教材中体现的思想和方法.ppt

教材中体现的数学思想方法,1、突出数学思想方法。,（1）什么是数学思想方法？ 数学思想方法是处理数学问题的指导思想和基本策略，是数学的灵魂。 数学方法 数学方法是指在数学中提出问题、分析问题、处理问题和解决问题过程中所采用的各种方式、手段、途径等策略，如分析、综合、抽象、概括、观察、试验、联想、猜想、归纳、演绎等。 数学思想 数学思想就是人们对数学知识和方法形成的规律性的理性认识和基本看法。,2、小学中常用的数学思想方法,数形结合思想方法,数形结合思想是指将数（量）与（图）形结合起来进行分析、研究、解决问题的一种思维策略。是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使得抽象的数学概念或复杂的数量关系直观化、形象化、简单化，是探索解题思维途径的重要的基本数学思想。,“数无形时不直观，形无数时难入微。”这句话形象简练地指出了形和数的互相依赖、互相制约的辩证关系。,例如：比较分数大小, 转化思想方法,转化就是将有待解决或难以解决的问题，化归为另一个相对比较容易解决的或者已经有解决程序的问题。也就是化未知为已知,化难为易,化繁为简、化整为零、化曲为直，从而达到知识迁移使问题获得解决。,六年级下册第11单元：例2 三人围成一圈，每人心中想一个数，并把这个数告诉左右相邻的人，然后每个人把两个人告诉自己的数求和并亮出，如图所示，亮出11的人原来想的数是几？,11,14,9,转化成简单问题 （甲+乙）+（乙+丙）+（甲+丙） =14+11+9 2（甲+乙+丙）=34 加+乙+丙=17 亮出11的人想的是17-11=6,不规则图形转化成规则图形, 等量代换的方法,用水位下降的体积替代圆锥的体积，圆锥的体积等于圆柱的底面积乘下水降低的高度。,等底等高的三角形面积相等，每个三角形的面积等于平行四边形面积的一半，蓝色三角形面积等于平行四边形面积的一半，在等积的情况下三角形之间可以进行替换。,还原就是把问题倒过来或从问题的反面思考或逆用某些数学公式、法则解决问题。, 还原方法,一筐苹果第一次吃了一半，第二次吃了剩余的一半，第三次吃了再剩余的一半，还剩余3个，这筐苹果有多少个？,还剩3个,3222=24（个）,用实验的方法解决问题 甲、乙两个修路队共同修一条路，甲队单独工作用15天完成任务，乙队单独工作用12天，为了减少工作疲劳，甲队工作一天之后，乙队工作一天，接着甲队工作一天，这样排下去最后完成的是甲队还是乙队？,预估合作的天数,算出由谁最后完成任务,引进数学文化，开拓学生视野,数学是一门学科知识 数学是一门多彩艺术 数学是一个通往无限遐想的隧道 数学是美和奇的化身 数学是打开思维的天窗 数学是一部人类进步史 数学是创造财富的宝库,小数的由来,我国是世界上最早认识和使用小数的国家。 公元3世纪，我国数学家刘徽 在注释九章算术中处理平方根问题时就提出了十进小数。,到了元朝，刘瑾在律吕成书（1300年左右）一书中，用算筹把小数部分降低一格来表示小数。 如： 这是世界上最早的小数表示法。比欧洲早采用了三百多年。,表示3.12。,欧洲数学家直到16世纪才开始考虑小数，其中较突出的是荷兰人斯蒂文，他在论十进制(1583年)一书中明确了小数的表示法。 如：把5.714记为： 5714 或5,714 这种表示方法，使小数的形 式复杂化，并且给小数的运算带 来很大的麻烦。,1592年，瑞士数学家布尔基 （Jobst Burgi）对此作出较大 的改进。他用一空心小圆圈把 整数部分和小数部分隔开。 比如：把 36.548 表示为 36。548 这与现代的表示法已极为接近。,大约过了一年，德国的克拉维斯(15371612)，首先用黑点代替了小圆圈。他在星盘(1593年)一书中开始使用小数点作为整数部分与小数部分之间的分界符。,1617年英国数学家纳皮尔在小数计算法一书 中，用逗号作为小数 符号。,现在世界上一部分国家用小圆点“ ”表示小数点，像中国、英国、美国等，还有一部分国家用逗号“ ，”表示小数点，像德国、法国、俄国等国家。,.,中,的,对,称,美,数,学,生,活,中,的,对,称,美,美,的,对,称,几,何,图,形,中,古希腊的毕达格拉斯学派提出”一切平面图形中最美的图形是圆形”.,杨辉三角,1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1,杨辉三角最本质的特征是:它的两条斜边都是由数字1组成的.而其余的数则是等于它肩上的两个数之和.在国外,这也叫做”帕斯卡三角形”.,a + b = b + a a b = b a a + (b +c) = (a + b) + c,运算定律中的对称美,推理游戏,观察下面的图形，你知道下一个会是什么图形吗？,小学数学中的对称美还表现在一些计算中。,例如:在珠算加法练习中，先让学生在算盘上拨上对称数112211，然后连续加11次，算盘上就会出现优美的对称数1234321。,从运算关系角度看：+与-、与、乘方与开方、指数与对数、微分与积分、矩阵与逆矩阵、这些互逆运算也可视为“对称”关系,美和对称紧密相连,魏尔,义务教育课程标准实验教科书 （人教版）五年级下册,有关方程的资料,1不等号的产生,从、的产生到应用历经一个世纪的时间。,英国数学家哈里奥特在1621年前发展的代数符号，他在关于大于和小于的记号写道： 大于的记号：ab表示a量大于b量。 小于的记号：ab表示a量小于b量,2用字母表示数是人类对数认识飞跃的标志,从量到数是人类对数的第一次飞跃认识,三头牛用3表示,两只羊用2表示,由于社会进步人类的需求引发 第二次认识飞跃“用字母表示数”,穿越“时间隧道”回到1700多年前的古代希腊。希腊数学家丢番图在算术著作中，首次用,符号“”表示未知数。,在前人积累下来的经验基础上，韦达首次用元音字母A、E、I、O、U、Y表示未知数，辅音字母B、C、D、G表示已知数，从而使代数不仅用数，也用字母计算。,法国数学家韦达,被西方称为“代数学之父”,法国数学家笛卡儿,采用a、b、c代表已知数，用字母x、y、z代表未知数，初步建立了代数符号系统，与韦达相比，不仅完善、发展了代数符号系统，而且具有简洁明快的特点，发展成为今天的用法。,法国数学家厄里冈又改进了韦达号， 用 表示aa ； 用 表示aaa 使符号代数就更加完美。,我国古代南宋数学家李冶也曾用不同字表示已知数或未知数。,3方程的由来,含有未知数的等式叫做方程。 方程一词在我国早期的数学专著九章算术中,指的是包含多个未知量的联立一次方程，即现在所说的线性方程组。,中国古代数学家刘徵注九章算术时，给这种“方程”下的定义是：“程，课程也，群物总杂各列有数，总言其实，令每行为率。二物者再程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程。”,4、方程的由来,九章算术一书中卷第八方程 今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二饼，下禾三秉，实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何？ 答曰：上禾一秉，九斗四分斗之一， 中禾一秉，四斗四分斗之一， 下禾一秉，二斗四分斗之三。,5、有关九章算术的方程,方程术曰：置上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗，于右方。中、左禾列如右方，以右行上禾遍乘中行，而以直除。又乘其次，亦以直除。然以中行中禾不尽者遍乘左行，而以直除。左方下禾不尽者，上为法、下为实。实即下禾之实，求中禾，以法乘中行下实，而除下禾之实。余如中禾秉数而一，即中禾之实。求上禾亦以法乘右行下实，而除下禾、中禾之实。余如上禾秉数而一，即上禾之实。实皆如法，各得一斗。,中国古代列方程的方法，如下表：,以右行为例现今表示为：3x+2y+z=39,古今三元一次方程比较，异曲同工。,6、丢番图的墓志,希腊数学家丢番图（公元34世纪）的墓碑上记载着： “他生命的六分之一是幸福的童年；再活了他生命的十二分之一，两颊长起了细细的胡须；他结了婚，又度过了一生的七分之一；再过五年，他有了儿子，感到很幸福；可是，儿子只活了他父亲全部生命的一半；儿子死后，他又在极度的悲伤中度过了四年，也与世长辞了。”,（1）丢番图的寿命。 （2)丢番图开始当爸爸时的年龄。 （3）儿子死时丢番图的年龄。 解答： 设他的寿命为X X=（1/6）X+（1/12）X+（1/7）X+（1/2）X+5+4 X=（25/28）X+9 9=（3/28）X X=84 （1）丢番图的寿命为84。 （2)丢番图开始当爸爸时的年龄为42 （3）儿子死时丢番图的年龄为80,7、对联中的方程,乾隆50年，为了庆