高考数学一轮复习第九章解析几何第六节双曲线教案理苏教版.docx

第六节 双曲线1双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于F1F2)的点的轨迹叫做双曲线这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距集合PM|MF1MF2|2a，F1F22c，其中a，c为常数且a0，c0.(1)当2aF1F2时，P点的轨迹是双曲线；(2)当2aF1F2时，P点的轨迹是两条射线；(3)当2aF1F2时，P点不存在2双曲线的标准方程和几何性质标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形性 质范围xa或xa，yRya或ya，xR对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点顶点坐标：A1(a,0)，A2(a,0)顶点坐标：A1(0，a)，A2(0，a)渐近线yxyx离心率e，e(1，)a，b，c的关系c2a2b2实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长A1A2；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长B1B2；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长小题体验1双曲线x25y210的焦距为_解析：双曲线的标准方程为1，a210，b22，c2a2b212，c2，故焦距为4.答案：42双曲线2x2y28的实轴长为_解析：双曲线2x2y28的标准方程为1，实轴长为2a4.答案：43已知双曲线1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于_解析：右焦点为(3,0)，c3.a2c2b2954，a2，e.答案：1双曲线的定义中易忽视2aF1F2这一条件若2aF1F2，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线，若2aF1F2，则轨迹不存在2双曲线的标准方程中对a，b的要求只是a0，b0，易误认为与椭圆标准方程中a，b的要求相同若ab0，则双曲线的离心率e(1，)；若ab0，则双曲线的离心率e；若0ab，则双曲线的离心率e(，)3注意区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆中的a，b，c关系，在椭圆中a2b2c2，而在双曲线中c2a2b2.4易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系当焦点在x轴上，渐近线斜率为，当焦点在y轴上，渐近线斜率为.小题纠偏1设P是双曲线1上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若PF19，则PF2等于_解析：由题意知PF19ac10，所以P点在双曲线的左支，则有PF2PF12a8，故PF2PF1817.答案：172若a1，则双曲线y21的离心率的取值范围是_解析：由题意得双曲线的离心率e.即e21.因为a1，所以01，所以112，所以1e.答案：(1，)3离心率为，且经过(，2)的双曲线的标准方程为_解析：当双曲线的焦点在x轴上时，设方程为1.则有解得所以所求双曲线的标准方程为x21.当双曲线焦点在y轴上时，设方程为1.则有解得所以所求双曲线的标准方程为1.答案：x21或1题组练透1若方程1(kR)表示双曲线，则k的取值范围是_解析：依题意可知(k3)(k3)0，解得3k3.答案：(3,3)2已知双曲线C：1的离心率e，且其右焦点为F2(5,0)，则双曲线C的标准方程为_解析：因为所求双曲线的右焦点为F2(5,0)且离心率为e，所以c5，a4，b2c2a29，所以所求双曲线的标准方程为1.答案：13若以F1(，0)，F2(，0)为焦点的双曲线过点(2,1)，则该双曲线的标准方程为_解析：依题意，设题中的双曲线方程是1(a0，b0)，则有解得a22，b21.因此该双曲线的标准方程是y21.答案：y214(2019苏锡常镇调研)已知双曲线过点(2，)，且与双曲线y21有相同的渐近线，则双曲线的标准方程为_解析：依题意，设所求双曲线的标准方程为y2，将点(2，)的坐标代入，得13，2，所求双曲线的方程为y22，其标准方程为1.答案：1谨记通法求双曲线标准方程的一般方法(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值与双曲线1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为(0)(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值典例引领1设F1，F2分别是双曲线1的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使F1AF290且AF13AF2，则双曲线的离心率为_解析：因为F1AF290，故AFAFF1F4c2，又AF13AF2，且AF1AF22a，故10a24c2，故，故e.答案：2(2018海门中学检测)已知双曲线x21的两个焦点为F1，F2，P为双曲线右支上一点若PF1PF2，则F1PF2的面积为_解析：由双曲线的定义可得PF1PF2PF22a2，解得PF26，故PF18，又F1F210，由勾股定理可知三角形PF1F2为直角三角形，因此SPF1F2PF1PF224.答案：24由题悟法应用双曲线的定义需注意的问题在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支同时注意定义的转化应用即时应用1设F1，F2分别为双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得PF1PF23b，PF1PF2ab，则该双曲线的离心率为_解析：由题设条件得PF1PF23b，由双曲线的定义得|PF1PF2|2a，两个式子平方相减得PF1PF2，则ab，整理得(3b4a)(3ba)0，即，所以e .答案：2设双曲线1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交双曲线左支于A，B两点，则BF2AF2的最小值为_解析：由双曲线的标准方程为1，得a2，由双曲线的定义可得AF2AF14，BF2BF14，所以AF2AF1BF2BF18.因为AF1BF1AB，当AB是双曲线的通径时，AB最小，所以(AF2BF2)minABmin8810.答案：10锁定考向双曲线的几何性质是高考命题的热点常见的命题角度有：(1)求双曲线的离心率或范围；(2)求双曲线的渐近线方程；(3)双曲线性质的应用 题点全练角度一：求双曲线的离心率或范围1(2018海安高三质量测试)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为yx，则该双曲线的离心率为_解析：由题意知，即b23a2，所以c2a2b24a2，所以e2.答案：22(2017全国卷)已知双曲线C：1(a0，b0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点若MAN60，则C的离心率为_解析：双曲线的右顶点为A(a,0)，设点M，N在渐近线yx，即bxay0上，则圆心A到此渐近线的距离d.又因为MAN60，圆的半径为b，所以bsin 60，即，所以e.答案：角度二：求双曲线的渐近线方程3(2019徐州调研)若双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为_解析：双曲线C的离心率为，e，则c210a2a2b2，得b29a2，即b3a，则双曲线C的渐近线方程为yx3x.答案：y3x角度三：双曲线性质的应用4已知点F1，F2分别为双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，若的最小值为9a，则双曲线的离心率为_解析：在双曲线中，P为右支上一点，则PF1PF22a，则PF24a24a8a(当且仅当PF22a时取等号)，因为已知min9a，故PF22a，在双曲线右支上点P满足(PF2)minca，则ca2a，即c3a，故e3，又由9a，即9a可得e2或e5，综上可得，e5，故当取最小值9a时，e5.答案：5通法在握与双曲线几何性质有关问题的解题策略(1)求双曲线的离心率(或范围)依据题设条件，将问题转化为关于a，c的等式(或不等式)，解方程(或不等式)即可求得(2)求双曲线的渐近线方程依据题设条件，求双曲线中a，b的值或a与b的比值，进而得出双曲线的渐近线方程(3)求双曲线的方程依据题设条件，求出a，b的值或依据双曲线的定义，求双曲线的方程(4)求双曲线焦点(焦距)、实虚轴的长依题设条件及a，b，c之间的关系求解演练冲关1(2019通州模拟)在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的四个顶点都在双曲线1(a0，b0)上，若双曲线的焦点在正方形的外部，则该双曲线的离心率的取值范围是_解析：由题意，可设正方形与双曲线的某个交点为A(m，m)，则双曲线1，可得m2c2，即c2b2c2a2a2b2，又c2b2a2，化简可得c43c2a2a40，即e43e210，又e1，解得e，故该双曲线的离心率的取值范围是.答案：2(2018无锡调研)双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，焦点到渐近线的距离为3，则C的实轴长等于_解析：因为e，所以ca，设双曲线的一条渐近线方程为yx，即axby0，焦点为(0，c)，所以b3，所以a，所以a216，即a4，故2a8.答案：83(2018盐城二模)已知双曲线1(a0，b0)的右焦点为F，直线yx与双曲线相交于A，B两点若AFBF，则双曲线的渐近线方程为_解析：由题意可知，双曲线1(a0，b0)的右焦点为F(c,0)，联立整理得(9b216a2)x29a2b2，即x2，A与B关于原点对称，设A，B，则，AFBF，0，即(xc)(xc)x0，整理得c2x2，a2b2，即9b432a2b216a40，(b24a2)(9b24a2)0，a0，b0，9b24a20，b24a20，故b2a，双曲线的渐近线方程为yx2x.答案：y2x4已知双曲线x21的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则的最小值为_解析：由题可知A1(1,0)，F2(2,0)设P(x，y)(x1)，则(1x，y)，(2x，y)，(1x)(2x)y2x2x2y2x2x23(x21)4x2x5.因为x1，函数f(x)4x2x5的图象的对称轴为x，所以当x1时，取得最小值2.答案：2一抓基础，多练小题做到眼疾手快1(2019滨湖月考)已知双曲线的渐近线方程为yx，实轴长为12，则该双曲线的标准方程为_解析：双曲线的渐近线方程为yx，实轴长为12，当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线方程为1，a0，b0，此时解得a6，b4，双曲线方程为1.当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线方程为1，a0，b0，此时解得a6，b9，双曲线方程为1.答案：1或12已知双曲线x2my21的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m的值是_解析：依题意得m0，双曲线方程是x21，于是有 21，m.答案：3若双曲线1(a0，b0)的离心率为，则其渐近线方程为_解析：由条件e，即，得13，所以，所以双曲线的渐近线方程为yx.答案：yx4(2018苏州高三暑假测试)双曲线y21(m0)的右焦点与抛物线y28x的焦点重合，则m_.解析：因为双曲线的右焦点为(，0)，抛物线的焦点为(2,0)，所以2，解得m3.答案：35(2019常州一中检测)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线y21(m0)的一条渐近线方程为xy0，则实数m的值为_解析：双曲线y21(m0)的渐近线方程为xmy0，已知其中一条渐近线方程为xy0，m.答案：6(2018苏北四市摸底)已知双曲线x21(m0)的一条渐近线方程为xy0，则实数m_.解析：双曲线x21(m0)的渐近线为ymx，又因为该双曲线的一条渐近线方程为xy0，所以m.答案：二保高考，全练题型做到高考达标1双曲线1的两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为_解析：由渐近线互相垂直可知1，即a2b2，即c22a2，即ca，所以e.答案：2(2018常州期末) 双曲线1的右焦点与左准线之间的距离是_解析：因为a24，b212，所以c216，即右焦点为(4,0)，又左准线为x1，故右焦点到左准线的距离为5.答案：5 3(2018南京学情调研)在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：1(a0)的一条渐近线与直线y2x1平行，则实数a_.解析：由双曲线的方程可知其渐近线方程为yx.因为一条渐近线与直线y2x1平行，所以2，解得a1.答案：1 4已知直线l与双曲线C：x2y22的两条渐近线分别交于A，B两点，若AB的中点在该双曲线上，O为坐标原点，则AOB的面积为_解析：由题意得，双曲线的两条渐近线方程为yx，设A(x1，x1)，B(x2，x2)，所以AB中点坐标为，所以222，即x1x22，所以SAOBOAOB|x1|x2|x1x22.答案：25(2018镇江期末)双曲线1(a0，b0)的焦点到相应准线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为_解析：由题意c2a，即2210，e22e10，解得e1.又因为双曲线的离心率大于1，故双曲线的离心率为1.答案：16(2019连云港调研)渐近线方程为y2x，一个焦点的坐标为(，0)的双曲线的标准方程为_解析：双曲线的渐近线方程为y2x，设双曲线方程为x2(0)，一个焦点的坐标为(，0)，()24，解得2，双曲线的标准方程为1.答案：17(2019淮安模拟)已知双曲线1的一个焦点与圆x2y210x0的圆心重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的标准方程为_解析：将圆x2y210x0化成标准方程，得(x5)2y225，则圆x2y210x0的圆心为(5,0)双曲线1的一个焦点为F(5,0)，又该双曲线的离心率等于，c5，且，a25，b2c2a220，故该双曲线的标准方程为1.答案：18已知双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且PF14PF2，则双曲线的离心率e的最大值为_解析：由双曲线定义知PF1PF22a，又已知PF14PF2，所以PF1a，PF2a，在PF1F2中，由余弦定理得cosF1PF2e2，要求e的最大值，即求cosF1PF2的最小值，因为cosF1PF21，所以cosF1PF2e21，解得e，即e的最大值为.答案：9已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，)，点M(3，m)在双曲线上(1)求双曲线的方程；(2)求证：0；(3)求F1MF2的面积解：(1)因为e，则双曲线的实轴、虚轴相等所以可设双曲线方程为x2y2.因为双曲线过点(4，)，所以1610，即6.所以双曲线方程为x2y26.(2)证明：设(23，m)，(23，m)所以(32)(32)m23m2，因为M点在双曲线上，所以9m26，即m230，所以0.(3)因为F1MF2的底边长F1F24.由(2)知m.所以F1MF2的高h|m|，所以SF1MF246.10(2018启东中学检测)已知双曲线1(a0，b0)的两个焦点分别为F1，F2，一条渐近线方程为2xy0，且焦点到这条渐近线的距离为1.(1)求此双曲线的方程；(2)若点M在双曲线上，求证：点M在以F1F2为直径的圆上解：(1)依题意得解得故双曲线的方程为x21.(2)证明：因为点M在双曲线上，所以1.所以m2，又双曲线x21的焦点为F1(0，)，F2(0，)，所以2()2m250，所以MF1MF2，所以点M在以F1F2为直径的圆上三上台阶，自主选做志在冲刺名校1在平面直角坐标系xOy中，若双曲线1的两条渐近线的夹角为60，则双曲线的离心率为_解析：双曲线的两条渐近线的夹角为60，且渐近线