《概率论第二章》PPT课件.ppt

1.退化分布,若随机变量X只取常数值c，即 PX=c=1 这时分布函数为,2.6 几个常用的离散型随机变量的概率分布律,X服从退化分布的充要条件是DX=0，且EX=a.,2、两点 (0-1)分布 若随机变量X的分布律为： P(X=k)=pk(1-p)1-k， k=0，1，(0p1) 则称X服从以p为参数的0-1分布，记为XB(1,p)。,0-1分布的分布律也可写成,即随机变量只可能取0，1两个值，且取1的概率为p，取0的概率为1-p (0p1)，亦即 P(X=1)=p， P(X=0)=1-p。,若某个随机试验的结果只有两个，如产品是否合格，试验是否成功，掷硬币是否出现正面等等，它们的样本空间为S=e1,e2,我们总能定义一个服从0-1分布的随机变量,即它们都可用0-1分布来描述，只不过对不同的问题参数p的值不同而已。,3、 n个点上的均匀分布 若随机变量X共有n个不同的可能取值，且取每一个值的可能性相同，即分布律为： P(X=xi)=1/n，i=0，1,n 则称X服从n个点上的均匀分布。,容易算得：,4、二项分布,(1)贝努里(Bernoulli)试验模型。 设随机试验满足： 1在相同条件下进行n次重复试验； 2每次试验只有两种可能结果，A发生或A不发生； 3在每次试验中，A发生的概率均一样，即P(A)=p； 4各次试验是相互独立的， 则称这种试验为贝努里概型或n重贝努里试验。 在n重贝努里试验中，人们感兴趣的是事件A发生的次数。,（2）二项分布定义,若随机变量X具有概率分布律,其中p+q=1，则称随机变量X服从以n，p为参数的二项分布，记为XB(n,p) （或称贝努里分布）。 可以证明：,正好是二项式(p+q)n展开式的一般项，故称二项分布。特别地，当n=1时P(X=k)=pkq1-k(k=0,1)即为0-1分布。,例2.19 设有一大批产品，其次品率为0.002。今从这批产品中随机地抽查100件，试求所得次品件数的概率分布律。,解 （视作放回抽样检验） 设(X=k)表示事件“100件产品中有k件次品”，则X可能取值为0，1，2，100。 本题可视作100重贝努里试验中恰有k次发生(k件次品)， XB(100,0.002)。 因此，所求分布律为,二项分布的期望与方差,DX=npq,例2.21：设有80台同类型设备，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是001，且一台设备的故障能由一个人处理。考虑两种配备维修工人的方法，其一是由4人维护，每人负责20台；其二是由3人共同维护80台试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小。 解 按第一种方法。以X记“第1人维护的20台中同一时刻发生故障的台数”，以Ai(i1，2，3，4)表示事件“第i人维护的20台中发生故障不能及时维修”，则知80台中发生故障而不能及时维修的概率为 P(A1UA2UA3UA4)P(A1)PX2 而Xb(20，001)，故有,按第二种方法以Y记80台中同一时刻发生故障的台数。此时，Yb(80，001)，故80台中发生故障而不能及时维修的概率为 我们发现，在后一种情况尽管任务重了(每人平均维护约27台)，但工作效率不仅没有降低，反而提高了。,例2.22 保险事业是最早使用概率论的部门之一。保险公司为了估计企业的利润，需要计算各种各样的概率，下面是典型问题之一。若一年中某类保险者里面每个人死亡的概率等于0005，现有10000个这类人参加人寿保险，试求在来来一年中在这些保险者里面，(1)有40个人死亡的概率；(2)死亡人数不超过70个的概率。 解 作为初步近似，可以利用贝努里概型，n=10000p=0005，设为未来一年中这些人里面死亡的人数，则所求的概率分别为 (1)b(40；10000,0.005),直接计算这些数值相当困难，要有更好的计算方法。可以利用概率论中的极限定理来实现近似计算。关于极限定理后面将讨论。,5、泊松(Poisson)分布,若随机变量X所有可能取值为0,1,2,，且,其中0是常数，则称X服从参数为的泊松分布，记为XP()。,泊松分布的期望与方差,DX=,关于泊松分布,历史上泊分布是作为二项分布的近似，于1837年由法国数学家泊松引入的，近数十年来，泊松分布日益显示其重要性，成了概率论中最重要的几个分布之一。 在实际应用中许多随机现象服从泊松分布。这种情况特别集中在两个领域中。一是社会生活，对服务的各种要求：诸如电话交换台中来到的呼叫数，公共汽车站来到的乘客数等等都近似地服从泊松分布，因此在运筹学及管理科学中泊松分布占有很突出的地位；另一领域是物理学，放射性分裂落到某区域的质点数，热电子的发射，显微镜下落在某区域中的血球或微生物的数目等等都服从泊松分布。,二项分布的泊松(poisson)逼近,在很多应用问题中，我们常常这样的贝努利试验，其中，相对地说，n大，p小，而乘积=np大小适中。在这种情况下，有一个便于使用的近似公式。 定理(泊松) 在贝努利试验中，以pn代表事件A在试验中出现的概率，它与试验总数n有关，如果npn ，则当n 时， 在应用中，当p相当小（一般当p0.1)时，我们用下面近似公式,泊松定理表明，泊松分布是二项分布的极限分布， 当n很大，p很小时，二项分布就可近似地看成是参数=np的泊松分布。,什么样的随机现象服从泊松分布？,如商店里等待服务的顾客数，电话交换台的呼唤数，火车站的乘客数，铸件的气孔数，棉布的疵点数，田地里一定面积上的杂草数，房间里单位面积上的尘埃数，等等，都属于泊松分布的随机变量。,例2.23 某商店出售某种商品，具历史记录分析，每月销售量服从参数=5的泊松分布。问在月初进货时，要库存多少件此种商品，才能以0.999的概率充分满足顾客的需要？,解 用X表示每月销量，则XP()= P(5)。由题意，要求k，使得P(Xk)0.999，即,这里的计算通过查Poisson分布表(p.267-269)得到，=5,i=k+1=14时,i=k+1=13时,k+1=14，k=13 即月初进货库存要13件。,例2.24 设某国每对夫妇的子女数X服从参数为的泊松分布,且知一对夫妇有不超过1个孩子的概率为3e-2。求任选一对夫妇,至少有3个孩子的概率。,解 由题意,6、几何分布,设随机变量X的可能取值是1,2,3,且 P(X=k)=(1-p)k-1p=qk-1p，k=1，2，3， , 其中0p1是参数，则称随机变量X服从参数p为的几何分布。,几何分布背景：,随机试验的可能结果只有2种，A与,试验进行到A发生为止的概率P(X=k)，即k次试验，前k-1次失败，第k次成功。,几何分布的期望与方差,例2.25设X服从几何分布，则对任何两个正整数m，n，有,几何分布的无记忆性,在贝努利试验中，等待首次成功的时间X服从几何分布。现在假定已知在前m次试验中没有出现成功，那么为了达到首次成功所再需要的等待时间X也还是服从几何分布，与前面的失败次数m无关，形象化地说，就是把过去的经历完全忘记了。因此无记忆性是几何分布所具有的一个有趣的性质。但是更加有趣的是，在离散型分布中，也只有几何分布才具有这样一种特殊的性质。,若X是取正整数值的随机变量，如果具有无记忆性，那么X服从几何分布。,什么样的随机现象服从几何分布？,对某批N件产品进行不放回抽样检查，若这批产品中有M件次品，现从整批产品中随机抽出n件产品，则在这n件产品中出现的次品数v是随机变量，它取值0，1，2，n，其概率分布为超几何分布。,7、超几何分布,超几何分布、二项分布和泊松分布都是重要的离散型随机变量的概率分布。有时，他们的概率计算会十分繁冗。当试验次数n很大时，可以推导出这三个分布间有一种近似关系式 这里，第一个等式要求n很大，且n/N较小，取p=M/N即成立。第二个等式要求n很大时成立。实际使用时，n20即可，当n50时，效果更好。而泊松分布可通过查表计算，比较简单。,超几何分布、二项分布和泊松分布之间的关系,二、几个常用的连续型随机变量的分布,若随机变量X具有概率密度函数,1. 均匀分布,则称X在a, b上服从均匀分布，记作 XUa, b。,若XUa, b，则X具有下述等可能性： X落在区间a, b中任意长度相同的子区间里的概率是相同的。 即X落在子区间里的概率只依赖于子区间的长度，而与子区间的位置无关。,X的分布函数,均匀分布的密度函数与分布函数,例2.26 设随机变量XU1, 6 ，求一元二次方程t2+Xt+1=0有实根的概率。,解 当=X2-40时，方程有实根。所求概率为,而X的密度函数为,另解,2、指数分布,设连续型随机变量X具有概率密度,则称X服从参数为的指数分布。 其分布函数为,指数分布的另一种表示形式,其中0为常数，则称X服从参数为的指数分布,相应的分布函数为：,分布函数,指数分布的期望与方差,指数分布的无记忆性,这一性质称为指数分布的无记忆性。事实上可以证明指数分布是唯一具有上述性质的连续型分布。（证明略）,指数分布：许多电子产品的寿命分布一般服从指数分布。有的系统的寿命分布也可用指数分布来近似。它在可靠性研究中是最常用的一种分布形式。 由于指数分布具有缺乏“记忆”的特性因而限制了它在机械可靠性研究中的应用，所谓缺乏“记忆”，是指某种产品或零件经过一段时间t0的工作后,仍然如同新的产品一样,不影响以后的工作寿命值，或者说，经过一段时间t0的工作之后，该产品的寿命分布与原来还未工作时的寿命分布相同，显然，指数分布的这种特性，与机械零件的疲劳、磨损、腐蚀、蠕变等损伤过程的实际情况是完全矛盾的，它违背了产品损伤累积和老化这一过程。所以，指数分布不能作为机械零件功能参数的分布形式。 但是，它可以近似地作为高可靠性的复杂部件、机器或系统的失效分布模型，特别是在部件或机器的整机试验中得到广泛的应用。,例2.28 电子元件的寿命X(年)服从参数为3的指数分布， (1)求该电子元件寿命超过2年的概率； (2)已知该电子元件已使用了1.5年，求它还能使用2年的概率为多少？,例2.28 电子元件的寿命X(年)服从参数为3的指数分布， (1)求该电子元件寿命超过2年的概率； (2)已知该电子元件已使用了1.5年，求它还能使用2年的概率为多少？,解,指数分布Forever Young,正态分布是实践中应用最为广泛，在理论上 研究最多的分布之一，故它在概率统计中占有特 别重要的地位。,3、正态分布,A,B,A，B间真实距离为，测量值为X。X的概率密度应该是什么形态？,其中,(0)为常数，则称X服从参数为 ,2的正态分布,记为XN(, 2)。,1.若随机变量X的概率密度函数为,f(x)的图像为,正态分布密度函数的图形性质,x,f (x),0,正态分布密度函数的图形性质（续）,正态分布密度函数的图形性质（续）,正态分布密度函数的图形性质（续）,x,f (x),0,正态分布也称为高斯(Gauss)分布,正态分布随机变量X的分布函数为,其图像为,O x,F(x),1,2.标准正态分布(p60) 当参数0，21时，称随机变量X服从标准正态分布，记作XN(0, 1)。,分布函数表示为,其密度函数表示为,O x,1,(x),标准正态分布的密度函数与分布函数的图像分别为,可得,对于标准正态分布的分布函数(x)的函数值，书后附有标准正态分布表(P.270)。表中给出了x0的函数值。当x0时，可利用(-x)=1- (x)计算得到。,例2.30 已知XN(0, 1)，求P(-X-3)， P(|X|3),解 P(-X-3)= (-3) = 1-(3),标准正态分布表,P(|X|3)= P(-3X 3)= (3) - (-3) = (3) -1-(3) =2(3)-1 =20.9987-1=0.9974,=1-0.9987=0.0013,一般地, XN(0, 1), P(Xx)=(x),P(|X|x)=2(x)-1,3.一般正态分布的计算,一般正态分布的计算（续）,定理2.6,当a0时，证明略。,正态分布的线性函数仍服从正态分布,例2.31 已知XN(1, 4),求P(5X7.2), P(0X1.6),解,标准正态分布表,例2.32 某种型号电池的寿命X近似正态分布N(u,2),已知其寿命在250小时以上的概率和寿命不超过350小时的概率均为92.36%，为使其寿命在u-x和u+x之间的概率不小于0.9，x至少为多大？,解 由PX250=PX350,根据密度函数关于x=u对称，有,正态随机变量的3原则：设XN(,2),在工程应用中，通常认为P|X|31，忽略|X|3的值。 如在质量控制中，常用标准指标值3作两条线，当生产过程的指标观察值落在两线之外时发出警报，表明生产出现异常。,在一次试验中，正态分布的随机变量X落在以为中心，3为半径的区间(-3, +3)内的概率相当大(0.9973)，即X几乎必然落在上述区间内，或者说在一般情形下，X在一次试验中落在(-3, +3)以外的概率可以忽略不计。,一、离散型随机变量的函数的分布律,2.5 随机变量的函数的分布,设X一个随机变量，分布律为 XP(Xxk)pk, k1, 2, 则当Yg(X)的所有取值为yj(j1, 2, )时，随机变量Y有如下分布律： P(Yyj)qj, j1, 2, 其中qj是所有满足g(xi)= yj的xi对应的X的概率P(Xxi)pi的和，即,例2.33 设离散型随机变量X有如下分布律，试求随机变量Y=(X-3)2+1的分布律,解 Y的所有可能取值为 1，5，1