近世代数课件--1.1--1.2.ppt

2019/8/4,数学与计算科学学院,1.1 集合,内容分布 1.1.1 集合的描述性定义 1.1.2 集合的表示方法 1.1.3 集合的包含和相等 1.1.4 集合的运算及其性质,2019/8/4,数学与计算科学学院,1.1.1 集合的描述性定义,表示一定事物的集体，我们把它们称为集合或集，如“一队”、“一班”、“一筐”. 组成集合的东西叫这个集合的元素. 我们常用大写拉丁字母A，B，C，表示集合，用小写拉丁字母a，b，c，表示元素. 如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作 ；或者说A包含a，记作Aa 如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作 ；或者说A不包含a，记作,例如，设A是一切偶数所成的集合，那么4A， 而 .,2019/8/4,数学与计算科学学院,一个集合可能只含有有限多个元素，这样的集合叫做有限集合. 如，前十个正整数的集合；一个学校的全体学生的集合；一本书里面的所有汉字的集合等等这些都是有限集合. 如果一个集合是由无限多个元素组成的，就叫做无限集合. 如，全体自然数的集合；全体实数的集合；小于的全体有理数的集合等等都是无限集合. 不含任何元素的集合叫空集. 表示为：,2019/8/4,数学与计算科学学院,1.1.2 集合的表示方法,枚举法:,例如,我们把一个含有n个元素的集合的有限集合 表示成： . 前五个正整数的集合就可以记作 .,拟枚举:,自然数的集合可以记作 , 拟枚举可以用来表示能够排列出来的的集合, 像自然数、整数,概括原则:,2019/8/4,数学与计算科学学院,表示一切大于-1且小于1的实数的所组成的集合.,常用的数集： 全体整数的集合，表示为Z 全体有理数的集合，表示为Q 全体实数的集合，表示为R 全体复数的集合，表示为C,2019/8/4,数学与计算科学学院,1.1.3 集合的包含和相等,设A，B是两个集合，如果A的每一元素都是B的元素，那么就说是的子集，记作 （读作属于），或记作 （读作包含）. 根据这个定义，是的的子集必要且只要对于每一个元素x，如果 ，就有 .,例如，一切整数的集合是一切有理数的集合的子集，而后者又是一切实数的集合的子集.,A是B的子集，记作：,2019/8/4,数学与计算科学学院,A 是A的子集 空集是一切集合的子集,2019/8/4,数学与计算科学学院,如果A不是B的子集，就记作： 或 . 因此，A不是B的子集，必要且只要A中至少有一个元素不属于B，即：,例如，3的整数倍所成的集合，不是一切偶数所成的集合的子集，因为3属于前者但不属于后者. 集合1，2，3不是2，3，4，5的子集.,如果集合A与B的由完全相同之处的元素组成部分的，就说A与B相等，记作：A=B. 我们有,2019/8/4,数学与计算科学学院,例如，设A=1，2，B是二次方程 的根的集合，则A=B.,2019/8/4,数学与计算科学学院,1.1.4 集合的运算及其性质,并运算 设A，B是两个集合. 由A的一切元素和B的一切元素所成的集合叫做A与B的并集（简称并），记作 . 如图1所示.,例如，A=1，2，3，B =1，2，3，4，则,根据定义，我们有,2019/8/4,数学与计算科学学院,交运算 由集合A与B的公共元素所组成的集合叫做A与B的交集(简称交)，记作： ，如图2所示.,例如，A=1，2，3，4，B=2，3，4，5，则,我们有,2019/8/4,数学与计算科学学院,两个集合A与B不一定有公共元素，它们的交集是空集.,例如，设A是一切有理数的集合，B是一切无理数的集合，那么 就是空集. 又如方程 的实数根的集合为空集.,2019/8/4,数学与计算科学学院,运算性质:,分配律 :,证明 设 ，那么 且 ，于是 且至少属于B与C 中的之一. 若 ，那么因为 ，所以， ；同样，若 ，则 . 不论哪一种情形都有 . 所以,反之，若 ，那么 或者 . 但 ， ，所以不论哪一种情形都有 ，所以 这就证明了上述等式.,2019/8/4,数学与计算科学学院,两个集的并与交的概念可以推广到任意n个集合上去，设 是给定的集合. 由 的一切元素所成的集合叫做 的并；由 的一切公共元素所成的集合叫做的 交. 的并和交分别记为： 和 . 我们有,2019/8/4,数学与计算科学学院,积运算： 设设A，B是两个集合，令 称为A与B的笛卡儿积（简称为积）. 是一切元素对（a, b ）所成的集合，其中第一个位置的元素a取自A，第二个位置的元素b取自B. 可以定义多个集合的笛卡儿积,2019/8/4,数学与计算科学学院,关于集合的悖论Russel s Paradox,2019/8/4,数学与计算科学学院,12 映射,内容分布 1.2.1 映射的概念及例 1.2.2 映射的相等 1.2.3 映射的像与原像 1.2.3 映射的合成 1.2.4 单射、满射、(一一映射)双射,2019/8/4,数学与计算科学学院,1.2.1 映射的概念及例,定义1 设A，B 是两个非空的集合，A到B 的一个映射指的是一个对应法则，通过这个法则，对于集合A中的每一个元素 x，有集合B中一个唯一确定的元素 y 与它对应.,用字母f，g，表示映射. 用记号 表示f 是A到B的一个映射.,如果通过映射f，与A中元素x对应的B中元素是y，那么就写作,这时y 叫做 x 在f 之下的象，记作 .,2019/8/4,数学与计算科学学院,例1 令Z是一切整数的集合. 对于每一整数n，令 与它对应. 那 f 是Z到Z的一个映射，,例4 设A是一切非负数的集合，B是一切实数的集 合. 对于每一 ，令 与它对应. f 不是A 到B的映射， 因为当 时， 不能由x唯一确 定.,2019/8/4,数学与计算科学学院,例5 令A=B等于一切正整数的集合. 不是A到B的一个映射，因为 .,例6 设A是任意 一个集合，对于每一 ，令 与它对应：,这自然是A到A的一个映射，这个映射称为集合A的恒等映射，用.表示,注意: A与B可以是相同的集合，也可以是不同的集合 对于A的每一个元素x，需要B中一个唯一确定的元素与它对应. 一般说来，B中的元素不一定都是A中元素的象. A中不相同的元素的象可能相同.,2019/8/4,数学与计算科学学院,1.2.2 映射的相等,设 是一个映射. 对于 ，x的象 . 一切这样的象作成B的一个子集，用 表示： ， 叫做A在f之下的象，或者叫做映射f的象.,设 ， 都是A到B的映射，如果对于每一 ，都有 ，那么就说映射f与g是相等的. 记作,2019/8/4,数学与计算科学学院,1.2.3 像集与原像集,设f 是A到B的映射 A的子集的像 Imf B的子集的原像或逆像,2019/8/4,数学与计算科学学院,1.2.4 映射的合成,设 是A到B 的一个映射， 是B 到C 的一个映射. 那么对于每一个 ，因而是C中的一个元素. 因此，对于每一 ，就有C 中唯一的确定的元素 与它对应，这样就得到A到C 的一个映射，这映射是由 和 所决定的，称为 f 与g 的合成（乘积），记作 . 于是有,对于一切 ,f 与g 的合成可以用下面的图示意：,A,B,C,2019/8/4,数学与计算科学学院,2019/8/4,数学与计算科学学院,设给映射 ， ， ，有 . 但是，一般情况下 ， 设A是非空集合 ， 称为设A上的 恒等映射。,2019/8/4,数学与计算科学学院,1.2.5 单射、满射、双射、逆映射,定义2 设f 是A到B的一个映射，如果Imf=B，那么说称f 是A到B上的一个映射，这里也称f 是一个满映射，简称满射.,是满射必要且只要对于B中的每一元素y，都有A中元素x 使得 .,关于映射，只要求对于A中的每一个元素x，有B中的一个唯一确定的元素y与它对应，但是A中不同的元素可以有相同的象.,定义3 设 是一个映射，如果对于A中任意两个元素 和 ，只要 ，就有 ，那么就称f是A到B的一个单映射，简称单射.,2019/8/4,数学与计算科学学院,如果既是满射，又是单射，即如果f 满足下面两个条件，,对于一切，那么就称f 是A 到B 的一个双射. 一个有限集集合的A到自身的双射 叫做A的一个置换., f是一个双射； 存在B到A的一个映射g ，使得 ， 再者，当条件成立时，映射g是由f 唯一确 定的, 称为f 的逆, 表示为,2019/8/4,数学与计算科学学院,2019/8/4,数学与计算科学学院,2019/8/4,数学与计算