MATLAB语言课件第3讲MATLAB语言的符号运算.ppt

3 MATLAB语言的符号运算,3.1.1 符号变量与基本运算 1、符号变量与符号表达式,3.1 基本符号运算,使用sym()函数可以创建符号变量和符号表达式 例：a=sym(abcd) f=sym(a*x2+b*x+c) 定义了符号变量 f 后，通过 f 可对其进行一系列操作： df=diff(f) df=2*a*x+b nf=int(f) nf=1/3*x3+1/2*x2+c*x,上例中，系统自动地将 x 作为自变量处理，而将a、b、c等作为常量参数。即符号表达式中含有多于一个符号变量时，在没有指定自变量时，Matlab会自行决定自变量。其原则为：除了 i 和 j 之外，字母位置最接近x 的小写字母；如果式子中没有上述字母，则 x 会被视为默认的自变量。,Matlab自变量确定原则如下： 符号表达式 默认自变量 a*x2+b*x+c x 1/(4+cos(t) t 4*x/y x 2*a+b b 2、符号运算 数值运算的大部分运算规则与MATLAB语言的各种数值运算函数都适用于基本符号变量的解析运算。 例：R=sym(-1+sqrt(5)/2) %定义符号数值 syms w t F=sin(w*t) %定义一个正弦函数表达式,3.2 微积分,1、极限 Matlab提供了求表达式极限的函数limit，其基本用法如下： limit(f,x,a) x趋近a limit(f,x,a,left) x左趋近a limit(f,x,a,right) x右趋近a,3.1.2 符号运算的扩展 利用MAPLE数学专用软件实现实现符号运算的扩展。,例： limit(1/x,x,0) limit(1/x,x,0,left) limit(1/x,x,0,right) 例：求如下函数的极限： syms x a limit ( ( ( x+a ) / ( x-a ) ) x , inf ),2、微分 Matlab求微分的函数是diff() 说明： 用diff(f)求 f 对预设独立变量的一次微分； diff(f,t)求 f 对独立变量 t 的一次微分; 用diff(f,n)求 f 对预设独立变量的n次微分 diff(f,t,n)求 f 对独立变量 t 的n次微分; f 可以是标量、向量、矩阵。,例：已知 求 f(x) 的微分。 syms a b c x f= a * x 2 + b * x + c diff( f ) diff( f ,a ) diff( f , a , 2) diff( diff( f ) ,a),3、积分 Matlab求积分的函数是int() 说明： 用int(f)返回 f 对预设独立变量的积分； int(f,t)返回 f 对独立变量 t 的积分； int(f,a,b)求 f 对预设独立变量的积分，积分区间为a,b，a和b为数值式； int(f,t,a,b)求 f 对独立变量 t 的积分，积分区间为a,b，a和b为数值式；, int(f,m,n)求 f 对预设独立变量的积分，积分区间为m,n，m和n为字符式 f 可以是标量、向量、矩阵。 例：求下列积分： f = sym( sqrt( x ) / (1 + x 2 ) ) int( f , 0 , inf ),3.3 方程求解,1、利用符号表达式求解代数方程 例1: 求解一元二次方程 的根。 f=sym(a*x2+b*x+c) solve(f) solve(f,a),2、利用符号表达式求解线性方程组 例2：求解线性代数方程 x+y+z=10 x-y+z=0 2*x-y-z=-4 f1=sym(x+y+z=10); f2=sym(x-y+z=0); f3=sym(2*x-y-z=-4); x,y,z=solve(f1,f2,f3),3.4 微分方程求解,符号运算中的微分方程求解函数可利用如下格式 dsolve(方程1，方程2，) 函数格式说明： 可多至12个微分方程的求解； 默认自变量为x，并可任意指定自变量t,u等； 方程的各阶导数项以大写字母“D”作为标识，后接数字阶数，再接解变量名； 初始条件以符号代数方程给出，如果初始条件项缺省，其默认常数为C1,C2,等； 返回变量的格式为：Y1,Y2,=dsolve(),下面是一些实例： 一阶微分方程 dsolve(Dy=a*y , x ) dsolve(Df=f+sin(t) y= dsolve(Dy)2+y2=1，s) 一阶微分方程，给定初始条件 dsolve(Dy=a*y,y(0)=b) dsolve(Df=f+sin(t),f(pi/2)=0) y= dsolve(Dy)2+y2=1，y(0)=5,s),二阶微分方程 dsolve(D2y=-a2*y) 二阶微分方程，给定初始条件 dsolve(D2y=-a2*y,y(0)=1,Dy(pi/2)=0) 2个微分方程 x,y= dsolve(Dx=y,Dy=-x) f,g= dsolve(Df=3*f+4*g,Dg=-5*f+2*g), 2个微分方程，给定初始条件 x,y= dsolve(Dx=y,Dy=-x,x(0)=0,y(0)=1) f,g= dsolve(Df=3*f+4*g, Dg=-5*f+2*g,f(0)=0,g(0)=1) 3个微分方程，给定初始条件 u,v,w=dsolve(Du=u+v,Dv=-v-2*w, Dw=-u,u(0)=0,v(0)=1,w(0)=1),3.5 微分方程求数值解,微分方程数值求解函数与基本应用格式为： t,y=ode23(fun,T0,Tfinal,Y0) t,y=ode45(fun,T0,Tfinal,Y0) 函数说明： （1）ode23采用龙格-库塔二阶算法 ode45采用龙格-库塔四阶算法 （2）fun为由m函数定义的微分方程组的m函数名。 （3） T0,Tfinal,为数值积分区间，仿真范围 （4）Y0为微分方程的初始条件向量。,例：解下列微分方程组： 初始条件：x1(0)=x2(0)=0 , x3=1e-10,1、求微分方程的数值解 第一步：建立M函数 function xdot=zmfun(t,x) xdot=-8*x(1)/3+x(2)*x(3); -10*x(2)+10*x(3); -x(1)*x(2)+28*x(2)-x(3) 第二步：解微分方程 t_final=100;x0=0;0;1e-10; t,x=ode23(zmfun,0,t_final,x0)； plot(t,x),2、求微分方程的解析解 令：x=x1 , y=x2 , z=x3 syms x y z x , y , z=dsolve(Dx=y , Dy=z , Dz=-25*x-15*y-7*z+25 , x(0)=1 , y(0)=1 , z(0)=1) ezplot(x)；hold on ezplot(y)；ezplot(z) hold off,例：解下列微分方程： 初始条件为：x1(0)=x2(0)=x3(0)=0 , u为单位阶跃输入。 解析解： 令x1=x , x2=y , x3=z x,y,z=dsolve(Dx=y , Dy=z , Dz= - 6*x -11*y - 6*z +2 , x(0)=0 , y(0)=0 , z(0)=0 ),数值解： 第一步：建立M函数 function xdot=zmfun4(t,x) xdot=x(2) ; x(3) ; -6*x(1)-11*x(2)-6*x(3)+2 第二步：解微分方程 x0=0,0,0 ; t_final=100 ; t , x=ode23(zmfun4 , 0 , t_final , x0) plot(t,x),3.6 符号表达式的运算,常用的符号运算函数 symadd(a,b) symsub(a,b) symmul(a,b) symdiv(a,b) sympow(a,b),3.7 符号表达式的简化,常用的符号表达式运算函数 collect(f) 将表达式 f 中同次幂的项合并； expand(f) 将表达式 f 展开； factor(f) 将表达式 f 因式分解； simplify(f) 利用代数规则对 f 进行简化； simple(f) 尽可能对 f 做简化，目的是使表达 式 f 以最少的字表示出来。,3.8 积分变换,1、Fourier变换 调用格式如下： 通过F=fourier(f)求时域函数f的Fourier变换 如果采用F=fourier(f)的格式，默认积分变量是x; 如果采用F=fourier(f,u)的格式，指定u为积分变量； invfourier()为Fourier反变换。,例：计算时间函数的 Fourier变换。 syms t w f1=sym(exp(-t2); F1=fourier(f1,w) 例：计算时间函数的 Fourier变换。 syms t w f2=sym(0.1*exp(-t2)*sin(t-pi/3) F2=fourier(f2,w),例：求下列函数的Fourier反变换 syms w,t sym(sqrt(pi)*exp(-1/4*w2) f1=ifourier(F1),2、Laplace变换 Laplace变换的定义： Laplace反变换的定义： Laplace变换函数的调用格式为： 通过L=laplace(f)求时域函数f的Laplace变换。 通过f=ilaplace(F)求频域函数F的Laplace反变换。,例：求下列函数的Laplace变换： syms t,s f1=sym(t5*sin(t) L=laplace(f,s) syms t,s f2=sym(sin(t)*cos(t) L2=laplace(f2,s),例：求下列函数的Laplace反变换： syms t,s L1=sym(s+3)/(s*(s+1)*(s+2) l1=ilaplace(L1) L2=sym(s2-8)/(s+4)*(s2+16) l2=ilaplace(L2),3、Z变换 Z变换函数的调用格式为：Z=ztrans(f) 求下列函数的Z变换 syms n,z f1=sym(exp(-1*n)*sin(n) Z1=ztrans (f1) Z 反变换