信号与系统课件 ch7 section 1-3

第七章第七章 离散时间系统的时域分析离散时间系统的时域分析 本章重点： 本章重点： 抽样定理，零输入响应，卷积和抽样定理，零输入响应，卷积和 7.1 离散时间信号的描述离散时间信号的描述 一一一一、 离离离离散散散散信信信信号号号号的的的的描描描描述述述述 定义：只在离散时刻 定义：只在离散时刻 k t 才有定义，记作才有定义，记作)( k tf 抽样信号的概念 抽样信号的概念 东南大学移动通信国家重点实验室 f(t) t 连续 信号 连续 信号 f(k) t=kT 离散 信号 离散 信号 抽样 时间离散 抽样 时间离散 f(k) 数字 信号 数字 信号 1 2 3 1 2 3 幅度 量化 幅度 量化 f(t) t 量化 信号 1 2 3 量化 信号 1 2 3 t=kT 东南大学移动通信国家重点实验室 描述：描述：a）闭式，写成时刻）闭式，写成时刻 k t的函数的函数 （注：（注： 通常取通常取?1 , 0,=kkTtk， T：抽样间隔，：抽样间隔，)()()(kfkTftf k 记 = ） 如如 k kf 2 1 )(= 0k b）有序数字（数值序列） ：）有序数字（数值序列） ： 如上例的如上例的 =?、；、210 8 1 4 1 2 1 1)(kkf， 东南大学移动通信国家重点实验室 f(k) k 1 1 1/21/2 . 1/41/4 c）时域波形）时域波形 对上面的对上面的)(kf 0 1 2 3 东南大学移动通信国家重点实验室 二二二二、 常常常常用用用用的的的的序序序序列列列列 1 单位阶跃序列单位阶跃序列 收敛序列 时是交叉等幅）序列等幅（当 发散序列 1= 东南大学移动通信国家重点实验室 4 （单边）变幅正弦序列 （单边）变幅正弦序列 一对共轭根 设设 j e= j eC=C 则则 )()cos(2)()()( * kkCkCkC k kk +=+ C 是常量（与定解系数有关）是常量（与定解系数有关） 东南大学移动通信国家重点实验室 7.2 抽样定理抽样定理 问题：1. 抽样间隔 T 如何定？ 问题：1. 抽样间隔 T 如何定？ 2.2. 原信号能否由样本点（值）恢复？ 若能，如何恢复？ 原信号能否由样本点（值）恢复？ 若能，如何恢复？ 东南大学移动通信国家重点实验室 一一一一、 理理理理想想想想抽抽抽抽样样样样 )()()(ttftf Ts =)(tf + = = n T nTtt)()( 设设 )()(jFtf （最高频率（最高频率 m ） )()( sT t )()(jFtf ss 东南大学移动通信国家重点实验室 f(t) t 0 F(jw) w 0 -wmwm t 0 F(jw) w 0-w s T2T-T-2Tws2ws -2ws (ws) fs(t) t 0 Fs(jw) w 0-wmwmws-ws F(0)/T )(t T (1) 东南大学移动通信国家重点实验室 由由 + = = n tjnn T s e A t 2 )( T s = 2 抽样频率抽样频率 T tF T An 2 )( 2 = ? =)()( 2 )( ssss nn T + = = n SsS njjF T jFjF)( 1 )(*)( 2 1 )( 东南大学移动通信国家重点实验室 由 由 )( jFs 知：若 知：若 ms 2 则 则)( jFs无混迭， 则 无混迭， 则)(tf可由可由)( jFS通过（理想）低通恢复， 把 通过（理想）低通恢复， 把 ms =2 称为 称为奈奎斯特抽样速率奈奎斯特抽样速率， ， 则称为奈氏间隔 mS T = 2 东南大学移动通信国家重点实验室 注： 工程上注： 工程上)(jF有拖尾，设有效带宽 为 有拖尾，设有效带宽 为 m ，则取，则取 mms =)106(2)53( 冲激序列无法产生，实际可用 开关函数（窄脉冲序列）代替。 冲激序列无法产生，实际可用 开关函数（窄脉冲序列）代替。 东南大学移动通信国家重点实验室 二二二二、自自自自然然然然抽抽抽抽样样样样（脉脉脉脉幅幅幅幅调调调调制制制制） （参见书上图 7-4，7-5）（参见书上图 7-4，7-5） 设设)()(jFtf频限频限 m ， ， )()(jGtg，)()(jFtf Ss （ 框图与波形、频谱图示于黑板框图与波形、频谱图示于黑板 ） 由 由 = = n tjnn s e A tg 2 )( ? T s = 2 ) 2 ( 2 = s an n SA T A ? 东南大学移动通信国家重点实验室 得得 = = n s s asn n n S T A nAjG)() 2 ( 2 )()( ? + = = = n s s a s njjF n S T A jGjFjF 结论与理想抽样相同)() 2 ( )(*)( 2 1 )( 注注 1：平顶抽样：平顶抽样 2：抽样定理使连续信号的离散成为可能。 ：抽样定理使连续信号的离散成为可能。 （参见书上图 7-9）（参见书上图 7-9） 东南大学移动通信国家重点实验室 7.3 离散时间系统的描述和模拟 7.3 离散时间系统的描述和模拟 系统表示法系统表示法 连连 续续 离离 散散 （1） 系统 I/O 方程 微分方程 差分方程 （1） 系统 I/O 方程 微分方程 差分方程 （2） 框图模拟框图模拟 三种基本单元三种基本单元 三种基本单元三种基本单元 （3） 系统函数系统函数 H（s） H（z） 注：线性时不变（注：线性时不变（LTI）连续系统）连续系统 线性常系数微分方程，线性常系数微分方程， 线性时线性时/移不变（移不变（LTI/LSI）离散系统）离散系统 线性常系数差分方程。线性常系数差分方程。 东南大学移动通信国家重点实验室 一一一一、 差差差差分分分分方方方方程程程程描描描描述述述述的的的的离离离离散散散散系系系系统统统统 11 差分 一阶差分： 差分 一阶差分： )() 1()(kykyky+= （前向） ； （ （前向） ； （) 1()()(= kykyky） （后向） （后向） 二阶差分： 二阶差分： )() 1(2)2( )() 1()( 2 kykyky kykyky += += n 阶差分： n 阶差分： )() 1()( 11 kykyky nnn += 东南大学移动通信国家重点实验室 22 差分方程 差分方程 离散系统 e(k)y(k) n阶 0)(,),(),(),(,),(,=kekekekykyk mn ? 或 或 0)(,),1(),(),(,),1(),(,=+mkekekenkykykyk? 东南大学移动通信国家重点实验室 对 LTI 系统有： 对 LTI 系统有： )() 1(.) 1()( )() 1(.) 1()( 011 011 kebkebmkebmkeb kyakyankyanky mm n += + 定义定义移序算子移序算子 S，S， )()(ikykyS i += )()( )()( 01 01 1 1 kebSbSb kyaSaSaS m m n n n += + ? ? 东南大学移动通信国家重点实验室 简记为：简记为：)()()()(keSNkySD= 或 或 )()()( )( )( )(keSHke SD SN ky= 其中， 其中，)(SH为为转移算子转移算子，)(SD为特征多项式。 为特征多项式。 注： （1） 对注： （1） 对因果系统因果系统nm （2） 若 （2） 若 i a 全为 0 全为 0 非递归系统非递归系统（FIR） ， 若 （FIR） ， 若 i a 不全为 0 不全为 0 递归系统递归系统（IIR） 。 （IIR） 。 东南大学移动通信国家重点实验室 33 举例 例 1： （银行贷款问题）某人月初向银行借了 M 元， 之后不再借，月息元/元月；从当月开始（k=0） ， 每月底还 e(k)，第 k 月初尚欠 y(k)元，问何时还清？ 举例 例 1： （银行贷款问题）某人月初向银行借了 M 元， 之后不再借，月息元/元月；从当月开始（k=0） ， 每月底还 e(k)，第 k 月初尚欠 y(k)元，问何时还清？ 考虑第(k+1)月初的欠款 y(k+1) y(k+1)= y(k)+y(k)- e(k) 考虑第(k+1)月初的欠款 y(k+1) y(k+1)= y(k)+y(k)- e(k) = =+ My(0) -e(k)y(k)(1-1)y(k 东南大学移动通信国家重点实验室 例例 2：梯形电阻网络，求各节点电压：梯形电阻网络，求各节点电压 u(k) （参见书上图（参见书上图 7-11，7-12） 考虑典型节点，由电流关系：考虑典型节点，由电流关系： R kuku aR ku R kuku)2() 1() 1() 1()(+ + + = + 得：得： = =+ nknuEu kuku a ku ?2 , 1 , 0, 0)(,)0( 0)() 1() 1 2()2( 东南大学移动通信国家重点实验室 例例 3： （微分方程与差分方程的转换或微分方程的数值解）： （微分方程与差分方程的转换或微分方程的数值解） )()( )( tBetAy dt tdy += （1） )()() 1(kbekayky+=+ （2） 设设 T 足够小，足够小，kTt =时，时， T kyky dt tdy kTt )()1()(+ = 东南大学移动通信国家重点实验室 原微分方程在原微分方程在kTt =时近似有：时近似有： )()( )()1( kBekAy T kyky + + 即即 ) 3 ()()() 1() 1(kBTekyATky+ 比较比较 (2) (3) )()() 1(kbekayky+=+ （2） 当当 a=AT-1，b=BT 时时 两系统近似等价。两系统近似等价。 东南大学移动通信国家重点实验室 二二二二、差差差差分分分分方方方方程程程程描描描描述述述述的的的的 L L L LT T T TI I I I 离离离离散散散散系系系系统统统统的的的的框框框框图图图图模模模模拟拟拟拟 11 基本运算单元 基本运算单元 （1） 加法器： （1） 加法器： )( 1 kx )( 2 kx )()()( 21 kxkxky+= 东南大学移动通信国家重点实验室 （2） 标量乘法器 （2） 标量乘法器 )()(kaxky=)(kx （3） 延时器 （3） 延时器 D D e(k+