全国版高考数学第二章函数导数及其应用2.2函数的单调性与最值课件理.pptx

第二节 函数的单调性与最值,【知识梳理】 1.增函数、减函数,任意,f(x1)f(x2),f(x1),f(x2),2.单调性、单调区间的定义 若函数y=f(x)在区间D上是_或_,则称函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做函数y=f(x)的单调区间.,增函数,减函数,3.函数的最值,f(x)M,f(x)M,【特别提醒】 1.增函数、减函数定义的变式 设任意x1，x2a，b且x1x2，那么 (1) f(x)在a，b上是增函数. (2) f(x)在a，b上是减函数.,2.函数最值存在的两条结论 (1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值.当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到. (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大或最小值.,【小题快练】 链接教材 练一练 1.(必修1P39A组T3改编)函数y=(2m-1)x+b在R上是减函数，则( ) A.m B.m D.m,【解析】选B.使y=(2m-1)x+b在R上是减函数， 则2m-10，即,2.(必修1P31例4改编)函数f(x)= 在2,6上的最 大值和最小值分别是_. 【解析】函数f(x)= 在2,6 上单调递减，所以f(x)min=f(6)= f(x)max=f(2)= 答案：,感悟考题 试一试 3.(2016郑州模拟)已知函数y= (a,b是常 数)在区间 上有ymax=3,ymin= 则a2+b2=( ) A.2 B.10 C.8 D.5,【解析】选D.易知a2+11,令t(x)=x2+2x, 所以根据二次函数的性质得出:t-1，0， 所以函数y=b+(a2+1)t,t-1,0(a,b是常数)单调 递增， 所以ymax=b+1=3,ymin= 解得b=2,a2=1， 所以a2+b2=5.,4.(2016广州模拟)下列函数f(x)中，满足“x1, x2(0,+)且x1x2,(x1-x2)f(x1)-f(x2)0” 的是( ) A.f(x)=2x B.f(x)=|x-1| C.f(x)= D.f(x)=ln(x+1),【解析】选C.由(x1-x2)f(x1)-f(x2)0可知， f(x)在(0,+)上是减函数， A,D选项中，f(x)为增函数;B中，f(x)=|x-1|在(0,+) 上不单调， 对于f(x)= 因为 与y=-x在(0,+)上单调递 减，因此f(x)在(0,+)上是减函数.,5.(2016唐山模拟)已知函数f(x)= 若f(2-a2)f(a)，则实数a的取值范围是_. 【解析】由题意知f(x)= 由函数f(x)的图象可知f(x)在(-，+)上单调递增， 由f(2-a2)f(a)，得2-a2a，解得-2a1.,即实数a的取值范围是(-2，1). 答案：(-2，1),考向一 判断函数的单调性(区间) 【典例1】(1)(2016黄冈模拟)函数y=f(x)(xR)的图象如图所示,则函数g(x)=f(logax)(0a1)的单调递减区间是 ( ),(2)(2015上海高考改编)判断并证明函数f(x)=ax2+ (其中1a3)在x1,2上的单调性.,【解题导引】(1)根据函数的图象,利用复合函数的单调性的判断方法,确定函数的单调递减区间. (2)利用定义法或导数法进行判断.,【规范解答】(1)选B.由图象知f(x)在(-，0和 上单调递减，而在 上单调递增.又因为当 0a1时，y=logax为(0，+)上的减函数，所以要使 g(x)=f(logax)单调递减，需要logax 即 0logax 解得x,(2)设1x10，2x1+x24， 1x1x24，,又因为10， 从而f(x2)-f(x1)0， 即f(x2)f(x1)， 故当a(1,3)时，f(x)在1,2上单调递增.,【一题多解】因为f(x)= 而x1,2，所 以 又因为a(1,3)，所以20，故当a(1,3)时，f(x)在 1,2上单调递增.,【母题变式】1.若将本例题(1)中的“01”，则函数g(x)的单调递减区间如何？ 【解析】由典例1(1)解析知，需logax0或logax 解得x1或x 又因为x0，所以单调递减区间为 (0,1，,2.在本例题(1)中，将所求结论改为“若f(x)在 a,+)上是减函数，求a的取值范围”. 【解析】由图象知f(x)在(-,0和 上单调递 减，若f(x)在a,+)上是减函数，则a,+) 所以,【规律方法】 1.求复合函数y=f(g(x)的单调区间的步骤 (1)确定函数的定义域. (2)将复合函数分解成基本初等函数y=f(u),u=g(x). (3)分别确定这两个函数的单调区间. (4)若这两个函数同增同减,则y=f(g(x)为增函数;若一增一减,则y=f(g(x)为减函数,即“同增异减”.,2.利用定义法证明或判断函数单调性的步骤 (1)取值:设x1,x2是定义区间内的任意两个值,且x1x2. (2)作差、变形:作差f(x1)-f(x2)(或f(x2)-f(x1),并通过因式分解、配方、有理化等方法,向有利于判断差的符号的方向变形.,(3)定号:确定差f(x1)-f(x2)(或f(x2)-f(x1)的符号,当符号不确定时,可以进行分类讨论. (4)判断:根据定义作出结论.,易错提醒:1.单调区间是定义域的子集,故求单调区间应树立“定义域优先”的原则. 2.单调区间只能用区间表示,不能用集合或不等式表示;如有多个单调区间应分别写,不能用并集符号“”连接,也不能用“或”连接.,【变式训练】(2016厦门模拟)函数f(x)= 的单调递增区间为( ) A.(0,+) B.(-,0) C.(3,+) D.(-,-3),【解析】选D.函数f(x)= 的定义域为(-, -3)(3,+)，因为函数y=f(x)是由 与t=g(x) =x2-9复合而成，又因为 在(0,+)上单调递 减，g(x)在(-,-3)上单调递减，所以函数y=f(x)在 (-,-3)上单调递增.,【加固训练】 1.下列四个函数中，在(0，+)上为增函数的是( ) A.f(x)=3-x B.f(x)=x2-3x C.f(x)= D.f(x)=-|x|,【解析】选C.当x0时，f(x)=3-x为减函数； 当x 时，f(x)=x2-3x为减函数， 当x 时，f(x)=x2-3x为增函数； 当x(0，+)时，f(x)= 为增函数； 当x(0，+)时，f(x)=-|x|为减函数.,2.函数f(x)=-x2+2|x|+3的单调递减区间为 . 【解析】因为f(x)= 其图象如图所示， 所以函数y=f(x)的单调递减区间为 -1,0和1，+). 答案：-1,0和1，+),3.判断并证明函数f(x)= (其中a0)在x(-1,1)上的单调性.,【解析】方法一(定义法)：设-10，x1x2+10，(x12-1)(x22-1)0.,因此，当a0时，f(x1)-f(x2)0， 即f(x1)f(x2)，此时函数f(x)在(-1,1)上为减函数. 方法二(导数法)： f(x)= 又因为a0，所以f(x)0， 所以函数f(x)在(-1,1)上为减函数.,考向二 求函数的最值(值域) 【典例2】(1)函数y= 的最小值为_. (2)函数y= 的值域为_. 【解题导引】(1)利用换元法求解. (2)采用分离变量法，即将分子变为2(x2-x+1)+1的形式，转化后求解.,【规范解答】(1)令 t0，则x=t2+1， 所以y=t2+t+1= 当t0时，由二次函数的性质可知，当t=0时，ymin=1. 答案：1,(2) 因为x2-x+1= 所以 故值域为 答案：,【一题多解】解答本例题(2),你知道几种解法? 解答本题,还有以下解法: 去分母,整理,得(y-2)x2-(y-2)x+(y-3)=0. 当y2时,上式可看成是关于x的二次方程. 若方程有实根，则=-(y-2)2-4(y-2)(y-3)0， 解得,当y=2时，方程无解. 所以函数的值域为 答案：,【易错警示】解答本例题(1)会出现以下错误: 题目利用换元法求函数的最小值,易忽视换元后t的取值范围,从而造成求出的函数最小值缩小而致误.,【规律方法】求函数最值的五种常用方法 (1)单调性法:先确定函数的单调性,再由单调性求最值. (2)图象法:先作出函数的图象,再观察其最高点、最低点,求出最值. (3)基本不等式法:先对解析式变形,使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.,(4)导数法:先求导,然后求出在给定区间上的极值,最后结合端点值,求出最值. (5)换元法:对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数,再用相应的方法求最值.,【变式训练】用mina,b,c表示a,b,c三个数中的 最小值,则函数f(x)=min4x+1,x+4,-x+8的最大值 是 .,【解析】在同一坐标系中分别作出函数y=4x+1, y=x+4,y=-x+8的图象后,取位于下方的部分得函数f(x)=min4x+1,x+4,-x+8的图象,如图所示,由图象可知,函数f(x)在x=2时取得最大值6. 答案:6,【加固训练】 1.函数f(x)= 的值域为_.,【解析】当x1时，f(x)= 是单调递减的，此 时，函数的值域为(-,0；当x1时，f(x)=3x是单 调递增的，此时，函数的值域为(0,3). 综上，f(x)的值域是(-,3). 答案：(-,3),2.对于任意实数a，b，定义mina，b= 设函数f(x)=-x+3，g(x)=log2x，则函数h(x)= minf(x)，g(x)的最大值是_.,【解析】依题意，h(x)= 当0x2时，h(x)=log2x是增函数， 当x2时，h(x)=3-x是减函数， 所以h(x)在x=2时取得最大值h(2)=1. 答案:1,3.已知f(x)= x1，+). (1)当a= 时，求函数f(x)的最小值. (2)若对任意x1，+)，f(x)0恒成立，试求实数a的取值范围.,【解析】(1)当a= 时，f(x)= 任取1x1x2， 则f(x1)-f(x2)=(x1-x2)+ 因为1x1x2，所以x1x21， 2x1x2-10. 又因为x1-x20，所以f(x1)f(x2)，,所以f(x)在1，+)上是增函数， 所以f(x)在1，+)上的最小值为f(1)= (2)在区间1，+)上，f(x)= 0恒成立， 则 等价于a大于函数 (x)=-(x2+2x)在1，+)上的最大值.,只需求函数(x)=-(x2+2x)在1，+)上的最大值. (x)=-(x+1)2+1在1，+)上递减， 所以当x=1时，(x)最大值为(1)=-3. 所以a-3，故实数a的取值范围是(-3，+).,考向三 函数单调性的应用 【考情快递】,【考题例析】 命题方向1:比较函数值或自变量的大小 【典例3】(2016衡阳模拟)已知函数f(x)=log2x+ 若x1(1,2),x2(2,+),则 ( ) A.f(x1)0 C.f(x1)0,f(x2)0,f(x2)0,【解题导引】先判断f(x)的单调性，再应用单调性比 较大小. 【规范解答】选B.因为f(x)在(1,+)上是增函数， 且f(2)= 又x1(1,2),所以f(x1)f(2)=0.,命题方向2:解函数不等式 【典例4】(2016兰州模拟)f(x)是定义在(0,+)上的单调增函数,满足f(xy)=f(x)+f(y),f(3)=1,当f(x)+f(x-8)2时,x的取值范围是 ( ) A.(8,+) B.(8,9 C.8,9 D.(0,8),【解题导引】将f(x)+f(x-8)2变为f(x(x-8)f(9),利用函数的单调性求解.,【规范解答】选B.因为2=1+1=f(3)+f(3)=f(9)，由 f(x)+f(x-8)2，可得f(x(x-8)f(9)，因为f(x) 是定义在(0，+)上的增函数， 所以有 解得8x9.,命题方向3：求参数的值或取值范围 【典例5】(2016绵阳模拟)已知f(x)= 满足对任意x1x2，都有 成立，则实数 a的取值范围为_.,【解题导引】先由 判断f(x)在R上的单 调性，再根据f(x)的单调性构建实数a的不等式组求解.,【规范解答】由 知函数f(x)是R上的 增函数， 于是有 解得 所以实数a的取值范围是 答案：,【技法感悟】 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略 (1)比较大小.比较函数值的大小,应将自变量转化到同一个单调区间内,然后利用函数的单调性解决.,(2)解不等式.在求解与抽象函数有关的不等式时,往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉,使其转化为具体的不等式求解.此时应特别注意函数的定义域.,(3)利用单调性求参数. 视参数为已知数,依据函数的图象或单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较求参数; 需注意若函数在区间a,b上是单调的,则该函数在此区间的任意子集上也是单调的.,【题组通关】 1.(2016宿州模拟)已知偶函数f(x)对于任意xR都有f(x+1)=-f(x),且f(x)在区间0,2上是递增的,则f(-6.5),f(-1),f(0)的大小关系是 ( ) A.f(0)f(-6.5)f(-1) B.f(-6.5)f(0)f(-1) C.f(-1)f(-6.5)f(0) D.f(-1)f(0)f(-6.5),【解析】选A.由f(x+1)=-f(x), 得f(x+2)=-f(x+1)=f(x), 则函数的周期是2, 因为函数f