《薛定谔方程》PPT课件.ppt

第 2 章 薛定谔方程,2.1 薛定谔方程,2.1 薛定谔方程,一. 薛定谔方程,式中 m粒子的质量 U粒子在外力场中 的势能函数（所处条件） 2拉普拉斯算符,奥地利物理学家 薛定谔 （Schrodinger 1887-1961）,1933年薛定谔获 诺贝尔物理奖。,（3）它并非推导所得，最初是假设，后来通过实验 检验了它的正确性，地位相当“牛顿定律”。,（1）它是一个复数偏微分方程； 其解波函数 是一个复函数。,说明：,（2）它的解满足态的叠加原理,若 和 是薛定谔方程的解，,则 也是薛定谔方程的解。,因为薛定谔方程是线性偏微分方程。,（4）它是非相对论形式的方程。,二 .定态薛定谔方程,常常遇到微观粒子的势能函数 U 与时间 t 无关的稳定的势场问题，这称为定态问题。, 自由运动粒子U = 0, 氢原子中的电子,这时波函数 可以用分离变量法分离为 一个空间坐标的函数和一个时间函数的 乘积。,例如：,以一维运动的情况为例，波函数可写成,将其代入薛定谔方程,得,两边除以 ，得,= E (常数),可得只含变量 t 和只含变量 x 的两个方程：, 一个是变量为t 的方程,其解为,（A 是待定复常数； E 有能量量纲,以后可知是 粒子的能量：动能 + 势能，不包括静能）,（）,（）, 一个是变量为x 的方程,可以把它先解出来：,其解 (x) 与粒子所处的条件（外力场U）有关。,即定态时，概率密度可以用 (x)2来表示， (x)称为定态波函数，,小结：对势能函数 U 与时间t 无关的定态问题， 只须解定态薛定谔方程（）式，再乘上（）式 即可得总波函数 (x, t )。,由上面可以看出:,上面（）式是 (x)满足的方程， 称为定态薛定谔方程。,例.一维自由运动微观粒子的波函数。,其定态薛定谔方程为,二阶常系数 常微分方程,E 是能量（动能）,令 ，P 是动量。,它有两个特解:,所以，有一定能量和一定动量的一维自由运动 微观粒子的波函数有如下两个解:,得,沿 + x 方向的单色平面波,沿 - x 方向的单色平面波,动量有最小的不确定度，坐标就有最大的不确定度。,在自由运动区域，各点粒子出现的概率都相等。,2.2 无限深方势阱中的粒子,2.2 无限深方势阱中粒子,一.一维无限深方势阱中粒子的 波函数与能量,金属中自由电子的运动,是被限制在一个有限的范围 称为束缚态。,作为粗略的近似，我们认为这些电子在一维 无限深方势阱中运动：,我们来具体求出微观粒子在此势阱中的波函数解。,按照一维定态薛定谔方程,（）,这种势场表示粒子可以在 势阱中运动，但不能越出势阱， （因为 , 区域的势能为无穷大）。,它的势能函数为,由于在 I、 III 两区的 U(x) ， 显然应 = 0; = 0，否则方程就无意义了。,由于 区的 U(x)= 0，因此该区薛定谔方程为,令,则有,这也说明粒子不可能在这两个区域出现， 和经典概念相符。,（）,A、k 可由波函数应满足的条件来决定：,有限、单值自然满足。,连续？,这一方程的通解为波动解,(可将此通解代入上面方程证明之),由于,而在I、 III 两区， ，所以有,可得,式中 是整数。,上两式相加得,记作,式中 也是整数。,-偶函数,-奇函数,的其他数值所对应的解都不是独立的， 因为它们和 、 的形式一样，只可能有正负 的区别，这并不影响 ,即概率密度的分布不变。,所以有, 仍利用,即 ka = (2n+1) ， n=0,1,2,3, （2）,将（1）（2）写成一个式子，为,ka = n， n=1,2,3,4,5, 6,所以有,为了求出 A，我们用波函数的归一化条件，例如,可得,因为,ka = n， n=1,2,3,4,5, 6,于是对每一个 n 值，波函数的空间部分为,这些波函数也称为能量本征函数。,每个能量有确定值的状态称为粒子的能量本征态。,与 n =1,2,3.4 相应的波函数n 及概率密度 图 形如下，除两个端点外，驻波的节点数= n -1.,En,呈驻波状,1.能量只能取分立值 是解薛定谔方程自然而然得到的结论。,2.当 m 很大（宏观粒子）时，,讨论:,按经典理论粒子的“能量连续”；,但量子力学束缚态能量只能取分立值（能级）,能量连续， 量子 经典。,3.最低能量不为零（称零点能） 符合不确定关系。,4.势阱内各处粒子出现的概率呈周期性分布 与经典粒子不同。,但是，当 n 很大时，势阱内各处粒子出现的 概率可以说是几乎相同的（忽略有限个节 点） 。,在大量子数的极限情况下，量子体系行为将 趋于与经典行为一致，这称为“对应原理”。,5.由,还可以得到势阱中粒子的动量和波长。,正说明势阱中粒子的每一个能量本征态正好对应于 德布罗意波的一个特定波长的驻波。,n =1,2,3,4,5, 6,宇称的概念:,即波函数“反演变换”变号，称为具有奇宇称， 并以宇称量子数为-1作为标记。,即波函数“反演变换”不变号，称为具有偶宇称， 并以宇称量子数为+1作为标记。,2.3 势垒穿透,2.3 势垒穿透,设微观粒子有一定 能量 E (设0 E U0 )，,我们也应分区求解其波函数：,金属中自由电子逸出金属表面时，实际上遇到的 是一个高度有限的势垒。,下面考虑这样的势场：,区：,（E U ,是波动解）,令,第二项是 x=0 势垒处反射的波。,区：,令,“有限”要求 D = 0，,（E U ,是衰减解）,按经典力学粒子不可能在 区出现！,按量子力学粒子仍有可能在 区出现！,可以想见，原来在区的粒子也可以在势垒 的另一边 区出现！这在经典物理是不可想象的！,若势能曲线 如图所示：,有一个有限 宽度的“势垒”。,这称为“量子隧道效应”。,区是波动解，,区是指数解，,区也是波动解，但是只有向+x方向的波； 没有向-x方向的反射波了。,例如， 放射性核的 粒子衰变, 隧道二极管, 扫描隧穿显微镜,若 m、a、( U0 E ) 越小，则穿透率 T 越大。,实验完全证实了“量子隧道效应”现象的存在。,计算结果表明（不证）， 粒子的穿透率为,扫描隧道显微镜,只要将原子线度的极细探针以及被研究物质的表面作为两个电极，当样品与针尖的距离非常接近时，它们的表面电子云就可能重叠。,若在样品与针尖之间加一微小电压Ub ，电子就会穿过电极间的势垒形成隧道电流。,隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。若控制隧道电流不变，则探针在垂直于样品方向上的高度变化就能反映样品表面的起伏；若控制针尖高度不变，通过隧道电流的变化可得到表面态密度的分布。,由于电子的隧道效应，金属中的电子并不完全局限于 表面边界之内，电子密度并不在表面边界处突变为零， 而是在表面以外呈指数形式衰减，衰减长度越为1nm。,神经细胞的STM扫描图像,搬运单个原子,1993年 用STM 技术镶嵌了48个 Fe 原子的 Cu 表 面的扫描隧道显微镜照片。Fe 原子形成“电子围栏” （半径7.13nm），可看到围栏中的同心圆状驻波， 直观地证实了电子的波动性。,由于这一贡献，宾尼、罗赫尔和鲁斯卡 三人分享了 1986年度的诺贝尔物理奖。,前两人是扫描隧穿显微镜的直接发明者， 第三人是 1932年电子显微镜的发明者， 这里是为了追朔他的功劳。,2.4 谐振子,2.4 谐振子,如果微观粒子的势能函数是,就应该解一维定态薛定谔方程,求解超出本课程的范围。结论：, 二阶变系数 常微分方程,可用级数展开法解上述方程。 波函数应满足标准条件（连续、有限、单值、归一）,一. 能量,能量量子化、 能级等间距。,能量间隔 h （与黑体辐射理论同）, 但有零点能。,