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数值分析,第二章 插值法,均差与牛顿插值公式,Lagrange插值多项式的缺点,我们知道,Lagrange插值多项式的插值基函数为,理论分析中很方便，但是当插值节点增减时全部插值基函数就要随之变化，整个公式也将发生变化，这在实际计算中是很不方便的；,两点直线公式(xk,yk)(xk+1,yk+1),考虑点斜式，两点为(x0,y0)(x1,y1):,在此基础上增加一个节点(x2,y2)，则过这三个点的插值多项式,C(x)应是一个二次多项式。,所以有,C(x)应是一个二次多项式。根据插值条件,根据插值条件：,可以求出：,重新写p2(x)：,基函数,有,再继续下去待定系数的形式将更复杂 。,为此引入差商和差分的概念,差商(亦称均差)/* divided difference */,1阶差商 /* the 1st divided difference of f w.r.t. xi and xj */,2阶差商,定义2.,(k+1) 阶 差 商,差商的计算方法(表格法):,规定函数值为零阶差商,差商表,差商具有如下性质:,Warning: my head is exploding What is the point of this formula?,差商的值与 xi 的顺序无关！,Newton插值公式及其余项, ,Nn(x),Rn(x),ai =,f x0, , xi ,Newton插值公式及其余项,Newton插值公式及其余项,例： 已知x=1,4,9的平方根为1,2,3，利用牛顿基本差商 公式求 的近似值。,解：,从而得二阶牛顿基本差商公式为,因此计算得 的近似值为,复习：,多项式插值问题：寻找一个n次多项式，满足下列插值条件：,函数,在插值节点上的取值为：,Lagrange 插值方法,其中：,余项公式：,Newton 插值方法,其中：,余项公式：,练习,上面我们讨论了节点任意分布的插值公式，但实际应用时经常会遇到等距节点的情形，这时插值公式可以进一步简化，计算也简单多了，为了给出等距节点的插值公式，我们先来看一个新概念；,向前 向后 中心,差分算子,不在函数表上，要用到函数表上的值,利用一阶差分可以定义二阶差分,差分,可以用归纳法证明,如,差分,差分表,差分与函数值之间的关系,归纳可知，k阶差商可表示为,在等距节点的前提下,差商与差分有如下关系,依此类推,由差商与向前差分的关系,Newton插值基本公式为,如果假设,1.Newton向前(差分)插值公式,则插值公式,化为,其余项,化为,称,为Newton向前插值公式,插值余项为,Newton插值法的优点是计算较简单,尤其是增加节点时, 计算只要增加一项,这点是Lagrange插值无法比的.,但是
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