高考数学第十章计数原理、概率、随机变量及其分布8第8讲离散型随机变量的均值与方差、正态分布练习题.docx

第8讲 离散型随机变量的均值与方差、正态分布 基础题组练1设随机变量X服从正态分布N(0，1)，若P(X1)p，则P(1X0)P(X1)P(X1)p，所以 P(1X0)P(X0)P(X1)p.2口袋中有编号分别为1，2，3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X的期望为()A. B.C2 D.解析：选D.因为口袋中有编号分别为1，2，3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，所以取出的球的最大编号X的可能取值为2，3，所以P(X2)，P(X3)，所以E(X)23.3(2018安徽合肥一模)已知某公司生产的一种产品的质量X(单位：克)服从正态分布N(100，4)，现从该产品的生产线上随机抽取10 000件产品，其中质量在98，104内的产品估计有()(附：若X服从N(，2)，则P(X)0.682 7，P(2X20.954 5)A4 093件 B4 772件C6 827件 D8 186件解析：选D.由题意可得，该正态分布的对称轴为x100，且2，则质量在96，104内的产品的概率为P(2X2)0.954 5，而质量在98，102内的产品的概率为P(X)0.682 7，结合对称性可知，质量在98，104内的产品的概率为0.682 70.818 6，据此估计质量在98，104内的产品的数量为10 0000.818 68 186(件)4已知随机变量X8，若XB(10，0.6)，则E()，D()分别是()A6，2.4 B2，2.4C2，5.6 D6，5.6解析：选B.由已知随机变量X8，所以8X.因此，求得E()8E(X)8100.62，D()(1)2D(X)100.60.42.4.5某篮球队对队员进行考核，规则是每人进行3个轮次的投篮；每个轮次每人投篮2次，若至少投中1次，则本轮通过，否则不通过已知队员甲投篮1次投中的概率为.如果甲各次投篮投中与否互不影响，那么甲3个轮次通过的次数X的期望是()A3 B.C2 D.解析：选B.在一轮投篮中，甲通过的概率为P，未通过的概率为.由题意可知，甲3个轮次通过的次数X的可能取值为0，1，2，3，则P(X0)，P(X1)CP(X2)C，P(X3).所以随机变量X的分布列为X0123P数学期望E(X)0123.6(2019辽宁五校联合体模拟)已知随机变量X服从正态分布N(72，4)，则P(X76)等于_(附：(P(X)0.682 7，P(2X2)0.954 5)解析：因为随机变量X服从正态分布N(72，4)，所以72，2，所以P(70X74)0.682 7，P(68X76)0.954 5，所以P(X76)0.022 75，所以P(X76)0.158 650.022 750.181 4.答案：0.181 47若随机变量的分布列如下表所示，E()1.6，则ab_0123P0.1ab0.1解析：易知a，b0，1，由0.1ab0.11，得ab0.8，又由E()00.11a2b30.11.6，得a2b1.3，解得a0.3，b0.5，则ab0.2.答案：0.28某学校为了给运动会选拔志愿者，组委会举办了一个趣味答题活动参选的志愿者回答三个问题，其中两个是判断题，另一个是有三个选项的单项选择题，设为回答正确的题数，则随机变量的数学期望E()_解析：由已知得的可能取值为0，1，2，3.P(0)，P(1)，P(2)，P(3).所以E()0123.答案：9(2019西安模拟)一个盒子中装有大量形状、大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量(单位：克)，重量分组区间为5，15，(15，25，(25，35，(35，45，由此得到样本的重量频率分布直方图(如图)(1)求a的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；(2)从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在5，15内的小球个数为X，求X的分布列和数学期望(以直方图中的频率作为概率)解：(1)由题意，得(0.020.032a0.018)101，解得a0.03.由频率分布直方图可估计盒子中小球重量的众数为20克，而50个样本中小球重量的平均数为0.2100.32200.3300.184024.6(克)故由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均数为24.6克(2)该盒子中小球重量在5，15内的概率为，则XB，X的可能取值为0，1，2，3.P(X0)C，P(X1)C，P(X2)C，P(X3)C.所以X的分布列为X0123P所以E(X)0123.(或者E(X)3.)10(2019长沙模拟)某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、下周二两天内采摘完毕，基地员工一天可以完成一处种植区的采摘，下雨会影响药材品质，基地收益如下表所示：周一无雨无雨有雨有雨周二无雨有雨无雨有雨收益/万元2015107.5若基地额外聘请工人，可在下周一当天完成全部采摘任务无雨时收益为20万元；有雨时，收益为10万元额外聘请工人的成本为a万元已知下周一和下周二有雨的概率相同，两天是否下雨互不影响，基地收益为20万元的概率为0.36.(1)若不额外聘请工人，写出基地收益X的分布列及基地的预期收益；(2)该基地是否应该额外聘请工人，请说明理由解：(1)设下周一无雨的概率为p，由题意得，p20.36，解得p0.6，基地收益X的可能取值为20，15，10，7.5，则P(X20)0.36，P(X15)0.24，P(X10)0.24，P(X7.5)0.16.所以基地收益X的分布列为X2015107.5P0.360.240.240.16E(X)200.36150.24100.247.50.1614.4(万元)，所以基地的预期收益为14.4万元(2)设基地额外聘请工人时的收益为Y万元，则其预期收益E(Y)200.6100.4a16a(万元)，E(Y)E(X)1.6a(万元)综上，当额外聘请工人的成本高于1.6万元时，不额外聘请工人；成本低于1.6万元时，额外聘请工人；成本恰为1.6万元时，额外聘请或不聘请工人均可以综合题组练1某鲜奶店每天以每瓶3元的价格从牧场购进若干瓶鲜牛奶，然后以每瓶7元的价格出售如果当天卖不完，剩下的鲜牛奶作垃圾处理(1)若鲜奶店一天购进30瓶鲜牛奶，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：瓶，nN)的函数解析式；(2)鲜奶店记录了100天鲜牛奶的日需求量(单位：瓶)，绘制出如下的柱形图(例如：日需求量为25瓶时，频数为5)：以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率若该鲜奶店一天购进30瓶鲜奶，X表示当天的利润(单位：元)，求X的分布列及数学期望；若该鲜奶店计划一天购进29瓶或30瓶鲜牛奶，你认为应购进29瓶还是30瓶？请说明理由解：(1)当n30时，y30(73)120；当n29时，y(73)n3(30n)7n90.故y，nN.(2)X的可能取值为85，92，99，106，113，120，P(X85)0.05，P(X92)0.1，P(X99)0.1，P(X106)0.05，P(X113)0.1，P(X120)0.6.X的分布列为X859299106113120P0.050.10.10.050.10.6E(X)(85106)0.05(9299113)0.11200.6111.95.购进29瓶时，当天利润的数学期望为t(25443)0.05(26433)0.1(27423)0.1(28413)0.052940.7110.75，因为111.95110.75，所以应购进30瓶2(2019洛阳尖子生第二次联考)现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下表：投资股市投资结果获利40%不赔不赚亏损20%概率购买基金投资结果获利20%不赔不赚亏损10%概率pq(1)当p时，求q的值(2)已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于，求p的取值范围(3)丙要将家中闲置的10万元钱进行投资，决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择一种，已知p，q，那么丙选择哪种投资方案，才能使得一年后投资收益的数学期望较大？请说明理由解：(1)因为“购买基金”后，投资结果只有“获利”“不赔不赚”“亏损”三种，且三种投资结果相互独立，所以pq1.又p，所以q.(2)记事件A为“甲投资股市且获利”，事件B为“乙购买基金且获利”，事件C为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”，则CAAAB，且A，B独立由题意可知，P(A)，P(B)p，所以P(C)P(A)P(B)P(AB)(1p)ppp.因为P(C)p，所以p.又pq1，q0，所以p.所以p的取值范围为.(3)假设丙选择“投资股市”的方案进行投资，记X为丙投资股市的获利金额(单位：万元)，所以随机变量X的分布列为X402P则E(X)40(2).假设丙选择“购买基金”的方案进行投资，记Y为丙购买基金的获利金额(单位：万元)，所以随机变量Y的分布列为Y201P则E(Y)20(1).因为E(X)E(Y)，所以丙选择“投资股市”，才能使得一年后的投资收益的数学期望较大3(2019高考全国卷)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物实验试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分甲、乙两种药的治愈率分别记为和，一轮试验中甲药的得分记为X.(1)求X的分布列；(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi(i0，1，8)表示“甲药的累计得分为i时 ，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p00，p81，piapi1bpicpi1(i1，2，7)，其中aP(X1)，bP(X0)，cP(X1)假设0.5，0.8.()证明：pi1pi(i0，1，2，7)为等比数列；()求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性解：(1)X的所有可能取值为1，0，1.P(X1)(1)，P(X0)(1)(1)，P(X1)(1)所以X的分布列为(2)()证明：由(1)得a0.4，b0.5，c0.1.因此pi0.4pi10.5pi0.1pi1，故0.1(pi1pi)0.4(pipi1)，即pi1pi4(