高考数学第四章三角函数、解三角形8第7讲正弦定理和余弦定理的应用举例练习理（含解析）.docx

第7讲 正弦定理和余弦定理的应用举例基础题组练1.如图，两座灯塔A和B与河岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40，灯塔B在观察站南偏东60，则灯塔A在灯塔B的()A北偏东10B北偏西10C南偏东80D南偏西80解析：选D.由条件及题图可知，AB40，又BCD60，所以CBD30，所以DBA10，因此灯塔A在灯塔B南偏西80.2已知A，B两地间的距离为10 km，B，C两地间的距离为20 km，现测得ABC120，则A，C两地间的距离为()A10 kmB10 kmC10 kmD10 km解析：选D.由余弦定理可得：AC2AB2CB22ABCBcos 12010220221020700.所以AC10(km)3如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75，30，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC等于()A240(1) mB180(1) mC120(1) mD30(1) m解析：选C.因为tan 15tan(6045)2，所以BC60tan 6060tan 15120(1)(m)4已知台风中心位于城市A东偏北(为锐角)度的150公里处，以v公里/小时沿正西方向快速移动，2.5小时后到达距城市A西偏北(为锐角)度的200公里处，若cos cos ，则v()A60B80C100D125解析：选C.画出图象如图所示，由余弦定理得(2.5v)2200215022200150cos()，由正弦定理得，所以sin sin .又cos cos ，sin2 cos2 1，解得sin ，故cos ，sin ，cos ，故cos()0，代入解得v100.5地面上有两座相距120 m的塔，在矮塔塔底望高塔塔顶的仰角为，在高塔塔底望矮塔塔顶的仰角为，且在两塔底连线的中点O处望两塔塔顶的仰角互为余角，则两塔的高度分别为()A50 m，100 mB40 m，90 mC40 m，50 mD30 m，40 m解析：选B.设高塔高H m，矮塔高h m，在O点望高塔塔顶的仰角为.则tan ，tan ，根据三角函数的倍角公式有.因为在两塔底连线的中点O望两塔塔顶的仰角互为余角，所以在O点望矮塔塔顶的仰角为，由tan ，tan，得.联立解得H90，h40.即两座塔的高度分别为40 m，90 m.6一船自西向东匀速航行，上午10时到达灯塔P的南偏西75，距灯塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则此船航行的速度为_海里/小时解析：如图，由题意知MPN7545120，PNM45.在PMN中，所以MN6834(海里)又由M到N所用的时间为14104(小时)，所以此船的航行速度v(海里/小时)答案：7.如图，在塔底D的正西方A处测得塔顶的仰角为45，在塔底D的南偏东60的B处测得塔顶的仰角为30，A，B的距离是84 m，则塔高CD_m.解析：设塔高CDx m，则ADx m，DBx m.又由题意得ADB9060150，在ABD中，利用余弦定理，得842x2(x)22x2 cos 150，解得x12(负值舍去)，故塔高为12 m.答案：128.如图，为了测量河对岸A，B两点之间的距离，观察者找到一个点C，从C点可以观察到点A，B；找到一个点D，从D点可以观察到点A，C；找到一个点E，从E点可以观察到点B，C.测量得到：CD2，CE2，D45，ACD105，ACB48.19，BCE75，E60，则A，B两点之间的距离为_.解析：依题意知，在ACD中，DAC30，由正弦定理得AC2，在BCE中，CBE45，由正弦定理得BC3.在ABC中，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos ACB10，所以AB.答案：9如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点从A点测得M点的仰角MAN60，C点的仰角CAB45以及MAC75，从C点测得MCA60.已知山高BC100 m，求山高MN.解：根据题图，AC100 m.在MAC中，CMA180756045.由正弦定理得AM100 m.在AMN中，sin 60，所以MN100150(m)10.如图，在一条海防警戒线上的点A，B，C处各有一个水声监测点，B，C两点到A的距离分别为20千米和50千米，某时刻，B收到发自静止目标P的一个声波信号，8秒后A，C同时接到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5千米/秒(1)设A到P的距离为x千米，用x表示B，C到P的距离，并求x的值；(2)求P到海防警戒线AC的距离解：(1)依题意，有PAPCx，PBx1.58x12.在PAB中，AB20，cosPAB，同理，在PAC中，AC50，cosPAC.因为cosPABcosPAC，所以，解得x31.(2)作PDAC于点D(图略)，在ADP中，由cosPAD，得sinPAD，所以PDPAsinPAD314.故静止目标P到海防警戒线AC的距离为4千米综合题组练1如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD. 已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿着DC走到C用了3分钟若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径的长度为()A50 米B50 米C50米D50米解析：选B.设该扇形的半径为r米，连接CO.由题意，得CD150(米)，OD100(米)，CDO60，在CDO中，CD2OD22CDODcos 60OC2，即150210022150100r2，解得r50 .2.如图所示，在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25 m的建筑物CD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角，在山坡的A处测得DAC15，沿山坡前进50 m到达B处，又测得DBC45，根据以上数据可得cos _解析：由DAC15，DBC45可得BDA30，DBA135，BDC90(15)3045，由内角和定理可得DCB180(45)4590，根据正弦定理可得，即DB100sin 15100sin(4530)25(1)，又，即，得到cos 1.答案：13如图，小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30，45，且BAC135.若山高AD100 m，汽车从B点到C点历时14 s，则这辆汽车的速度约为_m/s(精确到 0.1，参考数据：1.414，2.236)解析：因为小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30，45，所以BAD60，CAD45.设这辆汽车的速度为v m/s，则BC14v，在RtADB中，AB200.在RtADC中，AC100.在ABC中，由余弦定理，得BC2AC2AB22ACABcosBAC，所以(14v)2(100)220022100200cos 135，所以v22.6，所以这辆汽车的速度约为22.6 m/s.答案：22.64(应用型)校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为15的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60和30，第一排和最后一排的距离为10 m(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上，若国歌时长为50 s，升旗手应以_m/s的速度匀速升旗解析：依题意可知AEC45，ACE1806015105，所以EAC1804510530.由正弦定理可知，所以ACsinCEA20 (m)所以在RtABC中，ABACsinACB2030(m)因为国歌时长为50 s，所以升旗速度为0.6 m/s.答案：0.65.已知在东西方向上有M，N两座小山，山顶各有一座发射塔A，B，塔顶A，B的海拔高度分别为AM100 m和BN200 m，一测量车在小山M的正南方向的点P处测得发射塔顶A的仰角为30，该测量车向北偏西60方向行驶了100 m后到达点Q，在点Q处测得发射塔顶B处的仰角为，且BQA，经测量tan 2，求两发射塔顶A，B之间的距离解：在RtAMP中，APM30，AM100，所以PM100.连接QM，在PQM中，QPM60，PQ100，所以PQM为等边三角形，所以QM100.在RtAMQ中，由AQ2AM2QM2，得AQ200.在RtBNQ中，tan 2，BN200.所以BQ100，cos .在BQA中，BA2BQ2AQ22BQAQcos (100)2，所以BA100.即两发射塔顶A，B之间的距离是100 m.6(应用型)如图所示，经过村庄A有两条夹角60的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N(异于村庄A)，要求PMPNMN2(单位：千米)如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)?解：设AMN，在AMN中，.因为MN2，所以AMsin(120)在APM中，cosAMPcos(6