高考数学第八篇平面解析几何第6节圆锥曲线的综合问题（第三课时）定点、定值、存在性专题应用能力提升.docx

第三课时定点、定值、存在性专题【选题明细表】知识点、方法题号定点问题4定值问题2,3,5存在性问题1,6,71.(2018辽宁省辽南协作校一模)已知抛物线C:y=2x2,直线l:y=kx+ 2交C于A,B两点,M是AB的中点,过M作x轴的垂线交C于N点.(1)证明:抛物线C在N点处的切线与AB平行;(2)是否存在实数k,使以AB为直径的圆M经过N点?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.(1)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),把y=kx+2代入y=2x2得2x2-kx-2=0.所以x1+x2=,xN=xM=,所以N(,).因为(2x2)=4x,所以抛物线在N点处的切线斜率为k,故该切线与AB平行.(2)解:假设存在实数k,使以AB为直径的圆M经过N点,则|MN|=|AB|.由(1)知yM=(y1+y2)=(kx1+kx2+4)=+2,又因为MN垂直于x轴,所以|MN|=yM-yN=,而|AB|=|x1-x2|=.所以=,解得k=2.所以,存在实数k=2使以AB为直径的圆M经过N点.2.(2018百校联盟高三摸底)已知椭圆C:+=1(ab0)的短轴长为2,离心率为,圆E的圆心在椭圆C上,半径为2,直线y=k1x与直线y=k2x为圆E的两条切线.(1)求椭圆C的标准方程;(2)试问:k1k2是否为定值?若是,求出该值;若不是,说明理由.解:(1)由2b=2得,b=,因为e=,所以=,因为a2=b2+c2,所以=,解得a2=20,b2=5,所以椭圆C的标准方程为+=1.(2)因为直线y=k1x与圆E:(x-x0)2+(y-y0)2=4相切,所以=2,整理得(-4)-2x0y0k1+-4=0,同理可得(-4)-2x0y0k2+-4=0,所以,k1,k2为方程(-4)x2-2x0y0x+-4=0的两个根,所以k1k2=,又因为E(x0,y0)在椭圆C:+=1上,所以=5(1-),所以k1k2=-,故k1k2是定值,为-.3.(2018辽宁沈阳质监三)已知定直线l:y=x+3,定点A(2,1),以坐标轴为对称轴的椭圆C过点A且与l相切.(1)求椭圆的标准方程;(2)椭圆的弦AP,AQ的中点分别为M,N,若MN平行于l,则OM,ON斜率之和是否为定值?若是定值,请求出该定值;若不是定值请说明理由.解:(1)设椭圆的标准方程为mx2+ny2=1(m0,n0,mn),椭圆C过点A,所以4m+n=1,将y=x+3代入椭圆方程化简得(m+n)x2+6nx+9n-1=0,因为直线l与椭圆C相切,所以=(6n)2-4(m+n)(9n-1)=0,解可得m=,n=,所以椭圆方程为+=1.(2)设点P(x1,y1),Q(x2,y2),则有M(,),N(,),由题意可知PQMN,所以kPQ=kMN=1,设直线PQ的方程为y=x+t,代入椭圆方程并化简得3x2+4tx+2t2-6=0,由题意可知kOM+kON=+=+,通分后可变形得到kOM+kON=,将式代入分子,kOM+kON=0,所以OM,ON斜率之和为定值0.4.(2018河南郑州高三二模)已知圆O:x2+y2=4,点F(1,0),P为平面内一动点,以线段FP为直径的圆内切于圆O,设动点P的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)M,N是曲线C上的动点,且直线MN经过定点(0,),问在y轴上是否存在定点Q,使得MQO=NQO,若存在,请求出定点Q,若不存在,请说明理由.解:(1)设PF的中点为S,切点为T,连OS,ST,则|OS|+|SF|=|OT|=2,取F关于y轴的对称点F,连FP,故|FP|+|FP|=2(|OS|+|SF|)=4.所以点P的轨迹是以F,F为焦点,长轴长为4的椭圆.其中,a=2,c=1,b=,曲线C方程为+=1.(2)假设存在满足题意的定点Q,设Q(0,m),设直线l的方程为y=kx+,M(x1,y1),N(x2,y2).由消去y,得(3+4k2)x2+4kx-11=0.由于直线l恒过椭圆内一点(0,),故0,由求根公式得,x1+x2=,x1x2=,由得MQO=NQO,得直线MQ与直线NQ的斜率和为零.故+=+=0,2kx1x2+(-m)(x1+x2)=2k+(-m)=0.则m=6.故存在定点Q(0,6),当斜率不存在时定点(0,6)也符合题意.5.(2018广东省海珠区一模)已知椭圆C:+=1(ab0)的焦距为2,且过点A(2,1).(1)求椭圆C的方程;(2)若不经过点A的直线l:y=kx+m与C交于P,Q两点,且直线AP与直线AQ的斜率之和为0,证明:直线PQ的斜率为定值.(1)解:因为椭圆C的焦距为2,且过点A(2,1),所以+=1,2c=2.因为a2=b2+c2,解得a2=8,b2=2,所以椭圆C的方程为+=1.(2)证明:设点P(x1,y1),Q(x2,y2),则y1=kx1+m,y2=kx2+m,由消去y得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-8=0,(*)则x1+x2=-,x1x2=,因为kPA+kPQ=0,即=-,化简得x1y2+x2y1-(x1+x2)-2(y1+y2)+4=0.即2kx1x2+(m-1-2k)(x1+x2)-4m+4=0(*).则-4m+4=0,整理得(2k-1)(m+2k-1)=0,所以k=或m=1-2k.若m=1-2k,可得方程(*)的一个根为2,不合题意,所以直线PQ的斜率为定值,该值为.6.(2018超级全能生全国联考)已知椭圆E:+=1(ab0)过点(,1),其离心率为.(1)求椭圆E的方程;(2)直线l:y=x+m与E相交于A,B两点,在y轴上是否存在点C,使 ABC为正三角形,若存在,求直线l的方程;若不存在,请说明理由.解:(1)由已知得解得a=2,b=,所以椭圆E的方程为+=1.(2)把y=x+m代入E的方程得3x2+4mx+2m2-4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=,=8(6-m2)0,-m0,所以直线l的方程为y=x.7.(2018广西三校九月联考)已知椭圆方程C:+=1(ab0),椭圆的右焦点为(1,0),离心率为e=,直线l:y=kx+m与椭圆C相交于A,B两点,且kOAkOB=-.(1)求椭圆的方程及AOB的面积;(2)在椭圆上是否存在一点P,使OAPB为平行四边形,若存在,求出|OP|的取值范围,若不存在,说明理由.解:(1)由已知c=1,=,所以a=2,所以b2=a2-c2=3.所以椭圆方程为+=1.设A(x1,y1),B(x2,y2),则A,B的坐标满足消去y化简得,(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,x1+x2=-,x1x2=, b2-4ac0得4k2-m2+30,y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=k2+km(-)+m2=.因为kOAkOB=-,=-,即y1y2=-x1x2,所以=-,即2m2-4k2=3,因为|AB|=.O到直线y=kx+m的距离d=,所以SAOB=d|AB|=