高考数学一轮复习第六章数列第二节等差数列教案理苏教版.docx

第二节 等差数列1等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A，其中A叫做a，b的等差中项2等差数列的有关公式(1)通项公式：ana1(n1)d.(2)前n项和公式：Snna1d.3等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：anam(nm)d(n，mN*)(2)若an为等差数列，且klmn(k，l，m，nN*)，则akalaman.(3)若an是等差数列，公差为d，则a2n也是等差数列，公差为2d.(4)若an，bn是等差数列，则panqbn也是等差数列(5)若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差为md的等差数列小题体验1已知等差数列的前n项和为Sn，若a12，S312，则a6_.解析：设等差数列的公差为d，由题意知，323d12，解得d2，故a62(61)212.答案：122已知等差数列an，a520，a2035，则an_.答案：15n3(2018南京、盐城一模)设an是等差数列，若a4a5a621，则S9_.解析：因为an是等差数列，且a4a5a621，所以3a521，即a57，故S99a563.答案：631要注意概念中的“从第2项起”如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列2求等差数列的前n项和Sn的最值时，需要注意“自变量n为正整数”这一隐含 条件小题纠偏1首项为24的等差数列，从第10项开始为负数，则公差d的取值范围是_答案：2已知数列为等差数列，若a13,11a55a8，则使其前n项和Sn取最小值的n_.解析：a13,11a55a8，d2，Snn24n(n2)24，当n2时，Sn最小答案：2 题组练透1在等差数列中，已知d，an，Sn，则a1_.解析：由题意，得由得a1n2，代入得n27n300，n10或n3(舍去)，a13.答案：32公差不为零的等差数列an中，a72a5，则数列an中第_项的值与4a5的值相等解析：设等差数列an的公差为d，因为a72a5，所以a16d2(a14d)，则a1 2d，所以ana1(n1)d(n3)d，而4a54(a14d)4(2d4d)8da11，故数列an中第11项的值与4a5的值相等答案：113(2018苏北四市一模)设Sn是等差数列an的前n项和，且a23，S416，则S9_.解析：设等差数列an的公差为d，则由a23，S416，得解得因此S99281.答案：814(2019南京调研)记等差数列an前n项和为Sn.若am10，S2m1110, 则m_.解析：因为S2m1(2m1)am110，所以2m111，即m6.答案：6谨记通法等差数列基本运算的方法策略(1)等差数列中包含a1，d，n，an，Sn五个量，可“知三求二”解决这些问题一般设基本量a1，d，利用等差数列的通项公式与求和公式列方程(组)求解，体现方程思想(2)如果已知等差数列中有几项的和是常数的计算问题，一般是等差数列的性质和等差数列求和公式Sn结合使用，体现整体代入的思想 典例引领(2019启东联考)已知函数f(x)x22(n1)xn25n7(nN*)(1)设函数yf(x)的图象的顶点的纵坐标构成数列an，求证：an为等差数列；(2)设函数yf(x)的图象的顶点到x轴的距离构成数列bn，求bn的前n项和Sn.解：(1)证明：因为f(x)x22(n1)xn25n7x(n1)23n8，所以an3n8，因为an1an3(n1)8(3n8)3，所以数列an为等差数列(2)由题意知，bn|an|3n8|，所以当1n2时，bn83n，Snb1bn；当n3时，bn3n8，Snb1b2b3bn521(3n8)7.所以Sn由题悟法等差数列的判定与证明方法方法解读适合题型定义法对于任意自然数n(n2)，anan1(n2，nN*)为同一常数an是等差数列解答题中证明问题等差中项法2an1anan2(n3，nN*)成立an是等差数列通项公式法anpnq(p，q为常数)对任意的正整数n都成立an是等差数列填空题中的判定问题前n项和公式法验证SnAn2Bn(A，B是常数)对任意的正整数n都成立an是等差数列即时应用已知数列满足：a12，an13an3n12n.设bn.(1)证明：数列为等差数列；(2)求数列的通项公式解：(1)证明：bn1bn1，数列为等差数列(2)b10，bnn1，an(n1)3n2n.典例引领1已知an为等差数列，若a1a2a35，a7a8a910，则a19a20a21_.解析：由等差数列的性质，可知S3，S6S3，S9S6，S21S18成等差数列，设此数列公差为D.所以52D10，所以D.所以a19a20a21S21S1856D51520.答案：202已知等差数列an的前n项和为Sn，a81，S160，当Sn取最大值时n的值为_解析：法一：由解得则Snn216n(n8)264，则当n8时，Sn取得最大值法二：因为an是等差数列，所以S168(a1a16)8(a8a9)0，则a9a81，即数列an的前8项是正数，从第9项开始是负数，所以(Sn)maxS8，故Sn取最大值时，n8.答案：8由题悟法1等差数列的性质(1)项的性质：在等差数列an中，aman(mn)dd(mn)，其几何意义是点(n，an)，(m，am)所在直线的斜率等于等差数列的公差(2)和的性质：在等差数列an中，Sn为其前n项和，则S2nn(a1a2n)n(anan1)；S2n1(2n1)an.2求等差数列前n项和Sn最值的2种方法(1)函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Snan2bn，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解(2)邻项变号法：当a10，d0时，满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm；当a10，d0时，满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm.即时应用1设等差数列an的前n项和为Sn，已知前6项和为36，最后6项的和为180，Sn324(n6)，则数列an的项数为_解析：由题意知a1a2a636，anan1an2an5180， 得(a1an)(a2an1)(a6an5)6(a1an)216，所以a1an36，又Sn324，所以18n324，所以n18.答案：182设Sn是等差数列an的前n项和，S1016，S100S9024，则S100_.解析：依题意，S10，S20S10，S30S20，S100S90依次成等差数列，设该等差数列的公差为d.又S1016，S100S9024，因此S100S902416(101)d169d，解得d，因此S10010S10d1016200.答案：2003已知在等差数列中，a131，Sn是它的前n项和，S10S22.(1)求Sn；(2)这个数列的前多少项的和最大，并求出这个最大值解：(1)S10a1a2a10，S22a1a2a22，S10S22，a11a12a220，0，即a11a222a131d0.又a131，d2，Snna1d31nn(n1)32nn2.(2)由(1)知Sn32nn2，当n16时，Sn有最大值，Sn的最大值是256.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1(2018徐州、连云港、宿迁质检)已知公差为d的等差数列an的前n项和为Sn，若 3，则的值为_解析：设等差数列an的首项为a1，则由3，得3，所以d4a1，所以.答案：2(2019常州一中检测)在等差数列中，若a2a124，则a2a7a12_.解析：a2a122a74，a72.则a2a7a123a76.答案：63(2018徐州期中)已知等差数列的前n项和为Sn，S11132，a6a930，则a12的值为_解析：在等差数列中，设首项为a1，公差为d，由S11132，a6a930，得解得a1d2.a12a111d24.答案：244(2018苏州质量监测)已知数列an满足a115，且3an13an2.若akak10，则正整数k_.解析：3an13an2an1anan是等差数列，则ann.因为ak1ak0，所以0，所以k，又因为kN*，所以k23.答案：235等差数列an中，已知a50，a4a70，则an的前n项和Sn的最大值为_解析：因为所以所以Sn的最大值为S5.答案：S56(2018无锡期末)在等差数列中，若an0，a45，则的最小值为_解析：在等差数列中，an0，a45，a2a62a410，(a2a6)，当且仅当时取等号故的最小值为.答案：二保高考，全练题型做到高考达标1(2018张家港期末)在古巴比伦泥板(公元前2000年前1000年)有这样一个数学问题：10兄弟分100个金币，哥哥比弟弟依次多分已知每一个级差相等，还知道老八分得6个金币(每个人分得的金币可以是分数)问：老三应该分得_个金币解析：10兄弟分100个金币，哥哥比弟弟依次多分，每一个级差相等，老八分得6个金币，可将其看作一个等差数列，解得a1，d，a3a12d14，即老三应该分得14个金币答案：142数列an的前n项和Sn2n23n(nN*)，若pq5，则apaq_.解析：当n2时，anSnSn12n23n2(n1)23(n1)4n1，当n1时，a1S15，符合上式，所以an4n1，apaq4(pq)20.答案：203(2018苏州期末)已知an是等差数列，a515，a1010，记数列an的第n项到第n5项的和为Tn，则|Tn|取得最小值时n的值为_解析：由a515，a1010得an5n40，an55n15，Tn15(112n)，当112n1时，即n5或6时，|Tn|取最小值15.答案：5或64(2019泰州模拟)设等差数列的前n项和为Sn，且S44，S1224，则S8_.解析：由等差数列的性质可得，S4，S8S4，S12S8成等差数列，所以2(S84)424S8，解得S812.答案：125设数列an的前n项和为Sn，若为常数，则称数列an为“吉祥数列”已知等差数列bn的首项为1，公差不为0，若数列bn为“吉祥数列”，则数列bn的通项公式为_解析：设等差数列bn的公差为d(d0)，k，因为b11，则nn(n1)dk，即2(n1)d4k2k(2n1)d，整理得(4k1)dn(2k1)(2d)0.因为对任意的正整数n上式均成立，所以(4k1)d0，(2k1)(2d)0，解得d2，k.所以数列bn的通项公式为bn2n1.答案：bn2n16(2019扬州模拟)已知等差数列的前n项和为Sn，且S136，则3a92a10_.解析：由S136，得13a76，a7，3a92a103(a18d)2(a19d)a16da7.答案：7在等差数列an中，a17，公差为d，前 n项和为Sn ，当且仅当n8 时Sn 取得最大值，则d 的取值范围为_解析：由题意，当且仅当n8时Sn有最大值，可得即解得1d.答案：8(2019启东中学模拟)若等差数列的首项为a1，公差为d，关于x的不等式x2xc0的解集为0,10，则使数列的前n项和Sn最大的正整数n的值是_解析：关于x的不等式x2xc0的解集为0,10，0,010，010，解得d0，c0，a1.ana1(n1)d(n1)dd，令an0，解得n，因此使数列的前n项和Sn最大的正整数n的值是5.答案：59(2018启东期末)已知等差数列的前n项和为Sn，且a37，a5a726.(1)求an及Sn；(2)令bn(nN*)，求证：数列为等差数列解：(1)设等差数列的首项为a1，公差为d，a37，a5a726.解得a13，d2，ana1(n1)d32(n1)2n1，Snn(n2)(2)证明：bnn2，bn1bnn3(n2)1，数列为等差数列10(2018南京、盐城二模)已知数列an的前n项和为Sn，数列bn，cn满足(n1)bnan1，(n2)cn，其中nN*.(1)若数列an是公差为2的等差数列，求数列cn的通项公式；(2)若存在实数，使得对一切nN*，有bncn，求证：数列an是等差数列解：(1)因为数列an是公差为2的等差数列，所以ana12(n1)，a1n1.因为(n2)cn(a1n1)n2，所以cn1.(2)证明：由(n1)bnan1，得n(n1)bnnan1Sn，(n1)(n2)bn1(n1)an2Sn1，两式相减，并化简得an2an1(n2)bn1nbn.从而(n2)cnan1(n1)bn(n1)bn(n1)bn(bnbn1)，因此cn(bnbn1)因为对一切nN*，有bncn，所以cn(bnbn1)，故bn，cn.所以(n1)an1， (n2)(an1an2)，得(an2an1)，即an2an12，故an1an2(n2)又2a2a2a1，则an1an2(n1)所以数列an是等差数列三上台阶，自主选做志在冲刺名校1设等差数列an的前n项和为Sn.若a35，且S1，S5，S7成等差数列，则数列an的通项公式an_.解析：设等差数列an的公差为d，因为S1，S5，S7成等差数列，所以S1S72S5，则a17a121d2(5a110