大学微积分经济管理类.ppt

微 积 分,章学诚 刘西垣 编著,普通高等教育“十一五”家级规划教材,(经济管理类),第四章, 2 ,第四章 微分中值定理和导数的应用,4.3,4.5,4.2,微分中值定理 洛必达法则 函数的单调性 曲线的上、 下凸性和拐点 函数的极值与最值 渐近线和函数作图,4.4,4.6,4.1, 3 ,第四章 微分中值定理和导数的应用,数学是科学的大门和钥匙. 培根（R.Bacon，12141294） 数学是科学和技术的基础；没有强有力的数学就不可能有强有力的科学 美国国家研究委员会, 4 ,小 知 识,R.培根，英国方济各会修士，哲学家、科学家和教育改革家，号称“万能博士”他深知获取可靠知识的方法在数学、力学、 光学、天文学、地理学、化学、音乐、医学、文法、哲学、伦理学和神学等方面都有不平凡的著作，他强调数学和实验，在他的著作大作中曾企图证明所有科学都需要数学. 但他也充分认识到实验对科学发现和验证理论的作用和重要性, 并预见科学造福于人类的伟大前景., 5 ,导数概念刻画了函数的一种局部特性联系导数和函数的纽带是微分中值定理, 它是用导数来研究函数性态的理论基础, 从而也成为导数应用的理论基础 本章首先介绍微分中值定理, 随后以之为基础介绍了导数的几个重要应用：求未定式的值（洛必达法则）, 函数的单调性和曲线的上、下凸性（函数的凹凸性）及拐点的判定, 函数的极值和最值的求法, 以及绘制函数图形的基本方法, 6 ,4.1 微分中值定理,4.1.1,4.1.2,4.1.3,4.1.4,罗尔定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 泰勒公式, 7 ,4.1.1 罗尔定理 首先介绍发现于微积分产生之初的一个著名定理费马引理, 它具有重要的应用 费马 (Fermat) 引理 设函数 y = f (x) 在点 x0 的一个邻域 U(x0) 上有定义, 并在 x0 点可导如果 f (x) f (x0) (或 f (x) f (x0) (xU(x0)， 则 f (x0) = 0 这个引理的几何含义是：在引理的假设下, 点 P0( x0, f ( x0) ) 位于曲线 C：y = f (x) (xU(x0) 的 “谷底”（或 “峰顶”）（如图 4-1）, 这时 C 在点P0 的切线必是水平的, 8 ,费马 (Fermat) 引理 设函数 y = f (x) 在点 x0 的一个邻域 U(x0) 上有定义, 并在 x0 点可导如果 f (x) f (x0) (或 f (x) f (x0) (xU(x0)， 则 f (x0) = 0 证 设自变量 x 在点 x0 处有改变量x, 且 x0x U(x0),由假设, f (x0 x) f (x0), 从而函数 f (x) 相应的增量 y = f (x0x) f (x0) 0, 故当x 0 时 当x 0 时 由极限的保号性质, 有 因 f (x) 在 x0 可导, 故 所以必有 f (x0) = 0.,对于 f (x) f (x0) (x U (x0) 的情形, 可以同样证明., 9 ,小 知 识,费马(P.deFermat,16011665), 法国数学家与笛卡儿(R.Descartes,15961650)同时创立了解析几何，也是创立微积分的一位先驱1629年他创造了求切线的方法,但直到1637年才在他的手稿求最大值和最小值的方法中被发现.费马初学法律,博览群书,年近30岁才利用公务之余钻研数学，在数论、概率论等方面均有重大贡献.被誉为“业余数学家之王”,他只发表了很少几篇论文,在去世后，其子把他遗留在旧纸堆里、书页空白处和给朋友的书信中的很多论述汇集成书，于1679年分两卷出版., 10 ,通常称导数 f (x) 等于零的点为函数 f (x) 的驻点（或稳定点、临界点）. 所以费马引理中的点 x0 是 f (x) 的驻点 罗尔 (Rolle) 定理 设函数 y = f (x) 在 a, b 上连续, 在 (a,b) 上可导, 且 f (a) = f (b), 则 (a, b), 使得 f () = 0 这个定理的几何意义是：如果光 滑曲线：y = f (x) (xa, b) 的两个 端点 A 和 B 等高, 即其连线 AB 是水 平的, 则在上必有一点C(, f () (a, b) ), 在 C 点的切线是水 平的（如图 4-2）,图 4-2, 11 ,罗尔 (Rolle) 定理 设函数 y = f (x) 在 a, b 上连续, 在 (a,b) 上可导, 且 f (a) = f (b), 则 (a, b), 使得 f () = 0 从几何上来看, 这时的曲线 或者就是直线段 AB, 此时 AB 上的任意一点的切线都是水平的；若 不是直线段, 则 必有 “谷底” 或 “峰顶”, 设这样的点为 C(, f (), 则(a,b), 且由费马引理, 必有 f () = 0 罗尔定理只是说明在给定的条件下, 函数 f (x) 在 (a,b) 中必有驻点, 没有说明 如何确定以及有多少个, 但尽管如此, 定理还是有其重要的理论价值,定理的证明就是上述几何事实的解析表述, 在此从略.,图 4-2, 12 ,小 知 识,罗尔(MRolle,16521719)，法国数学家，科学院院士，他在1691年证明了罗尔定理, 13 ,例 1 试判定函数 f (x) = ln sin x 是否满足罗尔定理的条件, 若满足, 求出它的驻点 解 在 上 sin x 0, 所以函数 f (x) = ln sin x 在 上有意义, 这是一个初等函数, 从而是连续函数, 它在 上 可导, 其导数为 又 故 f (x) 满足罗尔定理的条件, 从方程 可解 得 , 它就是函数 f (x) 的驻点, 14 ,例 2 设函数 f (x) 在 0,1 上连续, 在 (0,1) 上可导, 且 f (1) = 0. 证明：存在 (0, 1) 使得 证 需证结果可改写为 f () f () = (x f (x) | x = = 0 故可考虑函数 F(x) = x f (x) 它在0, 1上满足罗尔定理的条件, 从而存在 (0, 1) 使得 F () = f ()f () = 0, 15 ,例 3 设 f (x) 在 a, b 上连续, 在 (a, b) 上可导, 且 f (a) = f (b) = 0. 证明：存在 (a, b) 使得 f () f () = 0 证 若拟用罗尔定理证明上述结果, 就需将它化成某一函数之导数等于零的形式为此引进函数 F(x) = ex f (x) 显然, F(x) 在 a,b 上满足罗尔定理的条件, 故必存在(a,b) 使得 F () = (ex f (x) | x = =ef () ef () = e( f () f () = 0 由于 e 0, 故得 f () f () = 0, 16 ,4.1.2 拉格朗日中值定理 罗尔定理中的条件 f (a) = f (b) 很特殊, 一般的函数不满足这个条件, 因此在大多数场合罗尔定理不能直接应用由此自然会想到要去掉这一条件, 从而导致拉格朗日中值定理 拉格朗日 (Lagrange) 中值定理 设函数 f (x) 在a, b上连续, 在 (a,b) 上可导, 则 (a, b), 使得 (4.1) 或 f (b) f (a) = f ()(ba) (a b) (4.2), 17 ,拉格朗日 (Lagrange) 中值定理 设函数 f (x) 在a,b上连续, 在(a,b) 上可导, 则 (a,b), 使得 (4.1) 这个定理的几何意义是：对于 曲线：y = f (x) (xa,b), 其端点 为 A(a, f (a) 和 B(b, f (b), 公式(4.1) 的左边表示弦 AB 的斜率, 右边表示 在点C(, f ()的切线的斜率(如 图 4-3), (4.1) 式表明这切线与直线 AB 平行由于 是光滑的连续曲线, 这样的点 C 一定存在,图 4-3, 18 ,拉格朗日 (Lagrange) 中值定理 设函数 f (x) 在a,b上连续, 在(a,b) 上可导, 则 (a,b), 使得 (4.1) 容易看到, 罗尔定理是拉格朗 日定理的特殊情形 证 可用罗尔定理来证明这个 定理由于线段 AB 与曲线 有共 同的端点, 表示 和 AB 的两个函 数之差定能满足罗尔定理的条件.,图 4-3, 19 ,拉格朗日 (Lagrange) 中值定理 设函数 f (x) 在a,b上连续, 在(a,b) 上可导, 则 (a,b), 使得 (4.1) 续证 从直线 AB 的方程 或 作新的函数,图 4-3, 20 ,拉格朗日 (Lagrange) 中值定理 设函数 f (x) 在a,b上连续, 在(a,b) 上可导, 则 (a,b), 使得 (4.1) 续证 作新的函数 显然 (x) 在a,b上连续, 在 (a,b) 上可导, 其导数为 且 (a) = 0, (b) = 0. (x) (xa,b) 符合罗尔定理的条件, 所以 (a,b) 使得 这就得到(4.1)式., 21 ,小 知 识,拉格朗日(J.L.Lagrange,17361813),法国数学家,力学家,天文学家.出生于意大利,在中学时代就对数学和天文学深感兴趣,进入他的故乡都灵的皇家炮兵学校学习后,读了天文学家哈雷介绍牛顿的微积分的一篇短文,开始钻研数学.19岁任该校数学教授,23岁被选为柏林科学院院士,30岁任柏林科学院主席兼物理数学所所长.德皇腓特烈大帝认为在“欧洲最大的王”的宫廷里应当有“欧洲最大的数学家”,于是1766年拉格朗日应邀赴德皇宫任职,长达20年,1786年德皇去世后应法王路易十六的邀请定居巴黎,直至去世., 22 ,小 知 识,拉格朗日的工作涉及许多数学分支（包括数论，代数方程论，微积分，微分方程，变分法等）和物理分支，他的主要兴趣是将引力定律应用于行星运动他的著作分析力学是一部科学经典，但在当时却难以找到一个出版商，他是分析力学的创始人他在为微积分奠定基础方面作了独特的尝试，在数学史上被认为是对分析数学的发展产生全面影响的数学家之一, 23 ,(4.1) f (b) f (a) = f ()(b a) (a b) (4.2) 把 (4.1) 或 (4.2) 式中的 a, b 互换, 公式不变, 故当 b a 时, (4.1) 和 (4.2) 式仍然成立, 24 ,(4.1) f (b) f (a) = f ()(b a) (a b) (4.2) 公式 (4.1) 或 (4.2) 称为拉格朗日中值公式它也可写成 f (x2) f (x1) = f ()(x2 x1) (介于 x1, x2 之间). (4.3) 拉格朗日定理的条件一般函数都能满足, 所以应用比较广泛, 在微分学中占有重要地位, 故有时也称为微分中值定理 与罗尔定理一样拉格朗日定理只是断定了适合 (4.1) 式的中值的存在性, 并没有给出确定的方法或说明这种有多少个, 但它仍然具有重要的理论意义, 25 ,例 4 试就函数 f (x) = ln x (x1, e) 验证拉格朗日定理 解 f (x) = ln x 是基本初等函数, 在1, e上连续, 在 (1, e) 上可导, 其导数为 拉格朗日中值公式 (4.1) 此时为 而 f (e) = ln e = 1, f (1) = ln 1 = 0, 故上式即为 或= e1 易知 1 e, 所以拉格朗日定理的结论成立,拉格朗日中值定理 设函数 f (x) 在a, b上连续, 在 (a,b) 上可导, 则 (a, b), 使得 (4.1), 26 ,从拉格朗日定理可以得到两个重要推论 推论 1 如果函数 f (x) 在区间 I 上的导数恒等于零, 则 f (x) 在 I 上是一个常数. 证 由假设, f (x) 在 I 上满足拉格朗日定理的条件. 任取 x1,x2 I, x1 x2, 由拉格朗日中值公式 (4.3), 有 f (x2) f (x1) = f ()(x2 x1) (x1 x2 ). 根据假设, f (x) = 0 (x I ), 从而 f () = 0, 由此 f ( x2 ) f ( x1 ) = 0, 即 f ( x2 ) = f ( x1 ). 这说明 f ( x ) 在 I 中任意两点的函数值总相等, 所以在 I 上 f (x) 是一个常数. f (x2) f (x1) = f ()(x2 x1) (介于 x1, x2 之间). (4.3),从上述证明可以看到, 只要知道满足拉格朗日中值公式的存在就足够了, 无需知道的具体数值是什么., 27 ,从拉格朗日定理可以得到两个重要推论 推论 1 如果函数 f (x) 在区间 I 上的导数恒等于零, 则 f (x) 在 I 上是一个常数. 由第三章可知: 常数的导数恒等于零这个推论告诉我们反之亦真所以 f (x) 0 f (x) = C (常数)., 28 ,例 5 证明： 证 因为 所以, 对任意的 x R, 当 x = 0 时 arctan x = 0, 从而 C = 0. 这就得到要证的等式., 29 ,推论 2 假设在区间 I 上两个函数 f (x) 和 g(x) 的导数处处相等, 则 f (x) 与 g(x) 至多相差一个常数 证 作函数 (x) = f (x) - g(x). 由于 f (x) = g(x) (xI), 所以 (x) = f (x) - g(x) = 0 (xI ). 由推论 1, (x) = C (常数), 即 f (x) - g(x) = C. 推论 2 在积分学中有重要应用 推论 1 如果函数 f (x) 在区间 I 上的导数恒等于零, 则 f (x) 在 I 上是一个常数., 30 ,例 6 证明不等式： 证 对于任意的数 t 0, 函数 y = ln (1 + x) 在0, t上满足拉格朗日定理的条件, 由此 (0, t) 使得 由于 0 t, 故 所以 因为 t 是任意正数, 不等式得证, 31 ,4.1.3 柯西中值定理 拉格朗日中值定理还可以推广到两个函数的情形, 即有 柯西 (Cauchy) 中值定理 设函数 f (x) 和 g(x) 都在a,b上连续, 在(a,b)上可导, 且g(x)0 (x(a,b), 则 (a,b) 使得 (4.4) 证 由拉格朗日定理, 在条件 g(x)0 下, g(b) - g(a) = g() (b - a) 0 (a b). 作函数, 32 ,柯西 (Cauchy) 中值定理 设函数 f (x) 和 g(x) 都在a,b上连续, 在(a,b)上可导, 且g(x)0 (x(a,b), 则 (a,b) 使得 (4.4) 续证 已作函数 易验证 F(x) 在 a,b 上满足罗尔定理条件, 从而存在(a,b) 使得 F () = 0, 即 由于 g() 0, 这就得到 (4.4). 当 g(x) = x 时, 柯西中值定理就是拉格朗日中值定理., 33 ,例 7 设 b a 0, 函数 f (x) 在 a,b 上连续, 在 (a,b) 上可导, 证明：存在(a,b) 使得 证 上式可改写为 故若设 则 F(x) 和 G(x) 在 a,b 上满足 柯西中值定理的条件, 所以必 (a,b) 使得 而 从而 又 问题得证., 34 ,4.1.4 泰勒公式 应用柯西中值定理可以证明下述定理, 该定理对于更精细地研究函数具有重要意义. 泰勒 (Taylor) 定理 设 f (x) 在区间 (a,b) 上有连续的 n + 1 阶导数, x0(a,b), 则有 (4.5) 其中是介于 x0 和 x 之间的某个值., 35 ,泰勒定理 设 f (x) 在区间 (a,b) 上有连续的 n + 1 阶导数, x0(a,b), 则有 (x(a,b), 其中是介于 x0 和 x 之间的某个值. 证 不妨设 x0 x 的情况与之完全类似), 考虑函数 和 G(t) = (x-t)n +1, 显然, F(t)和G(t)在x0,x上连续, 在(x0,x)上可导, 且 F(x) = G(x) = 0, G(x0) = (x-x0)n +1, G(t) = - (n+1)(x - t)n. 并在 (x0,x) 上 G(t) 0.,(4.5),所以 F(t) 和 G(t) 在 x0,x 上满足柯西中值定理条件, 从而存在(x0,x), 使得 即, 36 ,泰勒定理 设 f (x) 在区间 (a,b) 上有连续的 n + 1 阶导数, x0(a,b), 则有 (x(a,b), 其中是介于 x0 和 x 之间的某个值. 因此 此即公式 (4.5).,(4.5),所以 F(t) 和 G(t) 在 x0,x 上满足柯西中值定理条件, 从而存在(x0,x), 使得 即,(4.5) 常称为 f (x) 在点 x0 的 n 阶泰勒公式. 当 n = 0 时, (4.5) 就是拉格朗日中值公式, 故泰勒定理是拉格朗日中值定理的推广., 37 ,泰勒定理 设 f (x) 在区间 (a,b) 上有连续的 n + 1 阶导数, x0(a,b), 则有 (x(a,b), 其中是介于 x0 和 x 之间的某个值. 当 x x0 时, 它表明, 当用 n 次多项式 作为 f (x) 的近似时, 其误差将随着 n 的增加而很快减小. 当 n = 1 时, (4.5) 就是用微分 d f |x = x0 逼近增量y = f (x) - f (x0) 的近似计算公式, 所以公式 (4.5) 在函数值的近似计算中有用.,(4.5),并且在进一步的附加条件下, 可以得到函数的另一种表示形式 (即用无穷级数表示)., 38 ,小 知 识,泰勒(B.Taylor,16851731),英国数学家,18世纪早期英国牛顿学派最优秀的代表人物之一,17141718年任皇家学会秘书,是有限差分理论的奠基人.在1715年出版的著作正的和反的增量方法中陈述了他在1712年得到的,后又以其名命名的定理. 书中还讨论微积分在一系列物理问题中的应用.这个定理在1670年最早为J.格雷戈里(J.Gregory,16381675)和1673年莱布尼茨独立发现,但他们都未发表.J.伯努利(John Bernoulli)于1694年在一杂志上首先公开发表了这个结果. 泰勒知道，但没有引证，两者的“证明”也不同., 39 ,例 8 求下列函数在 x = 0 点的 n 阶泰勒公式： 1) ex; 2) ln(1+x). 解 1) 由于(ex)(k) = ex (kN), 函数 ex 适合泰勒定理的条件, 在 x = 0 点 ex = 1, 故由 (4.5) 得 (介于 0 和 x 之间) (4.5), 40 ,例 8 求下列函数在 x = 0 点的 n 阶泰勒公式： 1) ex; 2) ln(1+x). 解 2) 设 f (x) = ln(1+x), 则 用数学归纳法可以证明 f (k)(x) = (- 1) k - 1 (k - 1)! (1 + x) - k (kN). 所以 f (k)(0) = (-1)k-1(k-1)! (kN). 代入 (4.5) 即得 其中介于 0 和 x 之间, 或=x (01), 故上式即为,(4.5), 41 ,4.2 洛必达法则,4.2.1,4.2.2,型和 型未定式 其他类型的未定式, 42 ,当 x a (a 可以是 ) 时, 如果 f (x) 和 g(x) 都趋近于 0 (或), 则极限 就不能用极限的运算法则来计算, 这个极限可能 存在, 也可能不存在 如 f (x) = sin x, g(x) = x, 而对于函数 当 x 0 时也有 f (x) 0, g(x) 0, 但 不存在 这种极限我们称为未定式, 并简记为 或 , 下面介绍计 算这两种未定式的一种方法, 43 ,4.2.1 型和 型未定式 定理 4.1（洛必达法则） 假设函数 f (x)和 g(x)满足下列条件： 1) f (x), g(x) 都在 a 点的某去心邻域 上可导, 且g(x)0 2) 当 x a 时 f (x) 0, g(x) 0 (或 f (x) , g(x) ); 3) 存在（也可以是）, 则, 44 ,定理 4.1 (洛必达法则) 假设函数 f (x) 和 g(x) 满足下列条件： 1) f (x), g(x) 都在 a 点的某去心 邻域 上可导, 且 g(x)0 2) 当 x a 时 f (x) 0, g(x) 0 (或 f (x) , g(x) ); 3) 存在(也可以是), 则,证 由于 与 f (x), g(x)在 a 点的值无关, 不妨可设 f (a) = 0, g(a)= 0, 则 f (x), g(x) 在 a 的某一邻域内连续. 设 由定理的条件1), f (x) 和 g(x) 在 a,x (或 x,a) 上满足柯西中值定理的条件, 从而存在(a,x) (或(x,a), 使得 当 x a 时 a, 所以, 45 ,定理 4.1 (洛必达法则) 假设函数 f (x) 和 g(x) 满足下列条件： 1) f (x), g(x) 都在 a 点的某去心 邻域 上可导, 且 g(x)0 2) 当 x a 时 f (x) 0, g(x) 0 (或 f (x) , g(x) ); 3) 存在(也可以是), 则,对于x a 时 f (x) , g(x) 的情形, 由于证明比较复杂, 在此从略., 46 ,定理 4.1 (洛必达法则) 假设函数 f (x) 和 g(x) 满足下列条件： 1) f (x), g(x) 都在 a 点的某去心 邻域 上可导, 且 g(x)0 2) 当 x a 时 f (x) 0, g(x) 0 (或 f (x) , g(x) ); 3) 存在(也可以是), 则,这个定理说明: 在条件 1)和 2)下, 只要 (或), 则 必存在, 且就等于A (或). 所以, 为了确定未定式 的值, 只要把分子、分母分别求导再取极限, 在这个极限存在 (或是) 的情况下, 就可确定原来未定式的值 (或是). 这种确定未定式的值的方法称为洛必达法则, 47 ,定理 4.1 (洛必达法则) 假设函数 f (x) 和 g(x) 满足下列条件： 1) f (x), g(x) 都在 a 点的某去心 邻域 上可导, 且 g(x)0 2) 当 x a 时 f (x) 0, g(x) 0 (或 f (x) , g(x) ); 3) 存在(也可以是), 则,用洛必达法则时必须注意： 1 必须是 型或 型 的; 2 存在 (或是) 只是 存在的充分条件而不是必要 条件即如果 不存在, 不能 立即断定 不存在, 这时还得 用其他方法来判别这个极限是否存在., 48 ,定理 4.1 (洛必达法则) 假设函数 f (x) 和 g(x) 满足下列条件： 1) f (x), g(x) 都在 a 点的某去心 邻域 上可导, 且 g(x)0 2) 当 x a 时 f (x) 0, g(x) 0 (或 f (x) , g(x) ); 3) 存在(也可以是), 则,在洛必达法则中 x a 可以改成 x a +, 或 x a -, 或 x + 和 x -, 这时只要把定理中 a 的邻 域 作相应的改动即可 在定理中的条件满足的情况下, 洛必达法则可以多次应用, 49 ,小 知 识,洛必达(G.F.A.de LHospital,16611704),法国数学家，科学院院士，出身贵族，曾为骑兵军官.因视力不佳,转向学术研究.早年就显露出数学才华,曾解出了当时数学家提出的两个著名数学难题. 1696年出版了第一本系统论述微分学的教科书无穷小分析，对传播新创立的微积分学起了很大的作,用, 其中第九章论述了后人所称的“洛必达法则”,其实这是他的老师约翰伯努利(John Bernoulli,16671748)在1694年给他的一封信中告诉他的, 50 ,例 1 求 解 当 x 0 时, 1 + sin x 1, 故由极限的运算法则, 若套用洛必达法则, 就会导致 的错误结果这是因为 并不是 型未定式, 定理中 的条件 2) 不满足所以不能用洛必达法则, 51 ,例 2 求 解 设 f (x) = x4 - 2x3 + 2x2- 2x + 1, g(x) = x4 - 3x2 + 2x. 显然, 当 x 1时 f (x) f (1) = 0, g(x) g(1) = 0, 故这是一个 型未定式. 而 这还是一个 型未定式. 由于 故对 可应用洛必达法则, 得 从而对 定理的条件满足, 因此有,所以, 在定理的条件满足的情况下, 对未定式 用两次洛必达法则, 即知它的值为, 52 ,例 2 求 解 设 f (x) = x4 - 2x3 + 2x2- 2x + 1, g(x) = x4 - 3x2 + 2x. 显然, 当 x 1时 f (x) f (1) = 0, g(x) g(1) = 0, 故这是一个 型未定式. 而 这还是一个 型未定式. 由于 由于 不再是 型未定式, 对它不能再用洛必达法则, 否则会导致 的错误结果,所以, 在定理的条件满足的情况下, 对未定式 用两次洛必达法则, 即知它的值为, 53 ,例 3 求 解 这是 型未定式, 用洛必达法则, 有 (仍是 型) 在求未定式的值时, 可以把洛必达法则与第二章中求极限的方法, 特别是在乘、除的情况下用等价无穷小替换的方法结合起来, 以简化计算, 54 ,例 3 求 解 这是 型未定式, 用洛必达法则, 有 (仍是 型) 如本例中, 用一次洛必达法则, 再利用当 x0 时 即得, 55 ,例 4 求 ( 型). 解 由于 x 0 时 sin x x, 故 (仍是 型) 本题若开始时就用洛必达法则, 计算就会较费事, 大家不妨一试, 56 ,例 5 求 型). 解 设 f (x) = x + cos x, g(x) = x. 当 x 时, f (x) , g(x) . 由于 不存在, 定理中的条件不满足, 洛必达法则不能用. 事实上, 这时, 57 ,例 6 求 解 当x +时, lnx +, 这是 型未定式, 用洛必达法则, 例 7 求 (n 是正整数). 解 这是 型未定式, 接连用洛必达法则 n 次, 得 对于任意的, 0, 同样可以证明,例 6 和例 7 说明, 当 x+时, ln x, x ( 0) 和 ex 都是无穷大量, 但它们增长的速度却有很大的差别： x ( 0 不论多么小) 比 ln x 快, 而 ex 又比x (0 不论多么大) 更快, 所以在描述一个量增长得非常快时, 常常说它是“指数型”增长, 58 ,4.2.2 其他类型的未定式 除前面讲述的 型和 型未定式外, 还有 5 种其他类型的 未定式：0, - , 00, 1, 0. 0 和 - 型未定式可通过代数恒等式变形转化成 型 或 型未定式 00, 1, 0 型未定式可通过取对数转化成 0 型未定式 下面用几个例子来说明这些类型未定式的计算, 59 ,例 8 求 解 当 x 时 所以这是 0 型未定式. 设, 60 ,例 9 设 a 0, 求 解 当 x 0+ 时 x a 0, ln x -, 这是 0 型未定式. 这个例子说明, 当 x 0+ 时, 尽管 ln x 是无穷大量, 它与无穷小量 xa (a 0) 的乘积仍是一个无穷小量, 61 ,例 10 求 解 这是 - 型未定式., 62 ,例 11 求 (00 型). 解 设 y = x x, 则 ln y = x ln x, 所以 (由例 9, p. 137). 从而,例 9 设 a 0, 求 (答案: 0), 63 ,例 12 求 解 这是 1 型未定式设 , 则 从而, 64 ,4.3 函数的单调性,1.3 节讲述了函数在区间上的单调性概念, 对于给定的函数或曲线, 常常首先关注的是函数的增减性或曲线的升降走向, 这是函数或曲线的一种基本的性质. 如果按定义来判别函数在给定区间上的单调性, 一般比较麻烦, 但如果用导数和微分中值定理来处理就会容易得多., 65 ,设函数 y = f (x) 是a,b上单调增加（或减少）的连续函数, 并且在 (a,b) 上可导, 则如图 4-4 (a) (或图 4-4 (b) 所示, 曲线 C: y = f (x) (x(a,b) 在每一点的切线的倾角都是锐角(或钝角), 从而 f (x) 0 (或 0),图 4-4, 66 ,设函数 y = f (x) 是a,b上单调增加（或减少）的连续函数, 并且在 (a,b) 上可导, 则如图 4-4 (a) (或图 4-4 (b) 所示, 曲线 C: y = f (x) (x(a,b) 在每一点的切线的倾角都是锐角(或钝角), 从而 f (x) 0 (或 0) 事实上, 由函数 f (x) 单调增加的定义, 对任意一点 x(a,b) 和自变量在 x 的增量x (x +x(a,b), 对应的函数的增量为y = f (x +x) - f (x), 当x 0 时y 0, 当x 0 时y 0, 故不论 x 是正还是负, 总有 由极限的保号性, 必有, 67 ,设函数 y = f (x) 是a,b上单调增加（或减少）的连续函数, 并且在 (a,b) 上可导, 则如图 4-4 (a) (或图 4-4 (b) 所示, 曲线 C: y = f (x) (x(a,b) 在每一点的切线的倾角都是锐角(或钝角), 从而 f (x) 0 (或 0) 在 f (x) 单调减少的情况同样可证 f (x) 0. 所以有 可导函数 f (x) 在a,b上单调增加（减少） 导数 f (x) 0 ( 0) ( x(a,b)., 68 ,可导函数 f (x) 在a,b上单调增加（减少） 导数 f (x) 0 ( 0) ( x(a,b). 反之, 如果 f (x) 0 (x(a,b), 则由拉格朗日中值定理, 对任意的 x1, x2a,b, x1 0, 故 f (x2) - f (x1) 0, 即 f (x2) f (x1), 所以 f (x) 是单调增加的. 同理, 如果 f (x) 0 ( x(a,b), 则 f (x) 在a,b上单调减少, 这就得到下面的函数单调性判定法., 69 ,函数单调性判定法 假设函数 f (x) 在a,b上连续, 在(a,b)上可导, 则当 f (x) 0 ( x(a,b) 时 f (x) 在a,b上单调增加; 当 f (x) 0 ( 0) 改成 f (x)0 (0), 但只在有限个点处等于零, 结论依然成立, 70 ,例 1 立方抛物线 y = x3 在 (-,+) 上是单调增加的（如图1-28 (a)）, 其导数 y = 3x2 0 ( xR), 且仅当 x = 0 时, y = 0. 函数 的图形如图 1-28 (a), 它在 (-,+) 上也是单调增加的, 其 导数 在 x = 0 处 y 不存在., 71 ,例 2 试判断函数 的单调性. 解 由此可见, 在 (0, + ) 上 y 0, 在 (-,0) 上 y 0. 所 以函数 在 (0,+) 上单 调增加, 在(-,0) 上单调减少, 其图形如图 1-28 (c), 这个函数 在点 x = 0 不可导, 72 ,例 3 求函数 f (x) = 2x3 - 3x2 - 12x + 13 的单调区间. 解 f (x) = 6x2 - 6x - 12 = 6(x + 1)(x - 2). 由此可见, 在 (-, - 1) 和 ( 2, + ) 上 f (x) 0; 在 (-1, 2) 上 f (x) 0. 所以, f (x) 在区间 (-,-1和2,+) 上单调增加, 在区间-1,2上单调减少 从例 3 可以看到: 对于定义在区间 I 上的连续函数 f (x), 假定它的导数 f (x) 在 I 上仅有有限个间断点, 为了确定 f (x) 的单调区间, 只需求出 f (x) 的驻点和不可导点 ( 假设只有有限多个 ), 用这些点把 I 分成若干小区间, 则 f (x) 在每个小区间上都有确定的符号, 由此即可判定 f (x) 在这些小区间上的单调性, 73 ,利用函数的单调性可以证明一些不等式 例 4 证明：函数 在 (0,+) 内是单调增加的. 证 在 (0,+) 内 f (x) 0, 且 为证 f (x) 在 (0,+) 内单调增加, 只要证 f (x) 0, 即证 由于 因此, 在 (0,+ ) 上 g (x) 0, 问题得证., 74 ,例 5 证明：当 x 0 时, 证 设 则 f (0)=0, 其导数 所以 f (x) 在0,+) 上单调增加, 从而 f (x) f (0) = 0. 这就证明了左边的不等式成立 用同样的方法, 引进函数 g(x) = x - arctan x, 可以证明右边不等式, 75 ,4.4 曲线的上 、下凸性和拐点,4.4.1,4.4.2,曲线的上、下凸性和拐点 函数的凸性, 76 ,4.4.1 曲线的上、下凸性和拐点 曲线的上、下凸性就是曲线弯曲的方向 设 f (x) 是定义在区间 I 上的函数, P1, P2 是曲线 C: y = f (x) (xI ) 上的任意两点, 线段 P1P2 称为曲线 C 的弦, C 上介于 P1, P2 之间的曲线段 称为 C 的弧 定义 如果曲线 C: y = f (x) (x I ) 上任意两点 P1, P2 的弦 P1P2 总在弧 之上（下）, 则称曲线 C 是下凸（上凸）的 下（上）凸有时也称为上凹或凹（下凹或凸）., 77 ,4.4.1 曲线的上、下凸性和拐点 曲线的上、下凸性就是曲线弯曲的方向 设 f (x) 是定义在区间 I 上的函数, P1, P2 是曲线 C: y = f (x) (xI ) 上的任意两点, 线段 P1P2 称为曲线 C 的弦, C 上介于 P1, P2 之间的曲线段 称为 C 的弧 定义 如果曲线 C: y = f (x) (x I ) 上任意两点 P1, P2 的弦 P1P2 总在弧 之上（下）, 则称曲线 C 是下凸（上凸）的 图 4-5 (a) 中的曲线是下凸 (凹) 的; 图 4-5 (b) 中的曲线是上凸 (凸) 的,图 4-5, 78 ,注意, 曲线的上、下凸性与区间有关 如图 4-6, 对于曲线: y = (x) (xa,b), 弧 是上凸（或凸） 的, 弧 是下凸（或凹）的 上、 下凸弧的分界点称为曲线 的拐点（或反曲点）. 所以图 4-6 中 的点 D 是曲线 的拐点. 注意, 曲线在拐点必是连续的. 曲线的上、下凸性可用解析的方法加以描述. 为此, 先给出线段的一种解析表示.,图 4-6, 79 ,如图 4-7, 设 x1x2 , x 介于 x1, x2 之间, 记 则 0 l 1, 从而 x - x1 = l (x2 - x1) (0 l 1), 或 x = x1 + l (x2 - x1) = (1- l) x1 + l x2 (0 l 1). 由此, 对于曲线 C: y = f (x) (xI ), 设 x1, x2 是区间 I 中任意两点, x1x2, 则点 P1(x1, f (x1), P2(x2, f (x2)C. 直线P1P2有方程 以 x = (1-l) x1+l x2 (0 l 1) 代入上式, 得,图 4-7,即 y = f (x2) + (l-1) ( f (x2) - f (x1) = (1-l) f (x1) + l f (x2)., 80 ,因此, 如图 4-8, 弦 上的点 P 有坐标 (1 -l) x1 +l x2, (1-l) f (x1) + l f (x2) (0 l 1); 对于同一 x, 弧 上的点 P 有坐标 (1-l) x1+l x2, f (1-l) x1+l x2). 若曲线 C 是下凸的, 则 P 应在 P 的下方 (图 4-8 (a), 从而有 f (1-l) x1 + lx2) (1-l) f (x1) + l f (x2) (0 l 1); (4.6),图 4-8, 81 ,因此, 如图 4-8, 弦 上的点 P 有坐标 (1 -l) x1 +l x2, (1-l) f (x1) + l f (x2) (0 (1-l) f (x1) + l f (x2) (0 l 1). (4.7),图 4-8, 82 ,如果函数 f (x) 在区间 I 内可导, 即曲线 C 处处有切线, 则 C 的上、下凸性可以用另一种方式来描述, 并给出用导数 f (x) 进行判别的方法. 如图 4-9 (a), 如果曲线 C 是下凸的, 则 C 的切线的斜率亦即导数 f (x) 是单调增加的; 同样, 如图 4-9 (b), 如果曲线 C 是上凸的, 则 C 的导数 f (x) 是单调减少的.,图 4-9, 83 ,定理 4.2 设 f (x) (xI ) 在 I 上可导, 且 f (x) 在 I 上单调增加 (单调减少), 则曲线 C: y = f (x) (xI ) 在 I 上是下 (上) 凸的. 证 设 f (x) 在 I 上单调增加, x1, x2I, x1x2. 为方便计, 不妨设 x1 x2 , 以及 l(0,1). 记 x0 = (1- l) x1 + l x2 , 则 x1 x0 x2 . 由拉格朗日中值公式, 有 f (x1) = f (x0) + f (1)(x1 - x0) (x1 1 x0), f (x2) = f (x0) + f (2)(x2- x0) (x0 2 x2). 所以 (1 - l ) f (x1) + l f (x2) = (1-l) f (x0) + f (1)(x1 - x0) + l f (x0) + f (2)(x2