高中数学第二章空间向量与立体几何5.3直线与平面的夹角课件北师大版.pptx

5.3 直线与平面的夹角,第二章 5 夹角的计算,1.理解直线与平面的夹角的概念. 2.会利用向量的方法求直线与平面的夹角.,学习目标,知识梳理 自主学习,题型探究 重点突破,当堂检测 自查自纠,栏目索引,知识梳理 自主学习,知识点一 直线与平面的夹角 (1)平面外一条直线与它在该平面内的 的夹角叫作该直线与此平面的夹角. (2)如果一条直线与一个平面平行或在平面内，我们规定这条直线与平面的夹角为 . (3)如果一条直线与一个平面垂直，我们规定这条直线与平面的夹角是 . (4)直线与平面夹角的范围： . (5)斜线与平面夹角的范围： .,答案,0,投影,返回,知识点二 直线与平面夹角的向量求法 设平面的斜线l的方向向量为a，平面的法向量为n. (1)当a，n与，l的关系如图所示时， 则l与所成角与a，n所成的角互余. 即sin cosa，n. (2)当a，n与，l的关系如图所示时，,题型探究 重点突破,题型一 求直线与平面的夹角的基本方法 例1 如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，求A1B与平面A1B1CD的夹角.,解析答案,反思与感悟,解 方法一 连接BC1，B1C交于点O，连接A1O， 在正方体ABCDA1B1C1D1中， B1CBC1，BC1A1B1，B1CA1B1B1， BC1平面A1B1CD.故A1O为A1B在平面A1B1CD内的投影，即BA1O为A1B与平面A1B1C的夹角.,解析答案,反思与感悟,BA1O30. A1B与平面A1B1CD的夹角是30.,反思与感悟,方法二 如图所示，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为1，则有A1(1,0,1)，B(1,1,0)，B1(1,1,1)，,设平面A1B1CD的一个法向量为n(x，y，z).,令x1，则有y0，z1，可取n(1,0,1).,则A1B与平面A1B1CD的夹角是30.,反思与感悟,求直线与平面的夹角的方法与步骤 思路一：找直线在平面内的投影，充分利用面与面垂直的性质及解三角形知识可求得夹角(或夹角的某一三角函数值). 思路二：用向量法求直线与平面的夹角可利用向量夹角公式或法向量.利用法向量求直线与平面的夹角的基本步骤： (1)建立空间直角坐标系；,(3)求平面的法向量n；,解析答案,跟踪训练1 如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，PD平面ABCD，PDDC，E是PC的中点. 求EB与平面ABCD夹角的余弦值.,解析答案,解 取CD的中点M，则EMPD， 又PD平面ABCD， EM平面ABCD， BE在平面ABCD上的投影为BM， MBE为BE与平面ABCD的夹角，如图建立空间直角坐标系， 设PDDC1， 则P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，,解析答案,题型二 空间夹角的综合应用 例2 四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PD底面ABCD；ADPD，E、F分别为CD，PB的中点. (1)求证：EF平面PAB；,又ABPAA，EF平面PAB；,解析答案,反思与感悟,反思与感悟,设平面AEF的一个法向量为n(x，y，z)，,反思与感悟,本题有两问是一个综合题，题目以四棱锥为背景构造垂直的证明和线面角的求解，求解过程充分体现了向量的工具性作用.,解析答案,跟踪训练2 在如图所示的几何体中，EA平面ABC，DB平面ABC，ACBC，ACBCBD2AE，M是AB的中点. (1)求证：CMEM； 证明 如图，以点C为坐标原点，以CA，CB所在直线分别为x轴和y轴，过点C作与平面ABC垂直的直线为z轴，建立如图空间直角坐标系， 设EAa，则A(2a,0,0)，B(0,2a,0)，E(2a,0,a)，D(0,2a,2a)，M(a，a,0).,解析答案,返回,(2)求CM与平面CDE的夹角. 解 设向量n(1，y0，z0)与平面CDE垂直，,所以y02，z02，即n(1,2，2)，,因此直线CM与平面CDE的夹角是45.,当堂检测,1,2,3,4,5,1.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，P分别是棱CC1，BC，A1B1上的点，若B1MN90，则PMN的大小是( ) A.等于90 B.小于90 C.大于90 D.不确定 解析 A1B1平面BCC1B1，故A1B1MN，,A,解析答案,MPMN，即PMN90. 也可由三垂线定理直接得MPMN.,1,2,3,4,5,解析答案,2.正方体ABCDA1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD夹角的正弦值为( ),1,2,3,4,5,解析 建系如图，设正方体的棱长为1，则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)，A(1,0,0)，,答案 C,1,2,3,4,5,解析答案,A.60 B.90 C.105 D.75 解析 建立如图所示的空间直角坐标系，设BB11，则A(0,0,1)，,B,即AB1与C1B所成角的大小为90.,解析答案,4. 如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA11，则BC1与平面BB1D1D所成的角的正弦值为( ),解析 以D点为坐标原点，以DA，DC，DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标(图略)，则A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,1)，,D,1,2,3,4,5,解析答案,解 由于ACBC2，D是AB的中点，所以C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，D(1,