,所以平面B1DE平面A1C1F.,命题角度二 平行与垂直关系中的探索性问题 典例4 如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是矩形,AD=2AB,SA=SD, SAAB,N是棱AD的中点. (1)求证:AB平面SCD; (2)求证:SN平面ABCD; (3)在棱SC上是否存在一点P,使得平面PBD平面ABCD?若存在,求出 的值;若不存在,请说明理由.,解析 (1)证明:因为ABCD是矩形,所以ABCD, 又因为AB平面SCD,CD平面SCD, 所以AB平面SCD. (2)证明:因为ABSA,ABAD,SAAD=A, 所以AB平面SAD, 又因为SN平面SAD, 所以ABSN. 因为SA=SD,且N为AD的中点, 所以SNAD. 又因为ABAD=A, 所以SN平面ABCD.,(3)在棱SC上存在一点P,使得平面PBD平面ABCD. 理由:如图,连接BD交NC于点F,在SNC中,过F作FPSN,交SC于点P, 连接PB,PD. 因为SN平面ABCD, 所以FP平面ABCD. 又因为FP平面PBD,所以平面PBD平面ABCD. 在矩形ABCD中,因为NDBC,且N为AD的中点, 所以 = = . 在SNC中,因为FPSN, 所以 = = . 所以在棱SC上存在一点P,使得平面PBD平面ABCD,此时 = .,命题角度三 平行与垂直关系中的折叠问题 典例5 (2016课标全国,19,12分)如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交 于点O,点E,F分别在AD,CD上,AE=CF,EF交BD于点H.将DEF沿EF折 到DEF的位置. (1)证明:ACHD; (2)若AB=5,AC=6,AE= ,OD=2 ,求五棱锥D-ABCFE的体积.,解析 (1)证明:由已知得ACBD,AD=CD. 又由AE=CF得 = ,故ACEF. (2分) 由此得EFHD,EFHD,所以ACHD. (4分) (2)由EFAC得 = = . (5分) 由AB=5,AC=6得DO=BO= =4. 所以OH=1,DH=DH=3. 于是OD2+OH2=(2 )2+12=9=DH2,故ODOH. 由(1)知ACHD,又ACBD,BDHD=H,所以AC平面BHD,于是AC OD. 又由ODOH,ACOH=O,所以OD平面ABC. (8分),又由 = 得EF= . 五边形ABCFE的面积S= 68- 3= . (10分) 所以五棱锥D-ABCFE的体积V= 2 = . (12分),方法技巧 平行与垂直的综合应用问题的处理策略 (1)探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明,探索点存 在问题,点多为中点或三等分点中的某一个,也可以根据相似知识取点. (2)折叠问题中的平行与垂直关系的处理关键是结合图形弄清折叠前后 变与不变的数量关系及位置关系. 3-1 如图,在四棱锥P-ABCD中,ABCD,ABAD,CD=2AB,平面PAD 底面ABCD,PAAD.E和F分别是CD和PC的中点.求证: (1)PA底面ABCD; (2)BE平面PAD; (3)平面BEF平面PCD.,证明 (1)因为平面PAD底面ABCD,且PA垂直于这两个平面的交线 AD,所以PA底面ABCD. (2)因为ABCD,CD=2AB, E为CD的中点, 所以ABDE,且AB=DE. 所以四边形ABED为平行四边形. 所以BEAD. 又因为BE平面PAD,AD平面PAD, 所以BE平面PAD. (3)因为ABAD,且四边形ABED为平行四边形, 所以BECD,ADCD.,由(1)知PA底面ABCD, 所以PACD, 又PAAD=A, 所以CD平面PAD. 所以CDPD. 因为E和F分别是CD和PC的中点, 所以PDEF, 故CDEF. 又因为EF平面BEF,BE平面BEF,且EFBE=E, 所以CD平面BEF. 又因为CD平面PCD, 所以平面BEF平面PCD.,3-2 如图,在长方形ABCD中,AB=2,BC=1,E为CD的中点,F为AE的中点. 现在沿AE将三角形ADE向上折起,在折起的图形中解答下列问题: (1)在线段AB上是否存在一点K,使BC平面DFK?若存在,请证明你的结 论;若不存在,请说明理由; (2)若平面ADE平面ABCE,求证:平面