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第4章 平行四边形,4.6 反证法,否定式命题,例1 若k是整数，m是奇数，求证： 方程x2-mx+k=0不可能有两个相等的实数根.,分析：这题看起来似乎无从着手，其实从“方 程x2-mx+k=0不可能有两个相等的实数根”入手， 我们可以先计算b2-4ac的值，用含k，m的代数式表 示，从结论的反面入手，假设原方程有两个相等 的实数根，利用它进行推导，得出矛盾即可.,证明：假设方程x2-mx+k=0有两个相等的实数根. 则b2-4ac=m2-4k=0. m是奇数，m2也是奇数. k是整数，4k是偶数. m2-4k是奇数， 这与m2-4k=0相矛盾，假设是错误的， 因此原结论成立.,注意点：这类命题与存在性命题相反，在结论中出现“没有”“无”“不可能”等一些否定的词语，假设其反面就是“存在一个”或“可能”. 本例从结论的反面入手，利用“奇数一偶数偶数”这一整数运算的性质，在推导过程中两个结果自相矛盾，得出假设不成立，从而原结论成立.,存在性命题,例2 求证：三角形中必有一个内角不小于60.,证明：已知A，B，C是ABC的内角，假设所求证的结论不成立，即A60，B60，C60，则A+B+C=180. 这与三角形三个内角的和等于180相矛盾，所以假设不成立，所求证的结论成立.,分析：必有一个内角不小于于60，其反面“没 有一个”.,注意点：这类命题通常在结论中会出现“存在”之类的词语，那假设其反面就是“没有一个”. 反证法其实是一种重要的间接证法，一般地说，如果命题的结论难以直接证明，而其反面却易于否定时，那么反证法的使用就会使得问题迎刃而解.,“至多”“至少”的命题,例3 求证：一个三角形中至少有2个锐角.,分析：“至少有2个”的反面是“至多有1个”， 分两种情况：只有一个锐角；3个角都不是 锐角.,证明：（反证法）假设一个三角形中至多有 1个锐角，当一个三角形中只有一个锐角时，其 余两个角都大于或等于90，这两个角之和大于 或等于180，这与定理“三角形的内角和为 180”矛盾； 当一个三角形中3个角都不是锐角时，即这 三个角都大于或等于90，它们之和显然大于 180，同样与定理“三角形的内角和为180” 矛盾.,注意点：当一个命题的结论是以“至多”“至少”等形式出现时，用反证法易证. 注意“至多存在n个”的假设其反面为“至少存在（n+1）个”；“至少存在n个”的假设其反面为“至多存在（n-1）个”.,综上所述，两种情况均与定理“三角形的内角和 为180”矛盾，所以假设不成立，因此原结论成立.,例 用反证法证明“在ABC中至多有一个直角或钝角”时，应假设（ ） A. 三角形中至少有一个直角或钝角 B. 三角形中至少有两个直角或钝角 C. 三角形中没有直角
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