为平均量赋予意义——深刻理解数学概念的本质.ppt

为平均量赋予意义 深刻理解数学概念的本质,1、以往平均量概念教学的缺憾,2、在实际问题中还原各种平均量的意义,3、在数据观察中构建平均量的概念,4、应用对平均量概念的理解做出解释,5、让学生经历数据整理、描述、分析并做出决策的过程,6、用本原性问题驱动概念教学的思想,为平均量赋予意义 深刻理解数学概念的本质,1、以往平均量概念教学的缺憾 在教材中，表示数据平均水平的量（简称为平均量）“平均数、截尾平均数、众数、中位数”等统计量分23节课教学。 通常的做法是：呈现几组数据引出概念的含义给出概念的文字定义按照定义练习计算平均量练习更多题目巩固计算平均量的方法。,“讲概念”、“背概念”、“练概念”,中专毕业的小杰得到两家公司的普通员工录用通知书。A公司称公司员工的月平均工资为2000多元，B公司称员工工资的中等水平为1800元，两家公司均欢迎小杰的加入。小杰看了之后，认为在A公司工作每个月至少可以比B公司多拿200元，就选择到A公司工作。 工作一个月后，小杰仅拿到1800元的工资，并不是他所期望的2000多元，于是他找经理理论。经理说：“我们确实每人月平均工资为2000多元，我没有说谎。可是你的工资也确实是1800元，符合我公司大多数员工的工资水平，不信你可以看我们整个公司的工资收入表”。,问题：根据表格中的数据，你认为小杰的工资应该定为多少？,2、在实际问题中还原各种平均量的意义,实际上，这四个表示平均水平的量， 一旦出现在一个具体的决策问题当中时， 它们所表达的不同意义就会一起涌现， 而且在对它们的相互比较中 更能体验每个量所表达的独特意义。,真实的生活问题果然紧紧吸引了学生的注意力，学生们议论纷纷，发表了各自的想法： 【学生1】录取通知书里没有写明应聘职位，因此小杰只能自认倒霉 【学生2】既然说平均工资为2000多元，而且录用通知书上也没有说明应聘的职位，那么就应该按照平均工资2558元发给小杰（平均数） 【学生3】就应该拿1800元这个老板发的工资，因为“在这张表格中可以看到公司里一共有33个人，但是其中13个人的工资都是1800元，那么就可以用很多人的工资水平1800元来代表这个公司的平均工资”（众数思路） 【学生4】老板给小杰1800元是正常的，因为既然是平均工资，那么就说明了工资有高有低，小杰既然不是老板，那么拿低工资是很正常的，小杰应该有这样的生活常识 ,【学生5】“从这张表格中我们可以看到总经理的工资相对较高，他一个人的工资对平均工资的影响很大，如果这样觉得多给了小杰，那么可以将最高工资和最低工资去掉，算出这样的平均数后，按照这个平均数发给小杰”（截尾平均数思路） 【学生6】应该拿2500元，因为工资的中间值是2500元（中位数思路），而且接近平均数，小杰应该用上面大家的观点和老板心平气和地谈。,从学生们发表的不同的看法中，我们可以看到那些表示平均水平的量在实际问题中的朴素面目，也可以看出不同学生在使用数据时所站的老板或小杰的立场，也可以发现他们对这个情境所表现出的消极或积极态度。,3、在数据观察中构建平均量的概念 面对学生们的各种解释，老师没有直接给出评定反而在学生急切想知道答案的心情中让学生观察工作单上的数据表，要求学生通过观察、思考、讨论来理解中位数、众数、截尾平均数的本质含义和计算方法。,数据表的重点是众数和中位数概念的构建，但隐含的重要目标是：通过比较一组数据中不同平均量，让学生体验每个平均量所表示的意义之间的差异；通过比较不同数据组之间各种平均量的一致程度，理解不同的平均量在不同的数据组里表现平均水平的合理性。 看看学生如何通过观察数据表逐步构建众数的概念。没有众数出现两次的数（反驳）出现次数最多的数可以同时有几个。,4、应用对平均量概念的理解做出解释 对于数据表所隐含的重要的理解性和体验性目标，教师通过回应授课开始的情境问题得到了检视。 生1：我算出了公司（工资）的平均数是2558元，也就是平均工资。众数也就是多数人是1800元，截尾平均数是2465元，中间工资也就是中位数是2500元。我认为2500元比较合理。 师：他计算的数据你们同意吗？（齐声同意）能说说理由吗？ 生1：我就是感觉众数低了些，其它平均水平的量都比较靠近2500元。 生2：我认为如果我是老板，当然要以多数人的1800元作为标准发工资，如果我是小杰，当然要求发平均工资的标准2558元。 生3：哪种更合理很难说，要看站在谁的立场上。比如刚才的数据表E组的各个数据好像比较“均匀”，所以平均数众数等四个量都是8，这样类型的没有争议。象C组，三个量都是8.5也还好说；其中A、F、G、H组中有三个量比较接近，好像也能说出个“合理”的值也还容易，和这个公司的情况差不多。但是象B、D组类型的数据，就不可能说哪个合理了所以（说不下去了）,师：同学们的回答很好！现在看来，做出一个判断不那么容易。哪个平均量更能代表平均水平与给定的数据组本身的特点有关系，比如平均数反映的是总体的平均水平，截尾平均数反映的是去掉异常值后的平均水平，众数是用大多数人情况代表平均水平，中位数是用中间值反映平均水平。所以我们不但要会计算今天学习的几个量，更要学会从多个角度解释你的计算结果。 这段师生对话充分表明了学生对于各个平均量的意义、以及它们在不同类型数据中表达的整体意义的深刻理解。数据统计中的概念定义不是干瘪的教条、也不仅仅是计算的公式，而是具有活力的理解数据和解释数据的方式。,5、让学生经历数据整理、描述、分析并做出决策的过程 在一次跳绳比赛中，全班47名同学被分成两组，女生组和男生组。下面这张统计表分别记录了两组同学的一分钟跳绳成绩。如果请你做裁判，你会宣布是男生还是女生的跳绳水平好一些？和全班同学交流一下你的理由。,女生组平均数86.2、截尾平均数85.9、众数91和92、中位数88； 男生组平均数85.5、截尾平均数86.2、众数92、中位数88.5。,在平均量被赋予有意义的理解后，教师又呈现了一个情境问题，要求学生做出判断，实际是对所学平均量的应用，目的是让学生完整经历一次数据整理、描述、计算并做出判断分析的过程而这正是统计学的基本思想。,6、用本原性问题驱动概念教学的思想 “定义（概念）性质定理应用”的演绎体系呈现概念，希望学生学习概念后再解决问题，这样的演绎体系虽然有利于学生知识系统的形成，但同时把有意义的、鲜活的生成数学概念的活动给掩盖了，使学生不能深刻理解概念的意义及其蕴涵的实质思想荷兰数学教育家弗赖登塔尔称其为“教学法的颠倒”。 本课例中，教师通过一个情境问题首先使学生感受到各种不同平均量的含义；然后通过学生观察一个精心设计的数据表让学生自主构建平均量的意义既有对平均量算法的推测、也有通过对数据的整体观察所理解到的平均量的意义；最后又以一个情境问题作为学习内容的应