2020版高考数学第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入第3节平面向量的数量积与平面向量应用举例教学案.docx

第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例考纲传真1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题1向量的夹角已知两个非零向量a和b，作a，b，则AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是：0，2平面向量的数量积定义设两个非零向量a，b的夹角为，则数量|a|b|cos 叫做a与b的数量积，记作ab投影|a|cos 叫做向量a在b方向上的投影，|b|cos 叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积3.平面向量数量积的运算律(1)交换律：abba；(2)数乘结合律：(a)b(ab)a(b)；(3)分配律：a(bc)abac.4平面向量数量积的性质及其坐标表示设非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，a，b结论几何表示坐标表示模|a|a|数量积ab|a|b|cos abx1x2y1y2夹角cos cos abab0x1x2y1y20|ab|与|a|b|的关系|ab|a|b|x1x2y1y2|常用结论1平面向量数量积运算的常用公式(1)(ab)(ab)a2b2；(2)(ab)2a22abb2.2两个向量a，b的夹角为锐角ab0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角ab0且a，b不共线基础自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)两个向量的数量积是一个实数，向量的数乘运算的运算结果是向量()(2)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量()(3)由ab0可得a0或b0.()(4)(ab)ca(bc)()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)已知|a|6，|b|3，向量a在b方向上的投影是4，则ab为()A12B8C8D2Aab|a|b|cosa，b|b|a|cosa，b3412.3已知向量a(1，m)，b(3，2)，且(ab)b，则m()A8 B6 C6 D8Da(1，m)，b(3，2)，ab(4，m2)，由(ab)b可得(ab)b122m4162m0，即m8.4已知a，b是平面向量，如果|a|3，|b|4，|ab|2，那么|ab|()A. B7 C5 D.A|a|3，|b|4，|ab|2，a2b22ab4，即2ab21.|ab|.5已知向量a(1，)，b(，1)，则a与b夹角的大小为_由题意得|a|2，|b|2，ab112.设a与b的夹角为，则cos .0，.平面向量数量积的运算1已知点A(1,1)，B(1,2)，C(2，1)，D(3,4)，则向量在方向上的投影是()A3BC3D.A依题意得，(2，1)，(5,5)，15，|，因此向量在方向上的投影是3，故选A.2在ABC中，AB4，BC6，ABC，D是AC的中点，E在BC上，且AEBD，则()A16 B12 C8 D4A建立如图所示的平面直角坐标系，则A(4,0)，B(0,0)，C(0,6)，D(2,3)设E(0，b)，因为AEBD，所以0，即(4，b)(2,3)0，所以b，所以E，所以16，故选A.3已知菱形ABCD的边长为6，ABD30，点E，F分别在边BC，DC上，BC2BE，CDCF.若9，则的值为()A2 B3 C4 D5B依题意得，因此22，于是有6262cos 609，由此解得3，故选B.规律方法1.向量数量积的两种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即ab|a|b|cosa，b；(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2.2.解决涉及几何图形的向量的数量积运算问题时，常利用解析法，巧妙构造坐标系，利用坐标求解.平面向量的夹角与模考法1平面向量的模【例1】(1)设向量a，b满足|a|2，|b|ab|3，则|a2b|_.(2)已知向量a(cos ，sin )，b(，1)，则|2ab|的最大值为_(1)4(2)4(1)因为|a|2，|b|ab|3，所以(ab)2|a|22ab|b|2492ab9，所以ab2，所以|a2b|4.(2)由题意得|a|1，|b|2，absin cos 2sin，所以|2ab|24|a|2|b|24ab412228sin88sin，所以|2ab|2的最大值为88(1)16，故|2ab|的最大值为4(此时2k，kZ)考法2平面向量的夹角【例2】(1)若非零向量a，b满足|a|b|，且(ab)(3a2b)，则a与b的夹角为()A. B. C. D(2)(2018辽南一模)设向量a(1，)，b(m，)，且a，b的夹角为锐角，则实数m的取值范围是_(1)A(2)(3,1)(1，)(1)(ab)(3a2b)，(ab)(3a2b)0，即3a2ab2b20，ab3a22b2，又|a|b|，cosa，b，又a，b0，a与b的夹角为，故选A.(2)由a，b的夹角是锐角得ab0且a，b不共线，则解得m3且m1，即实数m的取值范围为(3,1)(1，)规律方法1.求解平面向量模的方法(1)写出有关向量的坐标，利用公式|a|(2)当利用向量的线性运算和向量的数量积公式进行求解，2.求平面向量的夹角的方法(1)定义法：注意的取值范围为0，；(2)坐标法：若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 (3)解三角形法：可以把所求两向量的夹角放到三角形中进行求解. (1)(2018广州一模)已知向量a(m,2)，b(1,1)，若|ab|a|b|，则实数m_.(2)(2017山东高考)已知e1，e2是互相垂直的单位向量若e1e2与e1e2的夹角为60，则实数的值是_(1)2(2)(1)|ab|a|b|两边平方，得2ab2|a|b|，即m2，解得m2.(2)由题意知|e1|e2|1，e1e20，|e1e2|2.同理|e1e2|.所以cos 60，解得.平面向量的应用【例3】(1)在ABC中，已知向量(2,2)，|2，4，则ABC的面积为()A4 B5 C2 D3(2)(2017全国卷)已知ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则()的最小值是()A2 B C D1(1)C(2)B(1)(2,2)，|2，|cos A22cos A4，cos A，又A(0，)，sin A，SABC|sin A2，故选C.(2)建立坐标系如图所示，则A，B，C三点的坐标分别为A(0，)，B(1,0)，C(1,0)设P点的坐标为(x，y)，则(x，y)，(1x，y)，(1x，y)，()(x，y)(2x，2y)2(x2y2y)22.当且仅当x0，y时，()取得最小值，最小值为.故选B.规律方法1.用向量法解决平面(解析)几何问题的两种方法：(1)几何法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算；(2)坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算一般地，存在坐标系或易建坐标系的题目适合用坐标法2平面向量与三角函数的综合问题，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式然后求解 (1)(2019厦门模拟)平行四边形ABCD中，AB4，AD2，4，点P在边CD上，则的取值范围是()A1,8B1，)C0,8 D1,0(2)(2019沈阳模拟)已知向量a，b满足|a|b|ab2且(ac)(bc)0，则|2bc|的最大值为_(1)A(2)1(1)由题意得|cosBAD4，解得BAD.以A为原点，AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系(图略)，则A(0,0)，B(4,0)，C(5，)，D(1，)，因为点P在边CD上，所以不妨设点P的坐标为(a，)(1a5)，则(a，)(4a，)a24a3(a2)21，则当a2时，取得最小值1；当a5时，取得最大值8，故选A.(2)|a|b|ab2，cosa，b，a，b60.设a(2,0)，b(1，)，c，(ac)(bc)0，点C在以AB为直径的圆M上，其中M，半径r1.延长OB到D，使得2b(图略)，则D(2,2)2bc，|2bc|的最大值为CD的最大值DM，CD的最大值为DMr1.1(2018全国卷)已知向量a，b满足|a|1，ab1，则a(2ab)()A4B3C2D0Ba(2ab)2a2ab2(1)3，故选B.2(2016全国卷)已知向量，则ABC()A30 B45 C60 D120A因为，所以.又因为|cosABC11cosABC，所以cosABC.又0ABC180，所以ABC30.故选A.3(2014全国卷)设向量a，b满足|ab|，|ab|，则ab()A1 B2 C3 D5A|ab|