高考数学一轮复习第八章第一节空间几何体的表面积与体积教案文苏教版.docx

第一节 空间几何体的表面积与体积 1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝πr＋r′l 2．空间几何体的表面积与体积公式 名称 几何体 表面积 体积 柱体棱柱和圆柱 S表面积＝S侧＋2S底 V＝Sh 锥体棱锥和圆锥 S表面积＝S侧＋S底 V＝Sh 台体棱台和圆台 S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝S上＋S下＋h 球 S＝4πR2 V＝πR3 [小题体验] 1．一个球的表面积是16π，那么这个球的体积为________． 解析设球的半径为R，因为表面积是16π，所以4πR2＝16π，解得R＝2.所以体积为πR3＝. 答案π 2．2018·南京高三年级学情调研将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得圆柱的体积为27π cm3，则该圆柱的侧面积为________cm2. 解析设正方形的边长为a cm，则πa2·a＝27π，得a＝3，所以侧面积2π33＝18π cm2. 答案18π 3．2018·海安高三质量测试已知正三棱锥的体积为36 cm3，高为4 cm，则底面边长为________cm. 解析设正三棱锥的底面边长为a cm，则其面积为S＝a2，由题意知a24＝36，解得a＝6. 答案6 1．求组合体的表面积时，组合体的衔接部分的面积问题易出错． 2．易混侧面积与表面积的概念． [小题纠偏] 1．圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的体积与圆柱体积之比为________，球的表面积与圆柱的侧面积之比为________． 答案2∶3 1∶1 2．已知正四棱柱的底面边长为3 cm，侧面的对角线长为3 cm，则这个正四棱柱的侧面积是________cm2. 解析正四棱柱的高为＝6 cm，所以侧面积是436＝72 cm2. 答案72 [题组练透] 1．棱长为2的正四面体的表面积是________． 解析每个面的面积为22＝.所以正四面体的表面积为4. 答案4 2．一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________． 解析由题意可知该六棱锥为正六棱锥，正六棱锥的高为h，侧面的斜高为h′. 由题意，得622h＝2， 所以h＝1， 所以斜高h′＝＝2， 所以S侧＝622＝12. 答案12 3．已知在梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2，将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周形成的几何体的表面积为________． 解析由题意得几何体如图所示，几何体是底面半径为1，高为2的圆柱挖去一个底面半径为1，高为1的圆锥后剩下的部分，所以几何体的表面积为一个圆柱底面与圆柱侧面、圆锥侧面之和，即π12＋2π12＋π1＝5＋π. 答案5＋π [谨记通法] 几何体的表面积的求法 1求表面积问题的思路是将立体几何问题转化为平面问题，即空间图形平面化，这是解决立体几何的主要出发点． 2求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体，先求这些柱、锥、台体的表面积，再通过求和或作差求得几何体的表面积． [典例引领] 1．2018·苏州高三暑假测试如图，正四棱锥P­ABCD的底面一边AB的长为2 cm，侧面积为8 cm2，则它的体积为________cm3. 解析记正四棱锥P­ABCD的底面中心为点O，棱AB的中点为H，连结PO，HO，PH，则PO⊥平面ABCD，因为正四棱锥的侧面积为8 cm2，所以8＝42PH，解得PH＝2，在Rt△PHO中，HO＝，所以PO＝1，所以VP­ABCD＝·S正方形ABCD·PO＝4 cm3. 答案4 2．2019·高邮模拟如图，在正三棱柱ABC ­A1B1C1中，已知AB＝AA1＝3，点P在棱CC1上，则三棱锥P ­ABA1的体积为________． 解析因为S△ABA1＝33＝，点P到平面ABA1的距离h为△ABC的高， 所以三棱锥P ­ABA1的体积V＝ S△ABA1h＝. 答案 [由题悟法] 有关几何体体积的类型及解题策略 常见类型 解题策略 球的体积问题 直接利用球的体积公式求解，在实际问题中要根据题意作出图形，构造直角三角形确定球的半径 锥体、柱体的体积问题 根据题设条件求出所给几何体的底面积和高，直接套用公式求解 不规则几何体的体积问题 常用分割或补形的思想，若几何体的底不规则，也需采用同样的方法，将不规则的几何体或平面图形转化为规则的几何体或平面图形，易于求解 [即时应用] 1．现有一个底面半径为3，母线长为5的圆锥状实心铁器，将其高温熔化后铸成一个实心铁球不计损耗，则该铁球的半径是________． 解析因为圆锥底面半径为3，母线长为5，所以圆锥的高为＝4，其体积为 π324＝12π.设铁球的半径为r，则πr3＝12π，解得r＝，所以该铁球的半径是 . 答案 2．2018·南通调研如图，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，若各棱长均为2，且M为A1C1的中点，则三棱锥M­AB1C的体积是________． 解析在正三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，则AA1⊥B1M.因为B1M是正三角形的中线，所以B1M⊥A1C1.因为A1C1∩AA1＝A1，所以B1M⊥平面ACC1A1，则VM­AB1C＝VB1­ACM＝ACAA1B1M＝22＝. 答案 [锁定考向] 与球有关的切、接问题是每年高考的热点，也是难点，题型多为填空题． 常见的命题角度有 1球与柱体的切、接问题； 2球与锥体的切、接问题． [题点全练] 角度一球与柱体的切、接问题 1．已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为________． 解析设该球的半径为R，根据正四棱柱的外接球的直径长为正四棱柱的体对角线长，可得2R2＝2＋12＋12，解得R＝1，所以该球的体积V＝πR3＝. 答案 2．2017·江苏高考如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是________． 解析设球O的半径为R，因为球O与圆柱O1O2的上、下底面及母线均相切，所以圆柱的底面半径为R、高为2R，所以＝＝. 答案 角度二球与锥体的切、接问题 3．已知正三棱锥的高为1，底面边长为2，内有一个球与四个面都相切，则棱锥的内切球的半径为________． 解析如图，过点P作PD⊥平面ABC于点D，连接AD并延长交BC于点E，连接PE， 因为△ABC是正三角形， 所以AE是BC边上的高和中线，D为△ABC的中心． 因为AB＝2，所以S△ABC＝3，DE＝1，PE＝. 所以S表＝32＋3＝3＋3. 因为PD＝1，所以三棱锥的体积V＝31＝. 设球的半径为r，以球心O为顶点，三棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个 小棱锥， 则r＝＝－1. 答案－1 4．2017·全国卷Ⅰ已知三棱锥S­ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥S ­ABC的体积为9，则球O的表面积为________． 解析如图，连接AO，OB， 因为SC为球O的直径， 所以点O为SC的中点， 因为SA＝AC，SB＝BC， 所以AO⊥SC，BO⊥SC， 因为平面SCA⊥平面SCB，平面SCA∩平面SCB＝SC， 所以AO⊥平面SCB， 设球O的半径为R， 则OA＝OB＝R，SC＝2R. 所以VS ­ABC＝VA­SBC＝S△SBCAO ＝AO， 即9＝R，解得 R＝3， 所以球O的表面积为S＝4πR2＝4π32＝36π. 答案36π [通法在握] “切”“接”问题处理的注意事项 1“切”的处理 解决与球的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作． 2“接”的处理 把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题．解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径． [演练冲关] 1．2018·太湖高级中学检测一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为1，顶点都在同一个球面上，则该球的体积为________． 解析由题意知六棱柱的底面正六边形的外接圆半径r＝1，其高h＝1，所以球半径为R＝＝ ＝，所以该球的体积V＝πR3＝3π＝. 答案 2．三棱锥P­ABC中，AB＝BC＝，AC＝6，PC⊥平面ABC，PC＝2，则该三棱锥的外接球表面积为________． 解析由题可知，△ABC中AC边上的高为＝，球心O在底面ABC的投影即为△ABC的外心D，设DA＝DB＝DC＝x，所以x2＝32＋－x2，解得x＝，所以R2＝x2＋2＝＋1＝其中R为三棱锥外接球的半径，所以外接球的表面积S＝4πR2＝π. 答案π 3．2019·南京四校联考已知在三棱锥SABC中，△SAB，△SBC，△SAC都是以S为直角顶点的等腰三角形，且AB＝BC＝CA＝，则三棱锥S-ABC的内切球的半径为________． 解析由题意知，SA＝SB＝SC.设SA＝SB＝SC＝a，则a＝，a＝1.设三棱锥S-ABC的内切球的半径为r，则由等体积法可得，VS-ABC＝＝VA-SBC＝1，解得r＝，即三棱锥S-ABC的内切球的半径为. 答案 一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．2018·徐州高三年级期中考试各棱长都为2的正四棱锥的体积为________． 解析由题意得，底面对角线长为2，所以正四棱锥的高为＝，所以正四棱锥的体积V＝Sh＝22＝. 答案 2．2018·苏锡常镇调研设棱长为a的正方体的体积和表面积分别为V1，S1，底面半径和高均为r的圆锥的体积和侧面积分别为V2，S2，若＝，则的值为________． 解析法一由题意知V1＝a3，S1＝6a2， V2＝πr3，S2＝πr2， 由＝得＝， 得a＝r，从而＝. 法二不妨设V1＝27，V2＝9π，故V1＝a3＝27，即a＝3，所以S1＝6a2＝54. 如图所示，又V2＝hπr2＝πr3＝9π，即r＝3，所以l＝r，即S2＝l2πr＝πr2＝9π， 所以＝＝. 答案 3．2018·南京二模如图，正三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝4，AA1＝6.若E，F分别是棱BB1，CC1上的点，则三棱锥A­A1EF的体积是________． 解析因为在正三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1∥BB1，AA1⊂平面AA1C1C，BB1⊄平面AA1C1C，所以BB1∥平面AA1C1C，从而点E到平面AA1C1C的距离就是点B到平面AA1C1C的距离，作BH⊥AC，垂足为点H，由于△ABC是正三角形且边长为4，所以BH＝2，从而三棱锥A­A1EF的体积VA­A1EF＝VE­A1AF＝ S△A1AF·BH＝642＝8. 答案8 4．2018·海安期中如图，在棱长为2的正方体ABCD ­A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，则三棱锥O ­A1BC1的体积为________． 解析连结AC，因为几何体是正方体，所以BO⊥平面A1OC1， BO是三棱锥B ­A1OC1的高，则三棱锥O ­A1BC1的体积为22＝. 答案 5．2018·盐城模拟若一圆锥的底面半径为1，其侧面积是底面积的3倍，则该圆锥的体积为________． 解析设圆锥的母线长为l，高为h，则π1l＝3π12，解得l＝3， 则h＝ ＝2， 故该圆锥的体积V＝π122＝. 答案 6．2018·苏锡常镇一调如图，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，P是棱BB1的中点，则四棱锥P­AA1C1C的体积为________． 解析四棱锥P­AA1C1C可看作半个正方体割去三棱锥P­ABC和P­A1B1C1. 所以VP­AA1C1C＝VABCD­A1B1C1D1－VP­ABC－VP­A1B1C1＝－－＝. 答案 二保高考，全练题型做到高考达标 1．2019·扬州模拟圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为________． 解析设圆台较小底面半径为r， 则另一底面半径为3r. 由S＝πr＋3r·3＝84π，解得r＝7. 答案7 2．2018·常州期中如图，一个实心六角螺帽毛坯正六棱柱的底边长为4，高为3，若在中间钻一个圆柱形孔后其表面积没有变化，则孔的半径为________． 解析设孔的半径为r，∵此正六棱柱的底边长为4，高为3，在中间钻一个圆柱形孔后其表面积没有变化，∴2πr2＝2πr3，解得r＝3，∴孔的半径为3. 答案3 3．2018·常州期末以一个圆柱的下底面为底面，并以圆柱的上底面圆心为顶点作圆锥，若所得的圆锥底面半径等于圆锥的高，则圆锥的侧面积与圆柱的侧面积的比值为________． 解析如图，由题意可得圆柱的侧面积为S1＝2πrh＝2πr2.圆锥的母线l＝＝r，故圆锥的侧面积为S2＝2πrl＝πr2，所以S2∶S1＝∶2. 答案 4．2018·苏北四市一模将斜边长为4的等腰直角三角形绕其斜边所在直线旋转一周，则所形成的几何体的体积是________． 解析因为等腰直角三角形的斜边长为4，所以斜边上的高为2，故旋转后的几何体为两个大小相等的圆锥的组合体，圆锥的底面半径为2，高为2，因此，几何体的体积为V＝2π222＝. 答案 5．2018·泰州中学高三学情调研在正方体ABCD­A1B1C1D1中，P为AA1中点，Q为CC1的中点，AB＝2，则三棱锥B­PQD的体积为________． 解析如图，连结PQ，则PQ∥AC，取PQ的中点G，连结BG，DG，可得BG⊥PQ，DG⊥PQ，又BG∩DG＝G，则PQ⊥平面BGD，在Rt△BPG中，由BP＝，PG＝，可得BG＝，同理可得DG＝，则△BDG边BD上的高为＝1，所以S△BDG＝21＝，则VB­PQD＝2＝. 答案 6．2019·盐城检测有一个用橡皮泥制作的半径为4的球，现要将该球所用的橡皮泥制作成一个圆柱和一个圆锥，使圆柱和圆锥有相同的底面半径和相等的高，若它们的高为8，则它们的底面半径为________． 解析由已知可得球的体积为V＝π43＝.设圆柱和圆锥的底面半径为r，则圆柱和圆锥的体积和为8πr2＋πr2＝，解得r＝2. 答案2 7．2018·启东调研如图，Rt△ABC的外接圆⊙O的半径为5，CE垂直于⊙O所在的平面，BD∥CE，CE＝4，BD＝2，ED＝2，若M为ED的中点，则VM­ACB＝________. 解析如图，过D作DH⊥CE于H，则BC＝DH，在Rt△EDH中，由ED＝2，EH＝EC－DB＝2，得BC＝DH＝6，所以在Rt△ABC中，AB＝10，BC＝6，所以AC＝8，即S△ABC＝24，又因为CE垂直于⊙O所在的平面，BD∥CE，M为ED的中点，所以M到平面ABC的距离为3，所以VM­ACB＝S△ABC3＝24. 答案24 8．2018·连云港调研已知正四棱锥的顶点都在同一球面上，且该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为________． 解析如图，正四棱锥P­ABCD的外接球的球心O在它的高PO1上，设球的半径为R，因为底面边长为2，所以AC＝4.在Rt△AOO1中，R2＝4－R2＋22，所以R＝，所以球的表面积S＝4πR2＝25π. 答案25π 9．2018·苏州期末如图，在体积为V1的圆柱中挖去以圆柱上下底面为底面、共顶点的两个圆锥，剩余部分的体积为V2，则＝________. 解析设圆锥与圆柱的底面面积为S，高为h， 所以V1＝Sh，V2＝Sh－Sh＝Sh，则＝. 答案 10．一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并向容器内注水，使水面恰好与铁球面相切．将球取出后，容器内的水深是多少 解如图，作轴截面，设球未取出时，水面高PC＝h，球取出后，水面高PH＝x.根据题设条件可得AC＝r，PC＝3r，则以AB为底面直径的圆锥容积为V圆锥＝πAC2PC＝πr23r＝3πr3. V球＝πr3. 球取出后，水面下降到EF，水的体积为 V水＝πEH2PH＝πPHtan 30°2PH＝πx3. 又V水＝V圆锥－V球，则πx3＝3πr3－πr3， 解得x＝r.故球取出后，容器内水深为r. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校 1．已知直三棱柱ABC­A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为________． 解析如图，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M. 又AM＝BC＝＝，OM＝AA1＝6， 所以球O的半径R＝OA＝ ＝. 答案 2．三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC且PA＝2，△ABC是边长为的等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为________． 解析由题意得，此三棱锥外接球即为以△ABC为底面、以PA为高的正三棱柱的外接球，因为△ABC的外接圆半径r＝＝1，外接球球心到△ABC的外接圆圆心的距离d＝1，所以外接球的半径R＝＝，所以三棱锥外接球的表面积S＝4πR2＝8π. 答案8π 3．如图是一个以A1B1C1为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体，截面为ABC，已知A1B1＝B1C1＝2，∠A1B1C1＝90°，AA1＝4，BB1＝3，CC1＝2，求 1该几何体的体积． 2截面ABC的面积． 解1过C作平行于A1B1C1的截面A2B2C，交AA1，BB1分别于点A2，B2. 由直三棱柱性质及∠A1B1C1＝90°可知B2C⊥平面ABB2A2， 则该几何体的体积V ＝VA1B1C1­A2B2C＋VC­ABB2A2＝222＋1＋222＝6. 2在△ABC中，AB＝＝，BC＝＝， AC＝＝2. 则S△ABC＝2＝.