《优化设计习题》PPT课件.ppt

3.6.9 多目标函数的优化方法 在实际工程设计问题中，常常期望同时有几项设计指标都达到最优值，这就是所谓的“多目标函数的优化问题”。对同一设计，同时具有两个或两个以上优化性能指标的均属多目标函数的优化问题，其数学模型的一般表达式为： 求解 X=x1, x2, , xn T Rn min f1(X) min f2(X) min fq(X) s.t. gi(X)0, i=1,2,m hj(X)=0, j=1,2,p,在上述多目标函数的优化问题中，各个目标函数f1(X), f2(X),fq(X)的优化往往是相互矛盾的，不能期望它们的极小点重复在一起，即不能同时达到最优解；甚至有时还会产生对立的情况，即对一个目标函数是最优点，对另一个目标函数却是差点。这需要在各个目标函数的最优解之间进行协调，相互之间作出适当“让步”，以便取得整体最优的方案。而不能像单目标函数的优化那样，通过简单比较函数值大小的方法去寻优。由此可以看出，多目标函数的优化问题要比单目标函数的优化问题复杂的多。而多目标函数的优化方法虽然很多，但真正有效的方法并不多。以下将要介绍几种常用的优化方法。,1 主要目标法 考虑到在多目标函数优化问题中各目标的重要程度不一样，在优化问题中显然首先考虑主要目标，同时兼顾次要目标。主要目标法就是以此思想作为指导，首先将多目标函数优化问题中的全部目标函数，按其重要程度排列，最重要的排在最前面，然后依次求各个（单）目标函数的约束最优值，这时其它目标函数则根据初步设计的考虑给予适当的最优值的估计值（在求得实际最优值后应以实际最优值进行替换），作为辅助约束处理。这样就将多目标函数的约束优化问题，转化成一些单目标函数的约束优化问题，寻求整个设计可以接受的相对最优解。,对数学模型中的q个分目标选出一个最重要的作为主要目标，例如选f1(X)，同时对其它q-1个分目标fj(X) (j1)，给出上下界值: jfj(X)j , j1 即限定这些分目标在一定范围内取值，把这些目标降为约束条件。于是，问题转化为下列单目标优化问题： min f1(X) s.t.gi(X)0, i=1, 2, , m fj(X)-j0 j-fj(X)0, j=2, 3, , q 在实际工程的优化设计中，总可以根据基本要求，对各项设计指标（目标）作出正确的估计和判断，并按其重要性进行排列，因此本法在实际使用中并不困难。,2 统一目标法 统一目标法的实质就是将优化模型中的各个目标函数（或称分目标函数）f1(X), f2(X), , fq(X) 统一到一个总的“统一目标函数” f(X) 中，即令： f(X) = ff1(X),f2(X),fq(X) 使原优化问题转化为求解 min f(X), xRn s.t. gi (X)0, i=1,2,m hj (X)=0, j=1,2,p 的形式，把多目标函数的优化问题转化为单目标函数的优化问题来求解。,在极小化 “统一目标函数” f(X) 的过程中，为了使各个目标函数能均匀一致地趋向各自的最优值，可采用以下的一些方法： （1） 加权组合法 又称为线性组合法或加权因子法，即在将各个分目标函数组合为总的“统一目标函数”的过程中，引入加权因子，以考虑各个分目标函数在相对重要程度上的差异及在量级和量纲上的差异。为此， f(X) 写为： f (X) =j fj (X) (j=1,2,q) 式中 j 第j项分目标函数 fj(X) 的加权因子，是一个大于零的数，其值决定于各项目标的数量级及重要程度。,加权组合法的关键是加权因子的选择。 （2）目标规划法 先分别求出各个分目标函数的最优值 fj(X*) ，然后根据多目标函数优化设计的总体要求，作适当调整，制定出思想的最优值 fj (0) 。则统一目标函数可按如下方法来构成： 这意味着当各项分目标函数分别达到各自的理想最优值fj(0)时，统一目标函数f(X)为最小。 此法的关键在于选择恰当的fj(0) (j=1,2,q)值。,（3）分目标乘除法 如果能将多目标函数优化问题中的全部q个目标分为：目标函数法愈小愈好的所谓费用类(如材料、工时、成本、重量等)和目标函数值愈大愈好的所谓效益类(如产量、产值、利润、效益等)，且前者有s项，后者有(q-s)项, 则统一目标函数可取为: 显然，使f(X) min可得最优解。,3 宽容分层序列法 此法是将多目标优化问题转化为一系列单目标优化问题的求解方法。 基本思想： 将多目标优化问题中的 q 个目标函数分清主次，依次对各个目标函数求最优解，求解时，对各目标函数的最优值放宽要求，可以预先对各目标函数的最优值取给定的宽容量，即1 0， 2 0，这样，在求后一个目标函数的最优值时，是在前一目标函数最优值附近的某一范围进行优化。 各层优化问题如下：,3.7 优化设计实例,例1：如图所示曲柄式少齿差 行星传动， 要求输入功率 P=4KW，输入转速 n1 = 2890r/min， 输出转速n4=10 r/min， 总传动比 i14 = 289，每天工作 8h，工作平稳。由于装配空 间的限制，要求此机构体积小、重量轻。试设计曲柄式少齿差行星传动机构。 解：曲柄式少齿差行星传动机构的传动比为,为使偏曲轴少齿差行星减速器重量轻、体积小，并使少齿差行星齿轮传动具有良好的传力性能，分别取各齿轮体积之和最小和啮合角最小为目标函数。 设计变量为： X= = 约束条件： 根据设计要求，曲柄式少齿差行星传动机构优化设计中的约束条件可分为三类：强度约束、几何约束和边界约束条件。 优化设计模型是由13个设计变量和32个约束条件组成的双目标优化。,例2. 考虑尺寸公差的圆柱螺旋压簧的最大切应力。 某弹簧使用中有1/3发生断裂，查找设计上的原因 1. 基本公式：,1. 设计变量 2. 目标函数 H1=4mm对应的载荷F:,3. 约束函数 1）抗力 R 的检验条件 2）丝径约束 3）自由高度约束 4）内径约束 5）外径约束 6）工作圈数约束,4. 结果,例题1：海森矩阵判断极值点,例题2：二次插植法,例题3：梯度法,例：试用牛顿法求函数f(X)=x12+25x22的极小点,例题4：牛顿法,例：用DFP法解min f(X)=60-10x1-4x2+x12+x22-x1x2。初始点为X(0)=(0,0)T,=0.0001. 解： （1）令K = 0, （2）计算目标函数的梯度f(X(0) （3）搜索方向为 虽然此时搜索方向为负梯度方向。沿此方向进行一维搜索，求得最优步长因子k,例题5：变尺度法,将X(1)=X(0)+ S(0) 代入目标函数得 f(X(1) =60-10(10 )-4(4 )+(10 )2+(4 )2-(10 )(4 ) =60 - 116 +76 2=q() 为求极小值，将上式对求导，并令q/()=0，即 dq / d =-116+152 =0 解得 (0)=0.7631 得 X(1)=X(0)+ (0)S(0) = 0,0T+0.763110,4T=7.631,3.052T （4）收敛性判别,(5）因此时Kn=2，所以计算 X(k)=X(0)=X(1)-X(0)=7.631, 3.052T g(k)=g(0)=f(X(1)-f(X(0)=12.211, -1.526T 按公式计算尺度矩阵 A(k+1)=A(k)+A(k) 和 A(k)=(X(k)X(k)T)/(X(k)Tg(k)- (A(k)g(k)g(k)TA(k)/(g(k)TA(k)g(k) 计算近似矩阵A(k+1) A(1)=A(0)+A(0)= 由此可见，它是一个对称正定矩阵。,（6）Kk+1。构造新的搜索方向（拟牛顿方向）为: S(k+1)=S(1)=-A(1)f(X(1)=0.646, 5.169T 沿S(1)方向作一维搜索求(1)，方法与求(0)相同，得(1)=0.5701，新的迭代点为: X(2)=X(1)+ (1)S(1)=7.9999, 5.9999T8,6T （7）收敛性差别： f(X(2)=(02+02)1/2 ，停止迭代。 输出最优解