(好资料)1[1][1].3行列式的性质

2008年年10月月9日星期四日星期四 数学科学学院数学科学学院徐鑫徐鑫 nnnn n n aaa aaa aaa D ? ? ? ? 21 22221 11211 = 称行列式称行列式 nnnn n n T aaa aaa aaa D ? ? ? ? 21 22212 12111 = 为行列式D的为行列式D的转置行列式转置行列式。 定义定义定义定义1 1 1 1设有行列式设有行列式 下面介绍的行列式性质是计算行列式的基础。下面介绍的行列式性质是计算行列式的基础。 2008年年10月月9日星期四日星期四 数学科学学院数学科学学院徐鑫徐鑫 性质性质性质性质1 1 1 1转置行列式，值不变。转置行列式，值不变。证证 性质性质性质性质2 2 2 2互换行列式的两行(列),行列式变号。互换行列式的两行(列),行列式变号。 证证 推论推论推论推论两行（列）相同的行列式为零。两行（列）相同的行列式为零。 性质性质性质性质3 3 3 3数乘以行列式等于该数乘以行列式的某一 行(列)。 数乘以行列式等于该数乘以行列式的某一 行(列)。 推论推论推论推论行列式某行（列）的公因子可以提出行列式 符号外面。 行列式某行（列）的公因子可以提出行列式 符号外面。【显然由性质3可知】【显然由性质3可知】 性质性质性质性质4 4 4 4若行列式的两行（列）元素成比例，则行 列式为零。 若行列式的两行（列）元素成比例，则行 列式为零。 证证 证证 证证 2008年年10月月9日星期四日星期四 数学科学学院数学科学学院徐鑫徐鑫 推论推论如果行列式有两行（列）完全相同，则 此行列式为零. 如果行列式有两行（列）完全相同，则 此行列式为零. 证明证明 互换相同的两行，有互换相同的两行，有,DD = = . 0= =D 返回返回 2008年年10月月9日星期四日星期四 数学科学学院数学科学学院徐鑫徐鑫 证明证明 nnnn inii inii n aaa kakaka aaa aaa ? ? ? ? ? ? ? 21 21 21 11211 nnnn inii inii n aaa aaa aaa aaa k ? ? ? ? ? ? ? 21 21 21 11211 = =. 0= = 2008年年10月月9日星期四日星期四 数学科学学院数学科学学院徐鑫徐鑫 性质性质性质性质5 5 5 5若行列式的第 i 行（列）元素均为两数之和若行列式的第 i 行（列）元素均为两数之和 ), 2 , 1(nkba kk ?=+ 则该行列式等于两行列式之和，其中后两行列式的第 i 行（列）元素分别为 则该行列式等于两行列式之和，其中后两行列式的第 i 行（列）元素分别为 ), 2 , 1(,nkba kk ?= 性质性质性质性质6 6 6 6 将行列式某行（列）各元素乘以同一常数加 到另外一行（列）对应元素上，则行列式值不变。 将行列式某行（列）各元素乘以同一常数加 到另外一行（列）对应元素上，则行列式值不变。 举例举例证证 证证 2008年年10月月9日星期四日星期四 数学科学学院数学科学学院徐鑫徐鑫 12 1 12 11121 () 11221 12 ( 1)() n n n n p pp iiiiininpijijnp p pp nnnn aaa Dabababaaba aaa =+=+ ? ? ? ? ? ? ? 1212 11 1212 ()() 11 ( 1)( 1) nn nn nn p ppp pp pijnppijnp p ppp pp aaaaba =+ ? ? ? 1112111121 1212 1212 nn iiiniiin nnnnnnnn aaaaaa aaabbb aaaaaa =+ ? ? ? ? ?返回返回 2008年年10月月9日星期四日星期四 数学科学学院数学科学学院徐鑫徐鑫 11121 1122 12 12 n ikikinkn kkkn nnnn aaa acaacaaca D aaa aaa + = ? ? ? ? ? ? ? 1112111121 1212 1212 1212 nn iiinkkkn kkknkkkn nnnnnnnn aaaaaa aaacacaca aaaaaa aaaaaa =+ ? ? ? ? ? ? ? 11121 12 12 12 n iiin kkkn nnnn aaa aaa aaa aaa = ? ? ? ? ? ? ? 2008年年10月月9日星期四日星期四 数学科学学院数学科学学院徐鑫徐鑫 必须牢记行列式的六个性质，可以按行列必须牢记行列式的六个性质，可以按行列 式值式值“为零为零”、“变号变号”、“不变不变”来记忆与应用，这来记忆与应用，这 是计算行列式的基础。是计算行列式的基础。 在行列式(矩阵)计算中,可用下列简化记 号来标明计算步骤: 在行列式(矩阵)计算中,可用下列简化记 号来标明计算步骤: ; jiji ccrr互换互换 数乘